专题03 函数与函数图象的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题03 函数与函数的图象的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、函数的理解 2 类型二、函数的三种表示方法 4 类型三、求自变量的值或函数值 8 类型四、动点问题画函数图象 9 类型五、从函数的图象获取信息 14 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 1.变量与函数 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2.函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 3.函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 压轴题型讲练 类型一、函数的理解 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 2.（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C．D． 3.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 类型二、函数的三种表示方法 例题：（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 3.（22-23六年级下·山东烟台·期末）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：    (1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据以上图象补全表格： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 (3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？ (4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y． 类型三、求自变量的值或函数值 例题：（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在函数 中，自变量x的取值范围是 ． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·上海·单元测试）要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 3.（24-25八年级上·上海·单元测试）现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ． 类型四、动点问题画函数图象 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）．如图1，四边形是长方形，动点E从点B出发，沿匀速运动，到达点A停止运动，速度为，设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（　　） A． B．S的最大值为 C．当时， D．当时， 【变式训练】 1.（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 3.（23-24七年级下·全国·单元测试）已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 类型五、从函数的图象获取信息 例题：（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 2.（24-25八年级上·山东济南·开学考试）甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程与乙行驶的时间的关系如图①所示，其中表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图②所示，请你解决以下问题： (1)图②中的自变量是______，因变量是______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)结合题意和图①，可知图②中：______，______； (4)求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为？ 3.（23-24六年级下·山东东营·期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s()与甲行驶的时间为t（）之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点． (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．55 D．105 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）下列图象不能表示为的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示． 有下列说法：①乙货车的速度为；②乙到终点时，甲乙相距；③点E的坐标为；④当或时，两车之间距离为． 其中正确说法的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下表是根据某地区入学儿童人数编制的： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 … 入学儿童人数/人 2930 2720 2520 2330 2140 … 上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ，因变量是 ． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）在地球某地，地表以下岩层的温度与所处深度之间的关系可以近似地用关系式来表示（如图）．当x的值为1时，相应的y值是 ；当x的值为6时，相应的y值是 ． 8．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ． 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线，观察曲线，回答下列问题： (1)自变量是__________，因变量是__________ (2)该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强？在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱？植物的光合作用发生在哪个时间段内？ (3)曲线Ⅰ，Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么？ 11．（24-25八年级上·广东河源·期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 12．（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）某市计划在偏远地区拓展“互联网＋教育”新模式，为了配合新模式的运行，某企业捐赠了一批物资，已知甲、乙两辆运送物资的货车从同一地点出发，沿同一条道路行驶．它们行驶的路程与乙车行驶的时间之间的图象如图所示，观察图象并回答下列问题： (1)货车______先出发（填“甲”或“乙”）； (2)货车乙行驶一段路程后出现了故障，停下来修车，货车乙停留修车的时间为______h； (3)货车乙修好后行驶的速度与故障前行驶的速度一样吗？为什么？ (4)若货车甲始终匀速行驶，请问：货车甲出发后多久与货车乙相遇？ 14．（24-25七年级上·山东聊城·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是_____； （2）摩天轮最高点距地面_____（米），摩天轮最低点距地面_____（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 15．（24-25八年级上·重庆·期中）动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数与函数的图象的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、函数的理解 2 类型二、函数的三种表示方法 4 类型三、求自变量的值或函数值 8 类型四、动点问题画函数图象 9 类型五、从函数的图象获取信息 14 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 1.变量与函数 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2.函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 3.函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 压轴题型讲练 类型一、函数的理解 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：A、不符合函数的定义，不是的函数，故此选项符合题意； B、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； C、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； D、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 2.（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 3.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握“设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量”是解题的关键． 根据函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； B．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； C．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； D．当时，y有两个值与之对应，故本选项符合题意． 故选：D． 类型二、函数的三种表示方法 例题：（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【知识点】函数解析式、函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系 (2)见解析 (3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、从函数的图象获取信息、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法： （1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系； （2）解：根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）解：由图象得： 当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加； 当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 3.（22-23六年级下·山东烟台·期末）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：    (1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据以上图象补全表格： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 (3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？ (4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y． 【答案】(1)图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)16，18 (3)5千克 (4) 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】（1）根据变量常量的定义结合题意进行判断即可； （2）根据图象填写表格即可； （3）根据图象得出结论； （4）根据图象可知所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米，据此解答即可． 【详解】（1）图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）由图象得： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 16 18 故答案为：16，18； （3）由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是5千克． （4）∵所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米， ∴． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系是正确判断的关键． 类型三、求自变量的值或函数值 例题：（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在函数 中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·上海·单元测试）要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】根据题意和题目中的数据，可以直接写出河道剩水量（立方米）和水泵抽水时间（小时）的函数关系式，然后再令求出的值，即可写出的取值范围．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． 【详解】解：由题意可得， ， 当时，，可得， 的取值范围为， 故答案为：，． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可． 【详解】∵在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为， ∴，整理得， 由等腰三角形可得， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为，定义域为， 故答案为：，． 3.（24-25八年级上·上海·单元测试）现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】根据总本数减去借出的本数等于余下的本数，可得函数关系式，根据总本数除以每人借的本数，可得答案．本题考查了一次函数的应用，利用了总本数减去借出的本数等于余下的本数． 【详解】解：∵现有300本图书借给学生阅读，每人5本 ∴余下的本数和学生人数之间的函数表达式为， 其中自变量是， 故答案为：，． 类型四、动点问题画函数图象 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）．如图1，四边形是长方形，动点E从点B出发，沿匀速运动，到达点A停止运动，速度为，设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（　　） A． B．S的最大值为 C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图2中各个关键点的横坐标判断出动点在图1中的位置是解决本题的关键．理解当时，点可能在边上，也可能在边上是解决本题的易错点． 由图2中各个关键点的横坐标可得动点从点运动到点、、所用的时间，根据点的速度可得动点在相应时间内行走的路程，那么可得长方形各边长，即可判断A选项的正误；易得点在边上时，的面积最大，那么可得的最大值，可判断B选项的正误；当时，点在边上，可得的长，进而可得的值，可判断C选项的正误；当时，点可能在边上，也可能在边上，分别求得点的运动路程，除以速度即可得到t的值，即可判断D选项的正误． 【详解】解：由题意得：点从点运动到点、、所用的时间分别是， ∵点的速度为， ∴． ∴． ∵四边形是长方形， ∴．故A错误，不符合题意； 当点在边上时，的面积最大． ．故B正确，符合题意． 当时，点在边上，． ∴．故C错误，不符合题意． 当时，点可能在边上，也可能在边上． ①点在边上时， ， ， ②点在边上时， ∴点运动的路程为． ， 故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1.（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)自变量是的长，因变量是的面积 (2)， (3)见解析 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）根据题意即可求解； （2）根据表格数据可得，，的高是，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）当时，，当时，，再根据三角形的面积公式可求解析式，根据函数的性质可得的面积变化情况． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是的面积； （2）解：时，；时，， ，，的高是， 时，， ， 当时，， ， ，； （3）解：当时，， ，即； 当时，， ，即； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 3.（23-24七年级下·全国·单元测试）已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 【答案】(1)；； (2)的值为，的值为 (3)； 【知识点】函数解析式、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查动点问题的函数图像，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图像信息． （1）因为点速度为，所以根据图2的时间可以求出线段，和的长度； （2）由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （3）先用表示出点到的水平距离，再根据三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 故答案为：；；． （2）解：根据题意得：， ， ． ∴图2中的值为，的值为． （3）解：由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即， 由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即． ∴点在线段上运动时与的关系式为，点在线段上运动时与的关系式为． 类型五、从函数的图象获取信息 例题：（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【答案】(1)0.125；0.5 (2) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系： （1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：玲玲的速度为：千米/分钟， 小华返回学校的速度为：千米/分钟． 故答案为：0.125；0.5； （2）由题意，得：， 解得：． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【答案】(1)离开家的时间，离家的距离 (2)900；4 (3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家的距离， 故答案为：离开家的时间，离家的距离； （2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米， 李老师在小明家停留了（分钟）， 故答案为：900；4； （3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为（米/分）． 2.（24-25八年级上·山东济南·开学考试）甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程与乙行驶的时间的关系如图①所示，其中表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图②所示，请你解决以下问题： (1)图②中的自变量是______，因变量是______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)结合题意和图①，可知图②中：______，______； (4)求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为？ 【答案】(1)乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差 (2)25，10 (3)1.5，10 (4)或 【知识点】从函数的图象获取信息、有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （3）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （4）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】（1）解：图②中的自变量是乙行驶的时间，因变量是甲、乙两人之间的路程差； 故答案为：乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差； （2）解：由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故答案为：25，10； （3）解：由图可得， ， ， 故答案为：1.5，10； （4）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 3.（23-24六年级下·山东东营·期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s()与甲行驶的时间为t（）之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点． (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米． 【答案】(1) (2)甲的速度是40千米/时，乙的速度是80千米/时 (3)120千米 (4)或 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键． （1）根据函数图象，两个相距为0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （2）由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时，即可求出甲的速度．根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度； （3）当乙到达终点A地时，求出甲离开出发地A地的路程，即为甲乙两人的距离； （4）分为相遇前和相遇后两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 在点M时，，此时两人相遇， 点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点P表示两人距离为，此时甲到达终点； 故答案为：N； （2）解：由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时， ∴甲的速度为（千米/时） ∵当时，两人相遇， ∴两人的速度之和为（千米/时） ∴乙的速度为（千米/时） （3）解：当乙到达终点A地时，甲离开出发地A地有（千米）， ∴当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米； （4）解：相遇前，甲乙两人相距180千米，则 （小时）， 相遇后，甲乙两人相距180千米，则 ∵当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米，之后两人距离逐渐增大， ∴（小时）， 综上所述，甲出发小时或小时时，甲、乙两人相距180千米． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．55 D．105 【答案】A 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】此题考查了求因变量的值，把自变量的值代入关系式计算即可． 【详解】解：当自变量时，， 故选：A 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）下列图象不能表示为的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数的概念，根据函数的概念即可得出答案． 【详解】解：由函数的概念可知，一个自变量x的值只能对应一个因变量y的值， 选项C中，一个自变量x的值可以对应两个因变量y的值，不符合函数的概念． 其他选项均符合函数的概念． 故选：C． 3．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，树苗每个月增长的高度是， 故该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为， 故选：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示． 有下列说法：①乙货车的速度为；②乙到终点时，甲乙相距；③点E的坐标为；④当或时，两车之间距离为． 其中正确说法的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，由函数图象可知，A、B两地的距离为，且甲、乙出发小时后相遇，据此可求出乙的速度，则可判断①；再求出乙到达中点的时间，进而求出乙到达终点时，甲行驶的路程即可判断②③；分相遇前和相遇后两种情况，根据“速度和时间路程”，即可得出两车相遇的时间，即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，A、B两地的距离为，且甲、乙出发小时后相遇， ∴乙货车的速度为，故①正确； ∴乙到达终点的时间为， ∴乙到达终点时，甲行驶的路程为， ∴乙到终点时，甲乙相距，点E的坐标为，故②③错误； 当二者相遇前，相距时，则， 当二者相遇后，相距时，则，故④正确； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下表是根据某地区入学儿童人数编制的： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 … 入学儿童人数/人 2930 2720 2520 2330 2140 … 上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ，因变量是 ． 【答案】 两 年份 入学儿童人数 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．首先根据表格，可得上表反映了两个变量（入学儿童人数和年份）之间的关系；然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可． 【详解】解：∵入学儿童人数随着年份的变化而变化， ∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是年份；因变量是入学儿童人数． 故答案为：两，年份，入学儿童人数． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）在地球某地，地表以下岩层的温度与所处深度之间的关系可以近似地用关系式来表示（如图）．当x的值为1时，相应的y值是 ；当x的值为6时，相应的y值是 ． 【答案】 55 230 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求代数式的值．分别把或代入函数关系式，即可解答． 【详解】解：当时，， 当时，， 故答案为：55；230． 8．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ． 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小， 由题意可得，，，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线，观察曲线，回答下列问题： (1)自变量是__________，因变量是__________ (2)该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强？在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱？植物的光合作用发生在哪个时间段内？ (3)曲线Ⅰ，Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么？ 【答案】(1)时间植物的光合作用强度；植物的呼吸作用强度 (2)植物的呼吸作用强度在0时~12时逐渐增强，在12时~24时逐渐减弱；植物的光合作用发生在4时~20时之间 (3)在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大 【知识点】函数的概念、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了常量和变量，函数图象，正确的识别图象是解题的关键． （1）根据函数图象即可得到结论； （2）根据图象中提供的信息即可得到结论； （3）根据图象中提供的信息即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象知，此图反映的自变量是时间植物的光合作用强度，因变量是植物的呼吸作用强度； 故答案为：时间植物的光合作用强度；植物的呼吸作用强度； （2）解：由图象知，植物的呼吸作用强度在0时~12时逐渐增强，在12时~24时逐渐减弱；植物的光合作用发生在4时~20时之间； （3）解：由图象知，它所代表的意义是在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大． 11．（24-25八年级上·广东河源·期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【答案】(1)凳子的数量是自变量，高度是因变量 (2) (3)个 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】（）根据表格中列举的变量即可求解； （）根据表格中数据变化规律求解即可； （）根据（）中的函数关系式，把代入求解即可； 本题考查了常量与变量，函数的表示方法，求自变量的值或函数值，理解变量与常量的意义并根据表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量； （2）解：由表格中两个变量的变化关系可得，， 即； （3）解：当时，， 解得， 答：当这摞凳子的高度为时，凳子的数量为个． 12．（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【知识点】求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法、函数解析式 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）某市计划在偏远地区拓展“互联网＋教育”新模式，为了配合新模式的运行，某企业捐赠了一批物资，已知甲、乙两辆运送物资的货车从同一地点出发，沿同一条道路行驶．它们行驶的路程与乙车行驶的时间之间的图象如图所示，观察图象并回答下列问题： (1)货车______先出发（填“甲”或“乙”）； (2)货车乙行驶一段路程后出现了故障，停下来修车，货车乙停留修车的时间为______h； (3)货车乙修好后行驶的速度与故障前行驶的速度一样吗？为什么？ (4)若货车甲始终匀速行驶，请问：货车甲出发后多久与货车乙相遇？ 【答案】(1)甲 (2)1 (3)一样，见解析 (4)小时 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，利用利用数形结合的方法是解答本题的关键． （1）根据题意可知，甲货先出发； （2）根据乙车行驶的时间之间的图象中“路程不变”这部分的横坐标相减即可； （3）分别求出货车出现故障前后的速度即可判断； （4）根据“时间路程速度”列式计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，货车甲先出发； 故答案为：甲； （2）解：货车乙停留修车的时间为：， 故答案为：1； （3）解：货车乙修好后行驶的速度为， 故障前行驶的速度为． 所以货车乙修好后行驶的速度与故障前行驶的速度一样； （4）解：货车甲的速度为，货车甲出发后与货车乙相遇的时间为． 答：若货车甲始终匀速行驶，货车甲出发小时后与货车乙相遇． 14．（24-25七年级上·山东聊城·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是_____； （2）摩天轮最高点距地面_____（米），摩天轮最低点距地面_____（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】（1）t， h；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米． 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据这个变化过程中变化的量可得答案； （2）根据图象读取信息求解即可； （3）根据用圆的周长除以分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以分钟即可求解． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，变量是t， h； （2）摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 15．（24-25八年级上·重庆·期中）动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 【答案】(1)，14，10 (2) (3)或． 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）根据（1）中数据求出，再根据即可解答； （3）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）由（1）知，点H在线段上运动时，，， 此时，， ； （3）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$