专题06 等腰（等边）三角形中的维维尼亚模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题06 等腰（等边）三角形中的维维尼亚模型 目录 1 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 1 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 6 10 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 例2．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　） A． B． C．2 D． 例3．（23-24七年级下·河北保定·期末）【发现】如图1，中，，BD是的高，P是边BC上任一点，过点P分别作PM，PN与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N． 小明发现：如果连接AP，线段BD、PM、PN恰好是、、的高，则有，即，由，可得． 【拓展】当点P在CB的延长线上，且其他条件不变时，连接AP，得到图2，请判断此时BD，PM，PN之间的数量关系，并说明理由． 【延伸】中，AB＝AC＝BC，BD是的高，P是所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q． ①点P在的内部（如图3）时，可以发现BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是______． ②点P在的外部（如图4）时，探究得出BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是______． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，等腰三角形中，，，点P是底边上一动点，、分别与、两边垂直，垂足分别为D、E，则的值为 ． 例2．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为 ． 例3．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 一、单选题 1．如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 2．如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 3．如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 二、填空题 4．如图，在正方形中，，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足为E和F，则 ． 5．如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于 ．    6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝12，P为△ABC的内部一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．且，，，则△ABC的面积是 ． 三、解答题 7．如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1)当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2)如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 8．，，垂足为，点在直线上，，，，垂足为． (1)当点在直线与之间时，如图①，求证：； (2)当点在直线上方时，如图②，当点在直线下方时，如图③，请分别写出线段，与之间的数量关系，不需要证明． 9．阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 10．教材呈现： 如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容， 如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边长分别为8和15，求点到矩形的两条对角线和的距离之和． 问题解决： 如图①，过点分别作，分别交于点、，设与相交于点，连结，利用与的面积之和是矩形面积的，可知点到矩形的两条对角线和的距离之和(即)为______． 实践应用： （1）如图②，在中，为底边上的任意一点，过点作，垂足分别为，求的值． （2）如图③，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为上一动点(不与重合)，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点和，以为邻边作平行四边形．，直接写出的周长______． 11．课本再现： （1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值． 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． （3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积． 12．整体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程．对于问题1，王老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． （1）如图1，在菱形中，对角线的长分别为和，点为对角线上一动点（不与点重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． 灵活应用以上方法解决问题： （2）如图2，若为矩形，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长； （3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等腰（等边）三角形中的维维尼亚模型 目录 1 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 1 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 6 10 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，连接、、，过B作于点G，根据面积相等得出，求出，得出，即可求出面积． 【详解】解：如图，连接、、，过B作于点G，    ∵，， ，，∴， ∴．故选：C 例2．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出等边三角形的高，再根据△ABC的面积等于△PAB、△PBC、△PAC三个三角形面积的和，列式并整理即可得到PD＋PE＋PF等于三角形的高． 【详解】解：∵正三角形的边长为2，∴高为2×sin60°＝，∴S△ABC＝×2×＝， ∵PD、PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，∴S△PBC＝BC•PD，S△PAC＝AC•PE，S△PAB＝AB•PF， ∵AB＝BC＝AC，∴S△PBC+S△PAC+S△PAB＝BC•PD+AC•PE+AB•PF＝×2（PD+PE+PF）＝PD+PE+PF， ∵S△ABC＝S△PBC+S△PAC+S△PAB，∴PD+PE+PF＝．故选B． 【点睛】本题利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形的面积的和求解． 例3．（23-24七年级下·河北保定·期末）【发现】如图1，中，，BD是的高，P是边BC上任一点，过点P分别作PM，PN与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N． 小明发现：如果连接AP，线段BD、PM、PN恰好是、、的高，则有，即，由，可得． 【拓展】当点P在CB的延长线上，且其他条件不变时，连接AP，得到图2，请判断此时BD，PM，PN之间的数量关系，并说明理由． 【延伸】中，AB＝AC＝BC，BD是的高，P是所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q． ①点P在的内部（如图3）时，可以发现BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是______． ②点P在的外部（如图4）时，探究得出BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是______． 【答案】拓展：，理由见解析； 延伸：① ，② 【知识点】等边三角形的性质、面积及等积变换 【分析】拓展：连接AP，根据得出，即可证得； 延伸：①连接AP、BP、CP，根据，得出，即可证得； ②连接AP、BP、CP，根据得出，即可证得． 【详解】解：拓展： ，理由如下： 如图2所示： ∵ ， ∴， ∵， ∴； 延伸：① ， 如图3所示，连接AP、BP、CP， ∵ ， ∴， ∵， ∴； ② ， 如图4所示，连接AP、BP、CP， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，等腰三角形中，，，点P是底边上一动点，、分别与、两边垂直，垂足分别为D、E，则的值为 ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意画出图形，然后过A点作于F，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得的长，由图形得代入数值，解答出即可． 【详解】如图所示，过A点作于F，连接， ∵在中，，， ∴， ∴在中，， ∴， 即 ∴ 故答案为：． 例2．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，利用三角形的面积，由求解即可． 【详解】解：连接， 由题意，， 由图知，， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 【答案】(1)，理由见解答 (2)（1）中关系还成立，理由见解答 【知识点】根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在解决一题多变的时候，基本思路是相同的，注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用． （1）如图，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解， 理由：如图1，连接， ∵于于于， ∵， 又∵ ∴， ∵ ∴； （2）（1）中关系还成立， 理由：连接， ， 又， 一、单选题 1．如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积， 连接，根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值. 【详解】解：连接，如图，    ∵、分别与两边垂直，面积为20， ，     ， ， ， 故选：A． 2．如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、垂线段最短 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，连接，过点C作于点H，先求出，证明四边形是矩形，则，当的值最小时，的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长，则的最小值是线段的长，然后根据三角形的面积公式求出线段的长即可得出答案． 【详解】解：连接，过点C作于点H，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当的值最小时，的值为最小， 点P在斜边上（不与A、B重合）， 根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， 长度的最小值为． 故选：C． 3．如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【详解】此题考查了矩形的性质、三角形面积公式．令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案． 【解答】解：如图，令与相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 4．如图，在正方形中，，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足为E和F，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理：连接，根据正方形的性质得出，，，根据三角形的面积得出，将值代入计算即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于 ．    【答案】7.8 【知识点】利用菱形的性质求线段长、垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和线段最值问题，点到直线的所有线段中，垂线段最短，连接交于点O，连接，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出的长度，再根据建立等式推算出的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的值为定值， 当最小时，有最小值， ∵当时，的最小值， ∴的最小值， 故答案为：． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝12，P为△ABC的内部一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．且，，，则△ABC的面积是 ． 【答案】36． 【知识点】等边三角形的性质 【分析】连接AP、BP、CP，则△ABC的面积＝△ABP的面积+△BCP的面积+△ACP的面积，进而得出答案． 【详解】解：连接AP、BP、CP，如图所示： ∵PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，AB＝AC＝BC＝12， ∴△ABC的面积＝△ABP的面积+△BCP的面积+△ACP的面积 ＝AB×PM+BC×PQ+AC×PN＝AB×（PM+PQ+PN） ＝×12×（3++2） ＝36； 故答案为：36． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握等边三角形的性质和三角形面积公式是解题的关键． 三、解答题 7．如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1)当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2)如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)当点D在的中点时，，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）当点D在的中点时，，根据证，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图，连接，根据进行分析证明即可解答． 【详解】（1）解：当点D在的中点时，．理由如下： ∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，连接． ∵ ∴． ∵， ∴． 8．，，垂足为，点在直线上，，，，垂足为． (1)当点在直线与之间时，如图①，求证：； (2)当点在直线上方时，如图②，当点在直线下方时，如图③，请分别写出线段，与之间的数量关系，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)；；证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）延长交于点F，证明，可得，再由四边形是矩形，可得，即可求解； （2）如图②延长交于点F，证明，可得，再由四边形是矩形，可得，即可求解；如图③设交于点F，证明，可得，再由四边形是矩形，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：延长交于点F，如图所示： ∵， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． （2）解：图②结论：；理由如下： 延长交于点F，如图所示： ∵， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 图③结论：；理由如下： 设交于点F，如图所示： ∵， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 9．阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）替代，中的即可；（2）连接，利用计算即可；（2）连接，利用计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．教材呈现： 如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容， 如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边长分别为8和15，求点到矩形的两条对角线和的距离之和． 问题解决： 如图①，过点分别作，分别交于点、，设与相交于点，连结，利用与的面积之和是矩形面积的，可知点到矩形的两条对角线和的距离之和(即)为______． 实践应用： （1）如图②，在中，为底边上的任意一点，过点作，垂足分别为，求的值． （2）如图③，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为上一动点(不与重合)，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点和，以为邻边作平行四边形．，直接写出的周长______． 【答案】问题解决：；（1）；（2）8 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】问题解决：根据勾股定理求得，利用“与的面积之和是矩形面积的”列出方程，即可求解； （1）作于D，利用三线合一性质求出、再用勾股定理求出，再用等面积法求解即可； （2）证明是等腰三角形，，再用等面积法得到，从而求出，继而得解． 【详解】解：问题解决： ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵与的面积之和是矩形面积的，即 ∴， ∴； （1）作于D，连接， 又∵在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， （2）8，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，， 连接， 与（1）同理得：， 即 ∵， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握题中给定的方法是解题的关键． 11．课本再现： （1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值． 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． （3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、二次根式的除法、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）连接，由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得，由，得，从而求出． 【详解】（1）解：如图1，连接， 四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得：； （2）解：四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图2所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； （3）解：如图3，连接，，， ， ， ， ， ∴， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积等知识是解题的关键． 12．整体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程．对于问题1，王老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． （1）如图1，在菱形中，对角线的长分别为和，点为对角线上一动点（不与点重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． 灵活应用以上方法解决问题： （2）如图2，若为矩形，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长； （3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）的值为；（2）平行四边形的周长为；（3）的面积为 【知识点】矩形与折叠问题、利用菱形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）如图所示，连接，根据对角线可求出菱形的面积，的面积，根据即可求解； （2）根据矩形的性质，折叠的性质可求出的长，是等腰三角形，可求出，如图所示，连接，过点作与点，可求出的面积，根据，可求出的值，最后根据平行四边形的性质即可求解； （3）如图所示，过点作于点，连接，根据等边三角形的性质可得，根据可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线的长分别为和， ∴，菱形的面积， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，连接，设对角线交于点， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∴的值为； （2）∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵折叠，且， ∴，，， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，且， 在直角中，， ∴， 如图所示，连接，过点作与点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为； （3）如图所示，过点作于点，连接， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∵，即， ∴， 解得，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，平行四边形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握特殊四边形的性质，几何图形面积的构造与计算方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$