专题06 一次函数与方程、不等式的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题06 一次函数与方程、不等式的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 2 类型二、利用图象法解一元一次方程 3 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 5 类型四、图象法解二元一次方程组 7 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 9 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 12 压轴能力测评（15题） 14 解题知识必备 1.一次函数与一元一次方程的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 2.一次函数与二元一次方程的关系 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 3. 一次函数与不等式的关系 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 压轴题型讲练 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2023八年级下·全国·专题练习）已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 2.（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 类型二、利用图象法解一元一次方程 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【变式训练】 1.（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 3.（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知直线与交于点，则方程组的解为 ． 2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 3．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 类型四、图象法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例题：（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当时， ，当 时，，当 时，． 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级上·重庆·期末）如图，一次函数与相交于点，当时，的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是 ． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数（、是常数，且），的图像交于点，则关于的不等式的解集为 ． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式的解集是 D．方程组的解是 5．（2024·贵州黔南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小红根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程的解为； ③； ④方程组的解为，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（21-22八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 7．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）已知直线与的交点的坐标为，则关于x，y的方程组的解为 ． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 9．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程组的解是 ． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 三、解答题 11．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 12．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，． (1)求该函数的表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数的图象交于点． 当时，直接写出关于的不等式的解集； 若点在第二象限，则的取值范围是 ． 14．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 15．（24-25九年级上·四川广安·期末）（1）已知与x成正比例，且时，． ①求y与x之间的函数关系式； ②当时，求x的取值范围． （2）已知经过点的直线与直线相交于点． ①关于x，y的二元一次方程组的解为 ； ②求直线l1的表达式． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数与方程、不等式的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 2 类型二、利用图象法解一元一次方程 3 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 5 类型四、图象法解二元一次方程组 7 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 9 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 12 压轴能力测评（15题） 14 解题知识必备 1.一次函数与一元一次方程的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 2.一次函数与二元一次方程的关系 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 3. 一次函数与不等式的关系 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 压轴题型讲练 类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 【变式训练】 1.（2023八年级下·全国·专题练习）已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标． 【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 2.（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 3.（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 类型二、利用图象法解一元一次方程 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式训练】 1.（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 2.（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：的图象经过点， ， 解得：， ， 一次函数（为常数且与的图象相交于点， 方程的解为， 故答案为：． 3.（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为， ∴关于的方程的解为：， 故答案为：． 类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解 例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于掌握图像交点的意义．直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴关于，的二元一次方程组， 即， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知直线与交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．把P点的坐标代入函数的解析式得到点，根据P点的坐标得出答案即可． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴， ∴点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了利用一次函数与一次函数的图像交点解二元一次方程组，根据一次函数与一次函数的图象交点就是二元一次方程组的解进行解答即可． 将点带入可求得，进而可求解． 【详解】解：由题意得，对于， 当时，得：， 点P的坐标为， ∵一次函数与的图像相交于点， 二元一次方程组的解为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解． 根据题意求出，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与的交点的坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为： ． 类型四、图象法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解决问题的关键．先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【详解】解：将代入得，解得：， 所以A点坐标为， 所以方程组的解是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系． 【详解】解：把代入得：， 解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例题：（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， 即关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当时， ，当 时，，当 时，． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质、函数图象解不等式等知识，根据一次函数的性质结合函数图象，按要求逐步求解即可得到结论．正确地识别图象是解题的关键． 【详解】解：观察图象： 当时，是图中一次函数图象与轴交点的纵坐标，则； ，是指一次函数图象在轴上方图象，则此情况； 时，如图所示： ，是指一次函数图象在直线下方图象，也就是轴右侧的一次函数图象，则此情况； 故答案为：． 类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集 例题：（24-25八年级上·重庆·期末）如图，一次函数与相交于点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是一次函数与不等式，根据函数图象，写出当时，的取值范围即可求解． 【详解】解：根据函数图象，一次函数与相交于点， 可得当时，的取值范围为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是利用函数图象求不等式的解集． 从图象上找到在上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交点的横坐标是4， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与一元一次不等式的关系是解题的关键．先利用正比例函数确定点坐标，利用即的图象在的图象下方所对应的自变量的取值范围，观察图象即可得到答案． 【详解】解：把代入， 得， 解得：， 故， ∵即的图象在的图象下方所对应的自变量的取值范围， 结合图象得当时，， 则不等式的解集为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数（、是常数，且），的图像交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到，当时，函数的图象都在函数的图象的上方，由此得到不等式，即的解集． 【详解】解：如图所示，一次函数与的图像交于点， ∴不等式，即的解集为 故答案为：． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息． 直接从一次函数的图象上即可得到答案． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， ∴不等式的解集为． 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于的方程的解是 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集为， 不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集是，故C选项正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项符合题意． 故选D． 5．（2024·贵州黔南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小红根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程的解为； ③； ④方程组的解为，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用图象法解一元一次方程、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故结论①错误； 一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故结论②错误； 直线过， ， ， ； 故结论③错误； 由图象可知：方程组的解为， 故结论④正确 正确的结论有1个； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 二、填空题 6．（21-22八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 【答案】（−2，0） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0， ∴ax−b＝1， ∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0）， 故答案为：（−2，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 7．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）已知直线与的交点的坐标为，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系∶两一次函数图象交点坐标是两函数对应的二元一次方程组的解；二元一次方程组的解是是对应的两一次函数的交点坐标是解题的关键． 根据两一次函数图象交点坐标是两函数对应的二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵直线与的交点的坐标为， ∴方程组的解为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，首先求出点坐标，再以交点为分界，结合图象即可求出不等式的解集，准确确定出的值是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象相交于点， ∴， 解得：， ∵， ∴根据图象可知：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了根据图象求方程组的解，根据一次函数交点的意义可知，交点的横坐标即为方程组的解的值，纵坐标即为方程组的解的值，掌握交点横纵坐标就是方程组的解中的值是解题的关键． 【详解】解：∵由图象可知：函数和的图象的交点的坐标是， ∴联立， ∴的解是， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【知识点】画一次函数图象、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断． 【详解】解：如图， 直线、是常数，经过、两点，其中， 直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确； 由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确； 由图象可知：的图象比的图象平缓， ∴，故③错误； 把，代入，得 ，解得：， 不等式化为， ∵的解集为 ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 11．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 12．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，． (1)求该函数的表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数的图象交于点． 当时，直接写出关于的不等式的解集； 若点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】(1)一次函数的表达式为； (2)；． 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（）利用待定系数法即可求得； （）当时，代入中，即可求得点坐标，同时可求得的值，即可求得的取值范围； 联立方程组，解得，由点在第二象限内，则得出，然后解不等式组即可求出的取值范围； 本题考查了一次函数和一次函数的交点问题，解不等式组，解二元一次方程组，掌握待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，把代入中， ∴ ∴， 把点代入中， ∴ ∴，即， ∴； 由（）得一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，解得：， ∴点， ∵点在第二象限， ∴，解得：， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 15．（24-25九年级上·四川广安·期末）（1）已知与x成正比例，且时，． ①求y与x之间的函数关系式； ②当时，求x的取值范围． （2）已知经过点的直线与直线相交于点． ①关于x，y的二元一次方程组的解为 ； ②求直线l1的表达式． 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题主要考查二元一次方程组与一次函数的性质，解题的关键是熟知他们的关系. （1）根据正比例函数的定义即可求解，再列出不等式即可求解； （2）根据一次函数与二元一次方程组的关系即可求解，把两点代入即可求解. 【详解】解：（1）①∵与成正比例，设，把代入可得； ， 解得：， ， ②当时，则， 解得：， （2）①把点代入， 关于x, y的二元一次方程组组的解， 即为直线与直线相交的交点的坐标， 故答案为：， ②把点和点代入直线，可得：， 解得：， 所以直线的解析式为：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$