二次函数的值域问题及零点、二分法讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

乐数教育高中培优讲义 学员姓名：黄晓桐 年级： 高一 专题 二次函数的值域问题及零点、二分法 教学内容 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零即，则叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 注意：对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间上是连续不间断的，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间上连续的，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间，验证：f(a)f(b)＜0，给定精确度； 第二步：求区间得中点； 第三步：计算；若=0，则就是函数零点；若f(a)f（）＜0，则令；若f(a)f(b)＜0，则令 第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值，否则重复第二、三、四步。 类型一 二次函数的值域问题 例1 已知函数f(x)＝x2＋x－2，则函数f(x)在区间[－1,1)上(　　) A．最大值为0，最小值为－ B．最大值为0，最小值为－2 C．最大值为0，无最小值 D．无最大值，最小值为－ 例2 已知函数f(x)＝x2＋2x＋4，x∈[－2,2]，则f(x)的值域是________． 例3 函数y＝x2－6x＋7的值域是(　　) A．{y|y<－2} B．{y|y>－2} C．{y|y≥－2} D．{y|y≤－2} 类型二 含参数的二次函数在闭区间上最值的讨论 例5求f(x)＝x2－2ax－1在[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)的表达式． 例6 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值． 例7 若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________. 类型三 求函数的零点 例8 求函数的零点： (1) y＝x－1 (2)y＝x3－x2－4x＋4． 类型四零点个数的判断 例9 判断函数f(x)＝x2－7x＋12的零点个数 例10 二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是(　　) A．1个　　　　　 B．2个 C．0个 D．无法确定 例11 已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a>－9且a≠0 B．a>－9 C．a<－9 D．a>0或a<0 例12 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　) A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3} 例13 已知x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是(　　) A．－1或1 B．0或－1 C．1或0 D．2或1 例14 三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为(　　) A．(－2，－1)　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 类型五 函数零点的应用 例15 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围． 例16 已知方程x2＋2px＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p的取值范围为__________． 例17 函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________． 类型六 二分法的概念 例18 函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(　　)． 例19 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上(　　) A．只有一个变号零点 B．有一个不变号零点 C．至少有一个变号零点 D．不一定有零点 例20 用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为(　　) A．(0,1)　 B．(1,2)　 C．(2,3)　 D．(3,4) 类型七 用二分法求函数零点的近似值 例21求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)． 例22 试求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 例23用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间(　　) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,1.75) D．(1.75,2) 例24 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为(　　) A．1.2　　 B．1.3　　 C．1.4　　 D．1.5 例25 已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个　　 B．3个　　 C．4个　　 D．5个 【课后巩固】 1. 函数f(x)＝－x2＋4x＋5(0≤x<5)的值域为(　　) A．(0,5] B．[0,5] C．[5,9] D．(0,9] 2. 若函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．(1,3) C．[1,3] D．[0,4] 3. 已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m＋1)的值为(　　) A．正数 B．负数 C．零 D．符号与a有关 4．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝2，则(　　) A．f(0)<f(1)<f(3) B．f(3)<f(1)<f(0) C．f(3)<f(1)＝f(0) D．f(0)<f(1)＝f(3) 5．y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，2] D．[1,2] 6．已知二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于(　　) A．0 B．3 C．6 D．不确定 7．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　) A．一个 B．两个 C．至少两个 D．无法判断 8．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx2＋bx＋a的零点为(　　) A．1,2 B．－1，－2 C．1， D．－1，－ 9．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 10．下列命题中正确的是(　　) A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1 C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数 D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 11．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算， f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　) A．0.68　　 B．0.72　　 C．0.7　　 D．0.6 12． 函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是________． 13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______. x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 14．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________． 15．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； ③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根； ④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 16. 设函数f(x)＝， 若f(－4)＝2, f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________． 17. 已知函数f(x)＝(x－1)2＋n的定义域和值域都是区间[1，m]，求m、n的值． 18. 已知函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[t，t＋2]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式． 19. 已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根． 1 10 学科网（北京）股份有限公司 $$