专题07 一次函数的应用四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题07 一次函数的应用四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 2 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 5 类型三、一次函数的应用之行程问题 8 类型四、一次函数的应用之几何问题 14 压轴能力测评（15题） 21 解题知识必备 1. 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 压轴题型讲练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 例题：（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为21760元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 【变式训练】 1.（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 2.（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)采取第①种方式可早日结清余款，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键． （1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可； （2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求解． 【详解】（1）解：第①种应实付款， 第②种应实付款，        ， 令，解得 当智能机器人的总价万元时，采取第①种方式较省钱； 当智能机器人的总价万元时，两种方式一样； 当智能机器人的总价万元时，采取第②种方式较省钱． （2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 因为，所以 ∴采取第①种方式可早日结清余款． 3.（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 【答案】(1)，； (2)选择方案一更省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可； （）将分别代入（）中两种方案的函数关系式，计算比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，（元），（元）， ∴， ∴选择方案一更省钱． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 例题：（23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/ (2)水果店应购进甲水果，购进乙水果才能获得最大利润，最大利润是450元 【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/，列方程 解答即可． （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/ （元） 答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/. （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元. ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴y随m的增大而减小. ∴当时，y最大，最大值为450元. 【变式训练】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 【答案】(1) (2)租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省 【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到的取值范围，才能确定方案．本题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力． （1）设租用甲种客车辆，则乙种客车是辆，利用公式：总租金甲的总租金乙的总租金，即可列出与之间的函数关系式； （2）求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）依题意得：（为整数） （2）依题意得： ， 解之，得， 为整数，且为整数， 中，，y随x的增大而减小， 的值为12时，y有最小值，为，此时， 租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省． 2.（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元 (2)；购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，根据购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元列出方程求解即可； （2）根据题意可得购买水晶梨的数量为斤，则可求出，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得， 解得，则（元）， 答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元； （2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤， 购买水晶梨的数量为斤， 依题意，得， ∵， ∴w随着n的增大而增大， 经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤， ， ∴当时．w有最大值，最大值为， 购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元． 3.（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 【答案】(1) (2)应生产羊公仔350 ，狼公仔100只 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系， （1）设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只，根据总利润=羊公仔利润+狼公仔利润，即可得出函数关系式； （2）根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只， 根据题意可得：， 即y与x之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴（只）， 答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100只． 类型三、一次函数的应用之行程问题 例题：（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【答案】(1)600； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是基础，结合题意理解图形是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）由图象可知图象经过，，利用待定系数法分别求得； （3）同（2）求出快车离乙地的路程与之间的函数关系式，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为， 故答案为：600； （2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为 把，代入解析式得：， 解得， ∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为； （3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：，解得， ∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 当两车相距50时，， 解得或， ∴当或时，两车相距． 【变式训练】 1.（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【答案】(1) (2) (3)小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； （2）解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元． 2.（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 【答案】(1)15，10 (2)平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； (3)线段所在直线的函数表达式为． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出、的值即可； （2）当时平平到达乙地，根据“速度路程时间”计算平平的速度；设安安的速度为千米分钟，根据二人相遇时两人路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可； （3）根据“路程速度时间”求出时安安离乙地的距离，从而求出点的坐标；设分钟时安安到达甲地，根据“路程速度时间”列方程并求解，从而求得点的坐标；利用待定系数法求出线段所在直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，． 故答案为：15，10； （2）解：平平的速度为（千米分钟）； 设安安的速度为千米分钟，当二人相遇时，得，解得， 平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； （3）解：当时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为（千米）， ． 设分钟时安安到达甲地． 根据“路程速度时间”，得，解得， ． 设线段所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将点和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为． 3.（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离与之间的函数关系式，当小红到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． （3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 类型四、一次函数的应用之几何问题 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小； (3)或 【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等． （1）运动路程为，结合图形即可求解； （2）先作出函数图象，根据图象即可解答； （3）先求出时x的值，结合图象即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得：当时，， 当时，， ∴； （2）如图所示， 当时，y随x的增大而减小； （3）解，令，则或， ∴当时，自变量的取值范围为：或． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，由题意得，，，再由三角形面积公式即可得解；当时，点在上，则，再由三角形面积公式即可得解； （2）当时，点在上，此时，再根据函数解析式画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得出答案； （4）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点在上， ， 由题意得：，，， ∴； 当时，点在上， ， 则， ∴； （2）解：当时，点在上， ， 此时， ∴， 画出函数图象如图所示： ； （3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大； （4）解：由图象可得：当时的取值范围为：． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查函数解析式的求法，勾股定理，函数图象的作法及运用； （1）分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式直接作图，根据图象可写出一条性质； （3）根据函数图象可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1，当点，分别在，上运动时，运动后，，．    当时，点恰好运动到点处，点恰好运动到点处． ，由勾股定理可得， 当时，关于的函数解析式为． 当，两点都在上运动时，， 令，解得， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为． （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 当时，． 如图2，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）． （3）当时，分别代入函数，中， 得或， 解得或． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．空烧杯的质量是 B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系 C．液体的密度是 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，从函数图象中获取信息，先求解，再结合函数图象逐一分析判断即可. 【详解】解：设与的函数关系式为， 根据题图可知， 解得， ∴． 当时，，即空烧杯的质量是，故选项A符合题意； 函数图象是一条线段，则液体与烧杯的总质量与液体体积满足一次函数关系，因为烧杯的质量是一定的，所以液体的质量与液体的体积满足一次函数关系，故选项B不符合题意； 由液体的密度液体的质量液体的体积知， 液体的密度为，故选项C不符合题意； 把代入，得， 当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为204g，故选项D不符合题意． 故选A． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（   ） ①两地相距千米；     ②出发小时，货车与小汽车相遇； ③出发小时，小汽车比货车多行驶了千米； ④小汽车的速度是货车速度的倍． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，由函数图象即可判断①②；再根据函数图象可知出发小时，小汽车到达地，即可求出小汽车和货车的速度，即可判断③④，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，两地相距千米，出发小时，货车与小汽车相遇，故①②正确； 由图象可知，出发小时，小汽车到达地， ∴小汽车的速度为千米小时， ∴货车的速度为千米小时， ∴出发小时，小汽车比货车多行驶了千米，故③正确； ∵小汽车的速度为千米小时，货车的速度为千米小时， ∴小汽车的速度是货车速度的倍，故④正确； 综上，说法中正确的是①②③④， 故选：． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与铁块下降的高度（）之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降时，此时铁块在水里 B．当时，（N）与（）之间的函数表达式为 C．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离水底 D．当铁块下降高度为时，此时弹簧测力计的示数是 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象和一次函数的应用，求出函数解析式，数形结合是解题的关键． 根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、由题图可知，铁块下降到时，铁块正好接触水面，故选项A错误； B、当时，设所在直线的函数表达式为：F＝kh+b， 则， 解得， ∴，故选项B错误； C、当时，， 解得， ∴， ∴当弹簧测力计的示数为时，铁块底面距离水底，故C正确； D、当铁块下降的高度为时，即时， ∴当铁块下降高度为时，此时弹簧测力计的示数是，故D错误． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．    【答案】28 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．根据图像提供的信息可知，这是两个一次函数构成分段函数，当时，设一次函数的解析式为，在图像上找到两点代入所设的解析式中，求出一次函数解析式，再把代入所求的一次函数中，求出的值即可问题得解． 【详解】解：如图，当时，设一次函数解析式为， 将代入上式，得， 解得， ， 当时，， 解得， 故答案为：28． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为，7个这种盘子摞在一起的高度为．若设x个这种盘子摞在一起的高度为，则当时，y的值为 ． 【答案】17 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用以及求一次函数表达式，解答本题的关键是读懂题意，根据图示找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设x与y的关系式为 由题意得∶ 解得∶ ∴x与y的关系式为：， 当时， 故答案为：． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论： ①A，B两村相距； ②小明每小时比小红多骑行8 ； ③两人相距4 时h或2h； ④图中． 其中正确的是 ．（填字号） 【答案】①②③ 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用以及待定系数法求一次函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．由图象可得，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，即可判断①；小明的速度为：，小红的速度为：即可判断②；由小明是匀速骑行，可得，即可判断④；设，，分别求出相应的解析式，分类讨论当小明未到B村时，他们相距4km，和当小明到B村之后，他们相距4km，两种情况，即可判断③； 【详解】解：由图象可得， ∵l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系， ∴当，A，B两村相距；故①正确，符合题意； 由题意可知： 小明的速度为：，小红的速度为：， 则小明每小时比小红多骑行，故②正确，符合题意； ∵小明是匀速骑行， ∴，故④错误，不符合题意； 设， 把和分别代入，得 解得 则， 设， 把代入， 得， 解得， ∴， 当小明未到B村时，他们相距4km，则， 解得（舍去）， 当小明到B村之后，他们相距4km， ∴， 解得或， 综上：两人相距4km时h或2h；，故③是正确的， 故答案为：①②③． 三、解答题 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． (1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元 (2)该经销商获得最大利润是21500元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每件型童装的进价是元，每件型童装的进价是元，根据购进1件型童装和1件型童装需用50元，购进2件型童装和3件型童装需用120元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件型童装，则购进件型童装，根据进货总价不超过2500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设售完该批童装该经销商获得的总利润为元，利用总利润=每件型童装的销售利润购进型童装的数量+每件型童装的销售利润购进型童装的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元． （2）设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得： 即：， 随着的增大而增大， 当时，最大，最大值为： 该经销商获得最大利润是21500元 8．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）某超市销售甲、乙两种商品，当销售甲商品6件、乙商品1件时，可获利润45元；当销售甲商品5件、乙商品4件时，可获利润85元． (1)问甲、乙两种商品每件的利润分别是多少元？ (2)在（1）中，该超市购进甲、乙两种商品40件并全部销售完，已知甲种商品至少能销售30件，请问超市如何进货才能有最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)该文具店销售甲种商品每件的利润为5元，销售乙种商品每件的利润为15元 (2)进甲种商品进30件，则乙种商品进10件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，理解题意确定相等关系是解本题的关键； （1）设销售甲种商品的利润为x元/件，销售乙种商品的利润为y元/件，根据“当销售甲商品6件、乙商品1件时，可获利润45元；当销售甲商品5件、乙商品4件时，可获利润85元”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种商品进件，则乙种商品进件，利润为元，再建立一次函数，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设销售甲种商品的利润为x元/件，销售乙种商品的利润为y元/件， 根据题意得：， 解得：， 答：该文具店销售甲种商品每件的利润为元，销售乙种商品每件的利润为元． （2）设甲种商品进件，则乙种商品进件，利润为元， ∴， ∵， ∴当时，获最大利润（元）， ∴进甲种商品进件，则乙种商品进件． 9．（24-25八年级上·四川成都·期末）汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系． (1)汽车行驶___________后加油，中途加油___________； (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1)3，31 (2) (3)不够用，理由见解析 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键． （1）根据函数图象即可得； （2）设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为，根据点和，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出加油后汽车每小时的耗油量为，再求出汽车从加油站到达目的地所需的油量，与比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由函数图象可知，汽车行驶后加油，中途加油， 故答案为：3，31． （2）解：设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为， 将点和代入得：，解得， 所以加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为． （3）解：对于一次函数， 当时，， ∴加油前汽车每小时的耗油量为， ∵加油前、后汽车都以匀速行驶， ∴加油后汽车每小时的耗油量也为， ∴汽车从加油站到达目的地所需的油量为， ∵加油后汽车油箱中的油量为， ∴要到达目的地，油箱中的油不够用． 10．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）为振兴乡村农产品发展，石板镇水果批发市场某农资联盟公司特引进甲、乙两种特产，由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过20吨．已知甲种特产的进价是每吨10万元，售价是每吨10.5万元；乙种特产的进价是每吨1万元，售价是每吨1.2万元． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为吨、吨 (2)该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】问题主要考查了二元一次方程组及一次函数的应用，根据题意，找准等量关系，正确列二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设该公司一个月销售甲种特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元，可得，再根据一次函数的性质及甲种特产的销售量的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设该公司这个月销售甲、乙两种特产分别为吨、吨， 根据题意得， 解得， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为吨、吨； （2）解：设该公司一个月销售甲种特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而增大， 甲特产的销售量不超过20吨， ， 当时，取得最大值，最大值为， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为万元． 11．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． （1）用待定系数法可得所在直线的函数表达式； （2）结合（1），求出石块下降的高度为时，的值，即可得到答案． 【详解】（1）设所在直线的函数表达式为， 将，代入得： 解得 ∴所在直线的函数表达式为； （2）在中，令得， ∵， ∴当石块下降的高度为时，该石块所受浮力为． 12．（24-25八年级上·上海普陀·期末）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去A广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；表1记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据． 表1 时间（时） 0.1 0.3 距离（千米） 2 6 9 根据提供的信息，回答下列问题： (1)由表1可知，关于的函数解析式为_____；的值为_____； (2)由图可知，的值为_____；在的时段内，甲的速度为_____千米/时； (3)先到达A广场并拍照的人是____，且比另一位早到_____分钟． 【答案】(1)；0.45 (2)3；10 (3)乙；6 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查正比例函数、一次函数的实际应用： （1）与成正比例关系，设，将表格中数据代入即可求解； （2）当时，设，利用待定系数法求出解析式，进而求出q的值，的时段内路程差除以所用时间，即可得出速度； （3）根据（1）（2）结论求出甲、乙两人到达A广场所用时间，即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， ， 当时，， ， 故答案为：；0.45． （2）解：当时，设， 将和代入，得：， 解得， ， 当时，， 的值为3； 在的时段内，甲的速度为， 故答案为：3；10． （3）解：令， 得， 即乙到达A广场所用时间为； 甲到达A广场所用时间为：， 先到达A广场并拍照的人是乙，比甲早：， 故答案为：乙；6． 13．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【答案】(1)且为整数) (2)共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题． （1）根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可； （2）列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴； 函数解析式为，自变量取值范围为：且为整数； （2）解：， ， ， 因为取整数， 所以x可取20，21，22，23，24，25，26， 所以有种方案. 在中， 随的增大而增大， 所以当时，最省钱，费用元， 答：共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元． 14．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在Rt中，．点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点在运动过程中，其运动的路程为的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若，直接写出时的取值． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小（答案不唯一） (3)4或9 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，解题的关键是掌握画函数图象的方法． （1）根据题意，进行分类讨论，当点P在上时，当点P在上时，再根据三角形的面积公式，即可解答； （2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质； （3）观察图象，求出两函数图象的交点横坐标即可． 【详解】（1）解：当点P在上时，如图，由题意，，， 则， 即， 当点P在上时，如图，由题意，，， 则， 即， 综上：； （2）解：当、时，；当时，； 则函数图象如图所示， 由图可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，，，则； 当时，，，则， ∴当时的取值为4或9． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数y（厘米） 4 12 20 28 36 【探索发现】 (1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是 （填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）． 【结论应用】 (3)应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到9小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】(1)见解析 (2)一次函数； (3)①76厘米；②下午 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征和待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． （1）直接描点即可； （2）根据图象特征判断对应的函数类型，并用待定系数法求其函数表达式即可； （3）①将代入y关于x的函数表达式，求出对应y的值即可；②将代入y关于x的函数表达式，求出对应x的值，再根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为92厘米时是几点钟即可． 【详解】（1）解：描点如图所示： （2）解：∵这些点基本上分布在同一条直线上， ∴这个函数的类型最有可能是一次函数． 设该一次函数的表达式为， 将坐标和分别代入，得， 解得：， ∴该一次函数的表达式为． 故答案为：一次函数． （3）①当时，． 答：供水时间达到9小时时，箭尺的读数为76厘米． ②当时，得， 解得：． 本次实验记录的开始时间是上午， 当箭尺读数为92厘米时是下午． 答：当箭尺读数为92厘米时是下午． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数的应用四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 2 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 5 类型三、一次函数的应用之行程问题 8 类型四、一次函数的应用之几何问题 14 压轴能力测评（15题） 21 解题知识必备 1. 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 压轴题型讲练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 例题：（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【变式训练】 1.（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 2.（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 3.（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 例题：（23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式训练】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 2.（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 3.（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 类型三、一次函数的应用之行程问题 例题：（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【变式训练】 1.（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 2.（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 3.（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 类型四、一次函数的应用之几何问题 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．空烧杯的质量是 B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系 C．液体的密度是 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（   ） ①两地相距千米；     ②出发小时，货车与小汽车相遇； ③出发小时，小汽车比货车多行驶了千米； ④小汽车的速度是货车速度的倍． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与铁块下降的高度（）之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降时，此时铁块在水里 B．当时，（N）与（）之间的函数表达式为 C．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离水底 D．当铁块下降高度为时，此时弹簧测力计的示数是 二、填空题 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．    5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为，7个这种盘子摞在一起的高度为．若设x个这种盘子摞在一起的高度为，则当时，y的值为 ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论： ①A，B两村相距； ②小明每小时比小红多骑行8 ； ③两人相距4 时h或2h； ④图中． 其中正确的是 ．（填字号） 三、解答题 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． (1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 8．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）某超市销售甲、乙两种商品，当销售甲商品6件、乙商品1件时，可获利润45元；当销售甲商品5件、乙商品4件时，可获利润85元． (1)问甲、乙两种商品每件的利润分别是多少元？ (2)在（1）中，该超市购进甲、乙两种商品40件并全部销售完，已知甲种商品至少能销售30件，请问超市如何进货才能有最大利润，并求出最大利润． 9．（24-25八年级上·四川成都·期末）汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系． (1)汽车行驶___________后加油，中途加油___________； (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 10．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）为振兴乡村农产品发展，石板镇水果批发市场某农资联盟公司特引进甲、乙两种特产，由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过20吨．已知甲种特产的进价是每吨10万元，售价是每吨10.5万元；乙种特产的进价是每吨1万元，售价是每吨1.2万元． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 11．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 12．（24-25八年级上·上海普陀·期末）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去A广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；表1记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据． 表1 时间（时） 0.1 0.3 距离（千米） 2 6 9 根据提供的信息，回答下列问题： (1)由表1可知，关于的函数解析式为_____；的值为_____； (2)由图可知，的值为_____；在的时段内，甲的速度为_____千米/时； (3)先到达A广场并拍照的人是____，且比另一位早到_____分钟． 13．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 14．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在Rt中，．点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点在运动过程中，其运动的路程为的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若，直接写出时的取值． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数y（厘米） 4 12 20 28 36 【探索发现】 (1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是 （填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）． 【结论应用】 (3)应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到9小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$