指数运算与指数函数专题-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

学员姓名： 年级： 专题 指数运算与指数函数 教学内容 【知识点与方法概要】 一、有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂； (2)零指数幂； (3)负整数指数幂 (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1) (2) (3) 二、根式 1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。 2、对于根式记号，要注意以下几点： (1)，且；(2)当是奇数，则；当是偶数，则； (3)负数没有偶次方根； (4)零的任何次方根都是零。 3、规定： (1)； (2) 三、对指数函数定义的理解 一般地，函数叫做指数函数。 1、定义域是。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在的前提下，可以是任意实数。 2、规定,且的理由： (1)若， (2)若，如，当、等时，在实数范围内函数值不存在。 (3)若，，是一个常量，没有研究的必要性。 为了避免上述各种情况，所以规定,且。 3、式上的严格性： 指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1。自变量在指数的位置上。比如等，都不是指数函数,称为指数型函数. 四、指数函数的图象和性质： 五、图像比较 【例题精讲】 题型一：根式与分数指数幂的互化 例1 (1)用根式表示下列各式：； ； (2)用分数指数幂表示下列各式：；； 题型二：根式与分数指数幂的混合运算 例2计算 例3 计算 (1)1.5×0＋80.25×＋(×)6－； (2); (3)125+()-2+343-(); (4)(-2xy)(3xy)； 例4 化简 (1)＋ (2)(a>0,b>0); (3) ()(a>0,b>0); (4). 题型三：指数函数的定义 例5 下列函数中，哪些是指数函数？ ①y＝10x；② y＝10x＋1；③ y＝10x＋1；④y＝2·10x； ⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)； ⑦y＝x10. 例6 若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值． 例7 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 题型四：指数函数的图象和性质 例8 函数的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 例9 若函数y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则(　　) A．a>1 B．a>1，且m<0 C．0<a<1，且m>0 D．0<a<1 例10 在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是(　　) A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 题型五：指数函数性质的应用 例11 比较下列各组数的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)0.8－0.1,0.8－0.2； (3)1.70.3,0.93.1； 例12 比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x与0.3x＋1； (2)与2. 例13 函数f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)恒过定点________． 题型六：指数函数性质的综合应用 例14 函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小． 例15 设，则f[f(－2)]＝________. 例16 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f()、f()、f()的大小关系为__________． 【能力提升】 1. 计算(a≥1). 2. 化简. 3. 已知,探究下列各式的值的求法. (1; (2); (3). 4. 求下列函数的定义域及值域 (1)y=2; (2)y=(); (3)y=10. 5. 比较与的大小关系. 6. 对于函数定义域中的任意的, 当时,如下结论正确的是？ ①; ② ③>0; ④<. 7. 设,若,试求: (1)的值; (2)的值. 8. 设在R上满足 (1)求a的值; (2)证明在(0,+∞)上是增函数. 【课后巩固】 1．下列命题中正确命题的个数为(　　) ①＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③＝x＋y；④＝. A．0 B．1 C．2 D．3 2．设a>0，将写成分数指数幂，其结果是(　　) A． B． C． D． 3．若a<，则化简的结果是(　　) A． B． C．－ D．－ 4. 函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝(　　) A． B．2 C．4 D． 5．计算：＋＋－＝____. 6. 把下列各式中的写成分数指数幂的形式 (1)； (2)； 7. 计算(1)； (2) 8. 求下列各式的值 (1)； (2)； 9. 若函数是一个指数函数，求实数的取值范围。 10. 函数恒过定点____________。 11．函数y＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象必经过定点________． 12. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则当x<0时，f(x)＝________. 13. 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数． (1)求常数k的值； (2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明． 14. 对于函数定义域中的任意的, 当时,如下结论正确的是？ ①; ② ③>0; ④<. 15. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a、b的值； (2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数； (3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的范围． 1 6 学科网（北京）股份有限公司 $$