精品解析：江西省上饶市第一中学2024-2025学年高一上学期第三次月考（1月）数学试题

上饶市第一中学2024级高一年级第三次月考数学试卷 考试时间：2025年1月 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：游牡荣 陈振凯 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，上交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助对数函数单调性可得即可得，再借助并集定义即可得. 【详解】由，可得，即， 又，则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的性质求对数复合函数的定义域. 【详解】由题意，解得或， 故函数的定义域为． 故选：D 4. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.5 9 9.5 9.9 0.25 1 0.65 0.09 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义分析求解. 【详解】从数据来看丁的平均成绩最高，方差最小， 因此丁成绩好且发挥稳定，应选择丁. 故选：D. 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论求出的值，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 若，则对任意的，， 则当时，，不合乎题意； 若时，当时，，，此时，，不合乎题意； 若，则当时，，，此时，，不合乎题意. 所以，，此时，，则， 当时，，，此时，； 当时，，，此时，. 所以，对任意的，，合乎题意， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列函数中有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将函数有零点问题转换为方程有根问题求解即可. 【详解】对于A，时，，所以有零点，故A正确； 对于B，时，，所以有零点，故B正确； 对于C，时，，所以有零点，故C正确； 对于D，时，，因为，所以方程无解，所以没有零点，故D错误； 故选：ABC. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据分层抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据平均数公式得到方程，求出，再利用方差公式计算出结果；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，先得到的方差，根据方差性质得到的方差，进而得到其标准差. 【详解】A选项，个体m被抽到的概率为，A正确； B选项，已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则， 解得， ， 则这组数据的方差是，B正确； C选项，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C错误； D选项，若样本数据的标准差为8，则的方差为64， 设的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误． 故选：AB 11. 已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算性质求解AB,根据二次函数的性质即可求解C，根据对称即可求解D. 【详解】当时，，所以. 由题意作出函数的图象如图， 对于A，由题意结合图像可知， 因为，所以，即， 所以A选项正确： 又结合图象得，所以， 即所以B选项错误； 因为当时，， 所以当时，的图象关于直线对称， 所以， 又，此时在上单调递增，所以，C选项正确： 因为与与关于直线对称，所以. 又与关于直线对称，所以， 所以，所以. 结合图象可知，所以,D选项正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，那么＝______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数解析式代入即可求解. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为：. 13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再解不等式即可． 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得， 不等式，即为， 即，解得， 则不等式的解集为． 故答案为： 14. 已知实数a，b满足，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】原等式可分别变形为，，可构造函数，结合函数单调性可得，结合已知条件即可得解. 【详解】由得，，即， 由得，， 令，则在定义域内单调递增， 有，， 故，即，所以. 故答案为：2. 四、解答题：本大题共5小题.共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果； （2）根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】（1）； （2）. 【点睛】本题主要考查指数幂的运算与对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型. 16. 甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是. （1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件A：甲机床加工的零件是一等品，事件B：乙机床加工的零件是一等品，且A与B相互独立，根据，结合独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式列方程组求解即可； （2）记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品，事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品，根据独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可. 【小问1详解】 记事件A：甲机床加工的零件是一等品，事件B：乙机床加工的零件是一等品，且A与B相互独立， 由题意得，，所以， 解得. 【小问2详解】 记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品， 事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品，则， 所以. 17. 幂函数的定义域是全体实数． （1）求的解析式； （2）若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 根据幂函数定义得到系数为1，再结合定义域即可求得； （2）由（1）可得在区间 上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在 上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论. 【小问1详解】 由题意得 解得 ，所以 【小问2详解】 由（1）得， 不等式 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 令 ，对称轴为,则函数在单调递减，在单调递增， 则 ， 所以 ，解得 ， 所以实数m的取值范围是 . 18. 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， （1）现分别采用分层挂样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率： （2）根据检测结果确定该指标的一个临界值，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产型手机、型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片会导致每部手机损失300元： 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元：请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由． 【答案】（1） （2） 设将甲、乙两种型号芯片应用于型、型手机时，该科技公司损失为（万元）， ，， 因此当时，；当时，；当时，， 所以当临界值时，选择方案二；当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一． 【解析】 【分析】（1）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解. （2）根据频率分布直方图，计算损失费用与的关系式，即可比较后，判断选择的方案． 【小问1详解】 由频率分布直方图及分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和 任取两件的样本空间，共15个样本点， 记事件：指标在和各1件，则，有3个样本点， 所以指标在和内各1件的概率． 【小问2详解】 略 19. 定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． （1）若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若是“距”增函数，求的取值范围； （3）若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】（1） 对任意,， 因为，， 所以，即， 所以是 “1距”增函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，作差比较大小即可； （2）根据定义可知恒成立，代入转化为一元二次方程大于零恒成立，利用判别式求解即可； （3）先根据“2距”增函数的定义，利用复合函数单调性分类讨论去绝对值求出的取值范围，再由结合的范围求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 又是“距”增函数， 所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以，即， 解得. 【小问3详解】 因为，，其中，且为“2距”增函数， 所以当时，恒成立， 因为是增函数， 所以根据复合函数单调性可知对恒成立， 当时，，即恒成立， 只需，即，解得， 当时，，即恒成立， 所以解得， 综上所述， 又， 因为，， 所以当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上饶市第一中学2024级高一年级第三次月考数学试卷 考试时间：2025年1月 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：游牡荣 陈振凯 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，上交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.5 9 9.5 9.9 0.25 1 0.65 0.09 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列函数中有零点的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 11. 已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，那么＝______． 13. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为______． 14. 已知实数a，b满足，则______. 四、解答题：本大题共5小题.共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值． （1）； （2）． 16. 甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是. （1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 17. 幂函数的定义域是全体实数． （1）求的解析式； （2）若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 18. 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， （1）现分别采用分层挂样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率： （2）根据检测结果确定该指标的一个临界值，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产型手机、型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片会导致每部手机损失300元： 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元：请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由． 19. 定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． （1）若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若是“距”增函数，求的取值范围； （3）若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $