专题05 一次函数中含参数问题的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题05 一次函数中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一次函数的定义求参数 2 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8 类型五、含参数的一次函数综合问题 12 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1. 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 3.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、利用一次函数的定义求参数 例题：（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【变式训练】 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A．B．C．D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 类型五、含参数的一次函数综合问题 例题：（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)若函数的图象平行直线，求的值； (2)若这个函数是不经过原点的一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当a，b为常数，且，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如：和为“逆反函数”． (1)请直接写出函数的“逆反函数”______． (2)若点既在函数（m，n为常数，且）的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图像上，求m，n的值． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）已知两个一次函数和， (1)若两个一次函数的图像交点的坐标为，求的值． (2)直线经过的定点坐标是________． (3)当时，，求的取值范围．直接写出结果． (4)若两个一次函数的图像交点在第一象限内，求的取值范围． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知在函数的图象上有点，，下列对于与的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）一次函数，若，两点在该一次函数的图像上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C． D． 4．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）已知，，为正整数．下列说法： ①始终大于； ②若，则随的增大而减小； ③若满足条件的整数有且只有4个，则的值为1010． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 6．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）一次函数的图象经过第一，二，四象限，则m应为 ． 7．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 8．（24-25八年级上·安徽·期末）已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·全国·期末）当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 10．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）已知关于的一次函数． (1)若点，是该一次函数图象上的两点，则_____；（填“>”或“＜”） (2)若点在该函数图象上，求的绝对值． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 13．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式． (2)现有另一个一次函数，若点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 15．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数，经过点且与轴交于点B，与轴交于点C，点P是轴上一点．正比例函数与一次函数交于点D，并且恰好把面积分为两部分． (1)求正比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)如果使以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形，求P点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一次函数的定义求参数 2 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8 类型五、含参数的一次函数综合问题 12 压轴能力测评（15题） 16 解题知识必备 1. 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 3.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、利用一次函数的定义求参数 例题：（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．首先根据一次函数定义确定的值，再代入代数式，求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数，一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的性质．根据一次函数的定义可知，，从而可求得k的值，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴函数的解析式为， ∵，， ∴函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 【答案】（或） 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系，掌握一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 由y值随着x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，进而得出或，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图像与系数的关系，可得出，，进而得出，由此可得出该一次函数解析式为：或． 【详解】一次函数的y值随着x的增大而增大， ， 或． 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 或． 故答案为（或）． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将代入函数解析式并计算的值，即可判断选项A；结合，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当时的函数值，即可判断选项D． 【详解】解：A、对于函数，当时，，即图象与轴的交于点，故选项正确，不符合题意； B、对于函数，因为，所以随着的增大而减小，点、在图象上，且，则，故本选项正确，不符合题意； C、当时，则函数的图象经过第二、三、四象限，但是当时，则函数的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意； D、 对于函数，当时，，即图象经过定点，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解． ①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解 【详解】①时，，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确； ②无论k取什么值，时，总有，故函数过，故②正确； ③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，解得：，故③错误； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故④正确． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据判定正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点，判定B，D错误；根据一次函数，得到与y轴交点为，与x轴的交点为，结合，判断即交点位于x轴的正半轴上，判断A错误，C正确，解答即可． 本题考查了函数图象的分布，正确理解图象分布与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点， ∴B，D错误； ∵一次函数， ∴图象与y轴交点为，与x轴的交点为， ∵， ∴即交点位于x轴的正半轴上， ∴A错误，C正确． 故选C． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：A、如图：当一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，此时的图象也经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意； B、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以B选项符合题意； C、如图：当一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，此时的图象经过第一、三、四象限，所以C选项不符合题意； D、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以D选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项； 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 类型五、含参数的一次函数综合问题 例题：（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)若函数的图象平行直线，求的值； (2)若这个函数是不经过原点的一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】本题考查了两直线相交与平行，一次函数的定义与性质，熟记平行直线的解析式的k值相等是解题的关键， (1)根据互相平行的两条直线比例系数相等求出m的值即可； (2)这个函数不经过原点，排除，时，根据一次函数的性质，时，y随着x的增大而减小，常数项不等于0，求出m的取值范围． 【详解】（1）函数的图象与直线平行， ， 解得； （2）当函数的图象不经过原点， 即当时，， ∴， 这个函数是一次函数，且随着的增大而减小， ，解得． ∴且， 即 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当a，b为常数，且，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如：和为“逆反函数”． (1)请直接写出函数的“逆反函数”______． (2)若点既在函数（m，n为常数，且）的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图像上，求m，n的值． 【答案】(1) (2)m值为3，n值为 【知识点】求一次函数解析式、列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了新定义运算，求一次函数解析式，熟练掌握定义，是解题的关键． （1）根据“逆反函数”的定义写出结果即可； （2）把分别代入和，得出m、n的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：函数的“逆反函数”为； （2）解：把分别代入和中，，， 解得：，； ∴m值为3，n值为． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数，是常数，的图象过，两点，可以求得该函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式可以求得的值； （3）由题意可求直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 函数表达式为； （2）解：点在该函数图象上， ， ； （3）解：设点， 直线与轴交于点， 当时， 交点的坐标为， ， ， 或， 点坐标或． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）已知两个一次函数和， (1)若两个一次函数的图像交点的坐标为，求的值． (2)直线经过的定点坐标是________． (3)当时，，求的取值范围．直接写出结果． (4)若两个一次函数的图像交点在第一象限内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)且 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的交点坐标，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，求得m的值，再将坐标代入，求得k的值； （2）在中，令，得，即可求解； （3）将代入得，，得直线过点，将代入得，，得，再通过数形结合即可求解； （4）联立方程组求解，再列出不等式组求解即可． 【详解】（1）将代入得，，解得：， 将代入得，，解得：， （2）在中，令，得， 所以直线经过的定点坐标是， 故答案为：； （3）将代入得，， 所以直线过点， 将代入得，，得， 所以当时，，则的取值范围是且； （4）联立方程组得：， 解得：， 两个一次函数的图像交点在第一象限内， ， 解得：且， 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知在函数的图象上有点，，下列对于与的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性，，y随x的增大而减小解答． 【详解】解：∵一次函数函数的解析式为：， ∴， ∴函数中，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）一次函数，若，两点在该一次函数的图像上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴y随x的增大而减小， 当时，， 解得 ∵， ∴， ∴． 故选C． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）已知，，为正整数．下列说法： ①始终大于； ②若，则随的增大而减小； ③若满足条件的整数有且只有4个，则的值为1010． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式、求不等式组的解集、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查多项式乘以多项式的乘法法则、解不等式组，一次函数的性质；先表示出，，从而得出，再结合为正整数，进一步可判断①②，同理可得，结合满足的整数n有且只有4个得出，解不等式组即可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ 为正整数， ∴的最小值是， ∴， ∴，故①符合题意； ∵，而， ∴随的增大而增大；故②不符合题意； ∵， ， 为正整数， ， 满足的整数n有且只有4个，， 整数的值为，，，， ， ， ，故③符合题意； 故选：C 二、填空题 5．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数及求平方根，由一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 6．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）一次函数的图象经过第一，二，四象限，则m应为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查可一次函数图像与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，二，四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要先求出，然后根据，得到，然后即可求解． 【详解】解：把代入，得，， 把代入，得，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴随着的增大而增大． 故答案为：增大 8．（24-25八年级上·安徽·期末）已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为 ． 【答案】7或/或7 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为7或． 故答案为：7或． 三、解答题 9．（24-25八年级上·全国·期末）当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1) (2)， 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义． （1）根据形如，是常数是一次函数可得； （2）根据形如，是常数，是正比例函数，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， 10．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）已知关于的一次函数． (1)若点，是该一次函数图象上的两点，则_____；（填“>”或“＜”） (2)若点在该函数图象上，求的绝对值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式． （1）根据一次函数的增减性解答即可； （2）把代入解析式，求出m，进而可求出的绝对值． 【详解】（1）解：∵， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：将点代入， 得，解得， 则， 的绝对值为． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】（1）把原点坐标代入解析式，解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，得到；根据图象交y轴于正半轴，得 ，求解集即可； （3）根据图象不过第三象限，得图象分布在二、四、一象限，得到且图象交y轴于正半轴和原点，即，求解集即可． 本题考查了图象过点，图象的分布，性质，熟练掌握分布与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， 故； 解得； 又图象交y轴于正半轴， 故， 解得， 故． （3）解：图象不过第三象限，得图象分布在二、四、一象限， 故且， 解得． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数，两条直线的交点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再联立即可求解； （2）先将变形为，满足过定点，则与无关，故即可． 【详解】（1）解：当时，， 当，得， 解得， 当时，， ∴两个函数图象的交点坐标为； （2）解：， 当时，， 此时， ∴不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过定点． 13．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式． (2)现有另一个一次函数，若点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）把点，代入，即可求解； （2）把点代入可得，，从而得到，再整理即可求解 【详解】（1）解：把点，代入得： ，解得：，     ∴的表达式为； （2）解：把点代入得： ，即， ∴， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】构造二元一次方程组求解、求一元一次不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值． 【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 15．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数，经过点且与轴交于点B，与轴交于点C，点P是轴上一点．正比例函数与一次函数交于点D，并且恰好把面积分为两部分． (1)求正比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)如果使以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形，求P点的坐标． 【答案】(1)一次函数：；正比例函数：或 (2) (3)或或或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）把代入，求出b的值，即可求得一次函数解析；分两种情况：当时，当时，分别求出正比例函数解析式即可； （2）由求解即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别 求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， ∴一次函数的解析式为； 令，则， ∴， ∴ 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴ 当时，如图，    则，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点D在第二象限， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴正比例函数的解析式为； 当时，如图，    ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点D在第二象限， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴正比例函数的解析式为； 综上，正比例函数的解析式为或． （2）解：由（1）知：，， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ①当时，    ∴， I）当点P在点B右边时， ∴， ∴； II）当点P在点B左边时， ∴， ∴； ②当时，过点A作轴于E，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点P作于F，过点F作轴于G，如图，    ∵，， ∴发，邓点F为线段的中点， ∵，， ∴，即， ∵ ∴，， ∴， 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴ 解得：， ∴ ∵点P在x轴的负上， ∴． 综上，以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形时，P点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积．注意分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$