专题07 平行四边形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题07 平行四边形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 2 类型二、利用平行四边形的性质求面积 5 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 6 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 9 类型五、利用平行四边形的性质证明 15 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 20 类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 23 压轴能力测评（18题） 27 解题知识必备 1. 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 3. 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 压轴题型讲练 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 例题1：（23-24八年级下·吉林·阶段练习）在平行四边形中，，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到邻角互补，得到，再根据平行四边形对角相等，即可得解． 【详解】解：∵平行四边形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例题2：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可．找到平行四边形中的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，，， ∴，， ∴在中， ， ∴的长为． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为 （ 　　） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据平行加角平分线，得到均为等腰三角形，分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 如图①，当点在点的左侧时：， ∴；    如图②，当点在点的右侧时，， ∴    综上：或； 故选D． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，连接若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等． 由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键． 根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴和关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积与的面积比值是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．    【答案】12 【分析】由平行四边形的性质得，则，得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 例题：（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（  ） A．20 B．10 C．15 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的性质，结合图象分析题意是解题关键．由图2得，当点M在点C处时，，即，当点M到达点D时，，即，在中，利用勾股定理求出，再用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：由图2得，当点M在点C处时，，即， ∴， 当点M到达点D时，，即， 在中，，即， ∴， ∴， ∴的面积是． 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了性质，动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和． 【详解】解：过点作于点 ∵的四条边都相等， ∴． 由图象可知，点由点到点用时为，的面积为． ， ， ， 当点从点到点时，用时为 ， 中， ， 的四条边都相等， ， 中， ， 解得： 故选：C． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（    ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，厘米， 厘米， 点从点出发以每秒厘米的速度， 点走完所用的时间为：秒， 当点在上时，；故排除； 当时，点在点处，过点作于点，如图所示： ， ， ， 厘米， 厘米， 厘米， 平方厘米， 故选：B． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 例题：（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可判断①， 由，，得，故②正确，设，则，对，运用勾股定理即可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ，， ， 设，则，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，∴，故③正确； ，， 是的中点， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立． 【详解】解：①延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①正确； 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作交延长线于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，则为等腰直角三角形， ∴， 由等腰直角三角形可知，， ∴， 故③正确； 由勾股定理可知，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， 故④不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交与， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的个数有个， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 类型五、利用平行四边形的性质证明 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且． (1)写出图中与相等的角，并证明； (2)求证： (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，由垂直的定义得，然后根据等式的性质可得； （2）延长交于点F．由平行四边形的性质得，求出可得，然后根据证明即可证明结论成立； （3）由可得，进而可证，然后由勾股定理得，从而可得． 【详解】（1）． 证明：四边形ABCD是平行四边形， ． ， ． ． 即． （2）如图，延长交于点F． 四边形ABCD是平行四边形， ． ． ． ， ． 在中，． ． ， ． ． ， ． （3）． 由（2）可得，， ． 在中，，由勾股定理可得， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可． （1）根据平行四边形的性质，则，，，则，根据、分别平分、，全等三角形的判定和性质，即可； （2）过点作于点，根据角平分线的性质，则；根据平行四边形的周长，则，根据，即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．    (1)求证：平分； (2)若点E为中点，求证：； (3)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)168 【分析】（1）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证； （2）证明，即可得到，根据即可证明； （3）过点E作于M，设，则，根据勾股定理列出方程 ，解得，进而得到，即可求出． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵点E为中点， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：如图，过点E作于M，设，则． 根据勾股定理得 ， 解得， ， ．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）首先根据得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）利用角直角三角形的性质求得的长，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， , 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案； （2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，是边的中点， ，， 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点，    由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， 在中，， ， 又是边的中点， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键． 类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得到，继而得到，结合得到，证明即可． （2）根据，得到，继而得到即可证明四边形为平行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质得到，利用即可证明； （2）由（1）知，得到，根据，即可得到四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解； （2）根据平行四边形的对边分别相等，结合，，即可求解； （3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ，， ， 平行四边形的周长为：； （3）， ， 即， 中，， ， ， ， ． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 2.（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【知识点】根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 4．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（   ）    A．是的中线 B．四边形是平行四边形 C． D．平分 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、证明四边形是平行四边形 【分析】此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题，根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴ ∵等腰和等腰，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，故B选项正确； 在和中， ∴ ∴，故C选项正确； ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是的中线，故A选项正确； ∵， ∴， ∴不可能平分，故D选项错误； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【答案】/15厘米 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 的周长为， 故答案为∶． 7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是 ． ①；②平分；③；④． 【答案】①③④ 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求面积、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】先求出是等边三角形，可以判断③；结合，可以判断②，利用等边对等角与三角形内角和定理可以判断①，利用中线平分三角形面积可以判断④． 【详解】解：∵中对边平行， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平行四边形中， ， ∴，故③正确； 又∵， ∴， ∴， 由与平行可知， ∴，故②错误； ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵与平行， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为： ①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中线平分三角形面积、角平分线的定义、三角形的内角和等知识，解题关键是牢记相关概念，并能灵活运用边角之间的关系进行转化． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当 时，四边形为平行四边形． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的判定可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， 分为以下情况： ①点的运动路线是，方程为， 此时方程，此时不符合题意； ②点的运动路线是，方程为， 解得：； ③点的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为， 解得：； 综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：或或 三、解答题 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合，证明即可； （2）全等的性质得到，角平分线结合平行线的性质，推出，进而求出的长，再根据平行四边形的对边相等，求出周长即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴（） （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长． 12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； (2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】无刻度直尺作图、根据等边对等角证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】此题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，交于点O，连接并延长交于点F即为所求； （2）连接，交于点O，连接并延长交于点F，连接即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求作．            ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：如图2中，线段即为所求作． ∵四边形是平行四边形 ∴， 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 14．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【详解】（1）证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 ， 两点作 ，，垂足分别为 ，，延长 ， 分别交 ， 于点 ，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 ， 时，求 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键； （1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ∴， 在和中， ， ， 在中， ，，， ， ． 16．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F， (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)、交于点O， 在满足（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得到，同理可得，即可得到，进而得到结论； （2）根据（1）中结论，利用线段的和差解题即可； （3）先根据角平分线的定义得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即； （2）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）由（1）可得：，， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，勾股定理，等角对等边，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【答案】(1)2 (2)12 (3)见解析 (4)1 【知识点】三角形角平分线的定义、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边求边长 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答； （2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长； （3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出； （4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答． 本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． （3）证明：∵在中，， ． 又∵是的平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； （4）解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行四边形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 2 类型二、利用平行四边形的性质求面积 5 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 6 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 9 类型五、利用平行四边形的性质证明 15 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 20 类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 23 压轴能力测评（18题） 27 解题知识必备 1. 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 3. 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 压轴题型讲练 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 例题1：（23-24八年级下·吉林·阶段练习）在平行四边形中，，则的度数是 ． 例题2：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为 （ 　　） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，连接若，则的度数为 ． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【详解】 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．    类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 例题：（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（  ） A．20 B．10 C．15 D．12 【变式训练】 1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（    ） A． B．C．D． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 例题：（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 类型五、利用平行四边形的性质证明 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且． (1)写出图中与相等的角，并证明； (2)求证： (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式训练】 1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的面积. 2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．    (1)求证：平分； (2)若点E为中点，求证：； (3)若，，，求的面积． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 4．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（   ）    A．是的中线 B．四边形是平行四边形 C． D．平分 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是 ． ①；②平分；③；④． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当 时，四边形为平行四边形． 三、解答题 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； (2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 14．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 ， 两点作 ，，垂足分别为 ，，延长 ， 分别交 ， 于点 ，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 ， 时，求 的长． 16．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F， (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)、交于点O， 在满足（2）的条件下，已知，求的长． 17．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$