9.3.1平面向量基本定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.3.1平面向量基本定理 复习导入 向量的数量积 定义 投影与投影向量 当与同向时，；反向时， 性质 性质与运算律 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） 新知探究 思考：我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。对此，联系向量，你能得到什么启发呢？ 是否可以利用平行四边形法则，将向量也同样进行分解呢? 新知探究 问题1：已知非零向量，那么所有与共线的向量，都能用表示吗？如何表示？ 能， 问题2：可以只用这个非零向量来表示这一平面上的任意一个向量吗？ 不能，只能表示与共线的向量 问题3：要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？ 新知探究 探究：如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量. 将按，的方向分解，你有什么发现？ O M N 新知探究 问题1：平面内所有的向量都能被其线性表示吗？再给出另外一个，还能这样表示吗？ 能 O C B A 问题2：与，共线的向量，能这样表示吗？ 问题3：能这样表示吗？ 能， 新知探究 问题4：如果给定的两向量 共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 不能，此时与，共线，当向量与它们不共线时，则无法表示. 只有不共线时，才可以用来表示平面内的任一向量，即若不共线，则对，都存在，，使得 新知探究 问题5：在这种表示方法中，这样的实数，有几个？ 有且只有一个，理由如下： 如果还可以表示成的形式， 那么 可得 全为0 即 也就是说，有且只有一对实数，使. 新知探究 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注：由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便. 新知探究 问题6：由上可知，基底有哪些特征呢？ ①基底不唯一 ②基底是两个不共线的向量 ③零向量不能作为基底 辨析：判断正误. (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. （ ） (2)零向量可以作为基底. （ ） (3)若是同一平面内两个不共线的向量，则(为实数)可以表示该平面内所有向量. （ ） × × √ 练习巩固 练习1：设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组： ① 与；② 与；③ 与；④ 与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 不共线 共线 不共线 共线 【答案】： A B C D O 变式1-1：若是平面内一组基底，则下列能作为平面向量的基底的是（ ）. A.， B.， C.， D.， 【答案】： 练习巩固 变式1-2：若向量，不共线，则＝－，＝－，试判断{，}能否作为基底． 解：设存在实数，使＝， 则2－＝(3－2)， 即(2－3)＋(2－1)＝0， 由于向量，不共线， 所以2－3＝2－1＝0，这样的是不存在的， 从而，不共线，{，}能作为基底． 练习巩固 变式1-3：设向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则，试求的值。 解：因为与共线，所以存在，使得， 即. 故，，解得. 条件一 平面内任一向量和同一平面内两个不共线向量e1，e2 条件二 ＝λ1＋μ1且＝λ2＋μ2 结论 ，即各项系数对应相等 练习巩固 例1：如图，平行四边形的对角线和交于点，，，试用基底，表示，，。 解： 因为平行四边形对角线互相平分，所以 从而 练习巩固 例2：设，是平面内的一组基底，，，，求证：三点共线。 解：因为 所以，与共线。 又因为与有公共起点，所以三点共线 练习巩固 练习2：如图，，不共线，且，用，表示. 解：因为， 所以 思考1：观察，你有什么发现？ 若三点共线，为直线外一点存在实数，使且. 练习巩固 变式2-1：分别为的边上的中点，且，，则下列结论中正确的是（ ）. . B. C. D. 【答案】： 变式2-2：如图所示，中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝， ＝，试用，表示向量. 【答案】：＝ ＋ ＝ ＋ ＝＋＝＋ －＝ ＋ . 练习巩固 变式2-2：如图所示，中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝，＝，试用，表示向量，. ＝ ＝ 2 ＝ 2 ＝ 2 【答案】： ＝ ＝ 2 ＝ 2 ＝ 2 练习巩固 用基底表示向量常见模型 小结 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. ①基底不唯一 ②基底是两个不共线的向量 ③零向量不能作为基底 $$