专题05 特殊三角形中的分类讨论模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题05 特殊三角形中的分类讨论模型 目录 1 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 4 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 11 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 13 21 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】画出相应图形，分为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．本题考查的是三角形外接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补． 【详解】解：（1）圆心在外部， 在优弧上任选一点，连接，． ∵，，； ，； （2）圆心在内部．∵，∴， ，．综上所述，底角的度数为或，故选：C． 例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图1，三角形是锐角三角时，，顶角； 如图，三角形是钝角时，，顶角， 综上所述，顶角等于或．故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 例3．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解． 【详解】解：①当为底边长时，腰长为，， ∵三角形为等腰三角形，，解得，∴，，∵，∴构不成三角形； ②当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得， ∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为； ③当为底边长时，腰长为，，∵三角形为等腰三角形，，解得， ∴，，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为． 综上，等腰三角形的周长为7或10，故选：B． 例4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①；②两种情况，再分别根据等腰三角形的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检验即可得． 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则，由题意，分以下两种情况： ①当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为．故答案为：． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2024·江西南昌·二模）如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、三角函数综合 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数．当为等腰三角形时，有以下三种情况：①当时，过点A作于F，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，则，进而得的度数；②当时，又有两种情况：（ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，，则，进而得的度数；（ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，先分别求出，，进而得，由此可得的度数；③当时，过点E作于H，根据等腰三角形性质得，根据平行线间的距离得，则，由此得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，过点A作于F，如图1所示： 在中，， ∴， 即平行线间的距离为， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，又有两种情况： （ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，如图2所示： 由①可知：平行线间的距离为，即， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，如图3所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点E作于H，如图4所示： ∵， ∴， 由①可知， ∴， ∴（此时点E与点C重合）， ∴． 综上所述：的度数为：或或． 故答案为：或或． 例2．（2024·江西九江·模拟预测）如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当 时，为等腰三角形． 【答案】或 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据旋转的性质可得：，根据等边对等角可知：，再表示出，根据三角形外角的性质可表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴ 根据三角形的外角性质可得： ， 是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，则， ，此时无解； ②当时，则，，解得：； ③当时，则，，解得：； 综上所述，旋转角度数为或， 故答案为：或． 例3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 【答案】，或 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理及解方程等知识，由是等腰三解形，分三种情况：，作出图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三解形， 分三种情况：： ①当时，是等腰三解形； ②当时， ， 点的位置如图所示： 过点作于点，如图所示： 是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线，即， 设，则， 在中，，即； 在中，，即； ，即，解得， ； 当时，如图所示： 由②中，可知是等腰直角三角形，即， 当时，，则，即是等腰直角三角形， ，则，解得； 综上所述，的长为，或， 故答案为：，或． 例4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 【答案】6或或 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键．分类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线， 当斜边为时，中线，∴斜边的长为或，故选：A． 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴，∴中，； 如图，当时，同理可得， ∵，∴， ∴， 综上所述：的度数为或．故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为 ．    【答案】1或 【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，分，两种情形分别画出图形，结合三角函数及勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：如图，当时． 在中，∵，，∴，， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，，∴，   ，  ， 如图，当时，作交的延长线于H．设， ∵，，∴，∴， ∵，∴，在中，，，， 在中，∵，∴，解得， 综上所述，满足条件的的值为1或，故答案为：1或． 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 例1．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 【答案】或或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 【点睛】 例2．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6或7 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】分，，三种情况计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键． 【详解】∵在中，，，， ∴，， 过点A作于点M， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴，． ①如图1，当时， 则， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴， ∴ ②如图2，当时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， ∴， ∴，，． 设，则． ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③如图3，当时， 在中，， ∴， ∴． 综上所述，当为直角三角形时，的长为3或6或7． 例3．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    【答案】或或 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 例4．（2024·江西景德镇·二模）在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ． 【答案】或或 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、全等的性质和SSS综合（SSS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：在中，∵，，点O是的中点， ∴， ∴，，， ①如图，当时， 在和中，， ∴， ∴， ∴． ②如图，当时， 同理可证 ∴， ∴． ③如图中，当时， 同理可证， ∴， ∴， 故答案为：或或． 一、单选题 1．等腰三角形的一个角为，则它的底角为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质．等腰三角形中相等的角叫底角，另外一个角叫顶角，所以本题有两种情况，再分情况求解即可． 【详解】解：当为顶角时，底角为：． 也可以为底角． ∴底角为或； 故选：D． 2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出顶角的大小． 【详解】解：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， 等腰三角形的顶角度数为或， 故选：C． 3．如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：如图， 则在x轴上共有4个这样的P点． 故选：C． 4．如图，在中，，，点E在边上运动（点E不与A，B重合），作，使交边于点D，连接．在点E的运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，的度数为（   ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，数形结合，分类讨论，①如图所示，；②如图所示，；由此即可求解，解题的关键是正确分类，熟练等腰三角形的判定和性质． 【详解】解：∵，， ∴，则， ①如图所示，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，，即是等腰三角形，    ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故选：D 5．如图，于点O，点E，F分别是射线上的动点（不与点O重合），延长至点G，的角平分线及其反向延长线分别交的角平分线于点M，N．若中有一个角是另一个角的4倍，则为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理及外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论． 【详解】解：平分平分， ， ， ； ①当时 ， 平分， ， ， ， ； ②当时， ， ， 此种情况不成立； ③当时， 设， ， ， ， ， ； ④当时， 设， ， ， 此种情况不成立； 综上所述，的度数为或； 故选：A． 二、填空题 6．如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键． 先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，为直角三角形时， 当为直角三角形时，； 当时，， 故答案为：或． 7．等腰三角形，，中线把这个三角形的周长分成和的两部分，则三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，分腰长与腰长的一半是和两种情况，求出腰长，再求出底边，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可． 【详解】如图，设腰长为． ①腰长与腰长的一半是时， ， ∴， ∴底边， ∵ ∴三角形的三边为、、，能组成三角形； ②腰长与腰长的一半是时， ， ∴， ∴底边， ∵， ∴三角形的三边为、、，能组成三角形， 故答案为：或． 8．如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，先求出，再根据等腰三角形的定义可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求出的大小，从而可得，最后分两种情况：①和，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，连接， 设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 9．如图，在中，，，D为的中点，点E在上，，若P是或上一点，当是以为底的等腰三角形时，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵当是以为底的等腰三角形时， 当点P在上时， ∵， ∴， ∴； 当点P在上时， ∵，D为的中点， ∴， 过D作于G，于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵于G，于H，， ∴， ∴， 当点P在上时， 同理证得， ∴， ∴， 故答案为：或或． 10．如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ． 【答案】70或45或25 【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形想性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键．分当时，当时，当时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图， ， 由折叠性质，知， ， ； 当时，如图， 由折叠性质，知， ； 当时，如图， 由折叠性质，知， ； 当时与当时相同， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：45或25或70． 三、解答题 11．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，在中，，，点P是线段上一点（不与A，B重合），连接． (1)若，则 “倍角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“倍角三角形”，求的度数． 【答案】(1)是 (2)或 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据“倍角三角形”的定义进行判断即可得出答案； （2）设，其中，分别表示出，，然后根据“倍角三角形”的定义进行分类讨论即可得出的度数． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ， 在中， ， 是“倍角三角形”， 故答案为：是； （2）解：设，其中， 由（1）知：， ， ， ， 又， 当是“倍角三角形”时，有以下六种情况： 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：（不合题意，故舍去）； 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：（不合题意，故舍去）； 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：； 综上，当是“倍角三角形”时，的度数是或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，解一元一次方程等知识点，理解“倍角三角形”的定义并运用分类讨论思想是解题的关键． 12．如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，是直角三角形，理由见解析； (3)当或时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； （2）解：当时，是直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得：， 综上所述：或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 13．如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)将沿过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，求出此时t的值． (2)问：当t为何值时，为等腰三角形？ (3)现将其沿着直线翻折，请直接写出：当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1) (2)为等腰三角形时，的值为5或或8 (3)为或10时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，利用勾股定理列式计算，得到答案； （2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵在中，，，， ∴， 沿着过点的直线折叠，点与点重合， 是的垂直平分线， ， 在中，， 即， 解得：， ； （2）解：当时，； 当时，由（1）可知，， ； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （3）解：当点在上时，如图，   ，，， ， 在中，， 即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ， ∴为或10时满足条件． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 14．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点C是直线上一动点，的面积是面积的一半，求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为，点A的坐标为 (2)或 (3)，， 【分析】（1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）根据函数解析式可知的值，因为点C是直线上一动点，所以点C分别在第一和第四象限内，再根据三角形面积公式分别求出点C坐标； （3）可设，分、和三种情况，分别构造“K”型全等，可求得P点坐标． 【详解】（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：①当点C在第一象限时，设C点坐标为， 的面积是面积的一半，且，， ，， 点C坐标为； ②当点C在第四象限时，设C点坐标为，过点C作， 根据已知条件得， 解得，， 点C坐标为， 综上可得，点C坐标为或 （3）解：点P在第一象限内， 为等腰直角三角形， 有、和三种情况， ①当时，过点P作轴于点D，则 ，， ， ，， ∴此时P点坐标为； ②时，同理可得， ，， ， 则此时P点坐标为； ③时，过点P作轴，过点B作于点E， 同理可得， ∴．，， ∴ 解得，所以此时的坐标为 综上可知可使为等腰直角三角形的P点坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及函数图像与坐标轴的交点、三角形的面积公式、三角形全等、等腰直角三角形的性质等，分类求解是解题的关键． （1）运用函数图像与坐标轴的交点的求法即可得解； （2）根据三角形面积的等量公式和函数式可求得坐标，注意分类讨论； （3）根据全等三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出P的坐标是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊三角形中的分类讨论模型 目录 1 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 4 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 11 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 13 21 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A． B．或 C．或 D． 例3．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4 例4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2024·江西南昌·二模）如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为 ． 例2．（2024·江西九江·模拟预测）如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当 时，为等腰三角形． 例3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 例4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为 ．    模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 例1．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 例2．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 例3．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    例4．（2024·江西景德镇·二模）在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ． 一、单选题 1．等腰三角形的一个角为，则它的底角为（  ） A． B． C． D．或 2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，在中，，，点E在边上运动（点E不与A，B重合），作，使交边于点D，连接．在点E的运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，的度数为（   ）． A． B． C． D．或 5．如图，于点O，点E，F分别是射线上的动点（不与点O重合），延长至点G，的角平分线及其反向延长线分别交的角平分线于点M，N．若中有一个角是另一个角的4倍，则为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 6．如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为 时，为直角三角形． 7．等腰三角形，，中线把这个三角形的周长分成和的两部分，则三角形的底边长为 ． 8．如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 9．如图，在中，，，D为的中点，点E在上，，若P是或上一点，当是以为底的等腰三角形时，则的度数为 ． 10．如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ． 三、解答题 11．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，在中，，，点P是线段上一点（不与A，B重合），连接． (1)若，则 “倍角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“倍角三角形”，求的度数． 12．如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，在中，若点P从点 A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)将沿过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，求出此时t的值． (2)问：当t为何值时，为等腰三角形？ (3)现将其沿着直线翻折，请直接写出：当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 14．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点C是直线上一动点，的面积是面积的一半，求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$