精品解析：江西省抚州市实验学校2024—2025学年上学期第一次月考九年级数学试题

2024-2025年度九年级上学期抚州市实验学校第一次数学训练 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断． 【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意； 选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 选项D，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 如果菱形的一边长是8，那么它的周长是（　　） A. 16 B. 32 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的四边相等，可得周长 【详解】菱形的四边相等 ∴菱形的周长=4×8=32 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，并灵活掌握及运用菱形的性质 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确； B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误； C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 5. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌，即可求出两个正方形重叠部分的面积． 【详解】解： 四边形和四边形都是正方形， ，，， ． 在与中， ， ≌， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键． 6. 已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形，故A不符合题意； ∵， 根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形是矩形， 故B不符合题意； ∵， ∴， 但不一定与相等，无法判定四边形是矩形， 故C符合题意； ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 方程2x（2x+1）＝1的一次项系数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将方程整理成一般形式即可得． 【详解】解：将方程整理成一般式为4x2+2x﹣1＝0， 则一次项系数为2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程中二次项系数的概念，正确理解概念是解题的关键. 8. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，列出正确的方程___________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 试题解析：设有x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x-1=15， 即：． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 9. 如图，在中，，，点M是边上一点（不与点A、B重合），作于点于点F，连接，则的最小值是_______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键．连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵，，， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，四边形是正方形，，，再由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 故答案为：． 11. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键． 由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为______ 【答案】或或 【解析】 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴； ①当时，在中，， ∴； ②当，点P在点D的左侧时，过点作于点，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴此时点P坐标为； 当，点P在点D的右侧时， 同法可得：， ∴； ∴此时点P坐标为； 综上：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、计算题：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，再因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， 即． 【小问2详解】 解：， ， ， 即． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 14. 如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． （1）以为一边，在图①中画一个格点菱形； （2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求； （2） 如图，平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可． （2）根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了作图知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． 15. 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a、b满足等式，求方程的根. 【答案】y1＝2，y2＝－2 【解析】 【分析】首先根据a、b满足的关系式，求出a、b的值，然后解出c，最后解关于y的方程即可． 【详解】由题意得：a ＝2，b＝－3 ∵ax2＋bx＋c＝0的一个根是1 ∴a＋b＋c＝0 ∴c＝－(a＋b)＝－2＋3＝1 ∴-c=0,变形得-1=0， 解得：y1＝2，y2＝－2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念以及二次根式有意义的条件，难度一般，解决本题的关键是根据二次根式有意义的条件求出a，b的值． 16. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 【答案】 （1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形． （2）4． 【解析】 【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形； （2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC=4，则OC=AC=2，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4． 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴ ∴矩形OCED的面积是2×2＝4． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 17. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 如图，已知是四边形各边的中点． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若四边形是矩形，且其面积是，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：连接， 、分别为、的中点， 是的中位线， 同理， ， 四边形为平行四边形 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形是平行四边形是解题的关键． （1）连接，由三角形中位线定理可得出，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由矩形的判定与性质得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，由（1）知四边形为平行四边形， 四边形是矩形，且是四边形各边的中点， ， 四边形和四边形都是矩形， 四边形是菱形， ， 四边形的面积是， ， ． 19. 如图，将一个长方形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，，将长方形折叠后，点B恰好落在OA边上的点E处，折痕所在直线经过点C且与AB边交于点D，与x轴的正半轴交于点F． （1）求点D的坐标及直线CD的解析式； （2）点P是线段CF上的一个动点，若OP将△COF的面积分为1：2两部分，求点P的坐标． 【答案】（1）D（5，）；． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，可得AE=AO，OD=ED，根据勾股定理，可得EB的长，根据线段的和差，可得CE的长，可得E点坐标；再根据勾股定理，可得OD的长，可得D点坐标； （2）先求出点F的坐标，再求出△COF的面积，再根据OP将△COF的面积分为1：2两部分分两种情况求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：折痕CD是四边形EDBC的对称轴，且矩形边，， ∴在Rt△COE中，CE=BC=5，OC=4， 由勾股定理，得OE=， AE=OA-OE=5-3=2， 依题意可设D（5，t），则AD=t，DE=BD=4-t， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+AD2=DE2， ， 解得：， D（5，）； 设D、C两点所在的直线的解析式为y=kx+b 则 解得 ， ∴直线DC所在的直线的解析式为：． 【小问2详解】 ∵点P在直线CD上， ∴设P（m，）， ∵点F是直线CD与x轴的交点， ∴， 解得：x=8， ∴F（8，0）， ∴S△COF=， ①当S△COP：S△FOP=2：1时，则S△COP=， ∴， 解得：， ∴=， ∴； ②当S△COP：S△FOP=1：2时，则S△COP=， ∴， 解得：， ∴=， ∴； ∴P点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及到矩形的性质及待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题，三角形的面积，折叠的性质等内容，分类讨论思想等数学思想，解题的关键是根据题意进行正确的分类讨论并作出图形． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 【答案】（1） 证明：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根． 综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）或2 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，及一元二次方程的解法，整除问题，求出一元二次方程的两根是解本题的关键． （1）当时，方程为一元一次方程.当时，方程为一元二次方程，根的判别式； （2）计算出方程的解，或，因为解是整数，即可算出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程有两个整数根， 方程为一元二次方程，即， ， 解得或， 又k为整数及方程的两个根都为整数， 或， 或2． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分． 21. 如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形． （1）求点A的坐标和k的值； （2）求直线所对应的函数关系式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的性质等知识， （1）作于M，求出，代入函数解析式即可求出答案； （2）求出，则，得到，作轴于N，证明，则，得到，则，设直线的解析式为，把代入求出b的值即可． 【小问1详解】 解：作于M， ∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是， ∴， ∴， ∵直线经过点A， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点， ∴， ∴， ∴， 作轴于N， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线EF所对应的函数关系式为． 22. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F． （1）求对角线的长及菱形的面积． （2）如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由． （3）如图②，当点O在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系． 【答案】（1）12，96 （2）不发生变化，9.6 （3）发生变化， 【解析】 【分析】（1）连接与相交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解； （2）连接，根据列式计算即可得解； （3）连接，根据列式整理即可得解． 【小问1详解】 解：在菱形中，，，， 由勾股定理得， 所以． 所以菱形的面积． 【小问2详解】 解：不发生变化． 理由如下： 如图①，连接， 则， 所以， 即． 解得，是定值，不变． 【小问3详解】 解：发生变化． 如图②，连接， 则， 所以． 即． 解得，是定值，不变． 所以的值发生变化，，之间的数量关系为 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，第（2）（3）问作辅助线构造出两个三角形是解题的关键． 六、探究题：本题共1小题，每小题12分，共12分． 23. 问题背景：如图，已知四边形是正方形，点是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系． （1）问题发现：如图1，当点在线段上时，之间的数量关系是______； （2）问题探究：如图2，当点在的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明； （3）问题拓展：如图3，当点在的延长线上时，设与交于点，若，，求的长． 【答案】（1） （2）解：不成立，， 证明: 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质由可证，得到，从而可得； （2）同（1）可证，得到，故； （3）由可知，由（2）的结论可得，根据勾股定理求正方形边长为，从而可得，延长交于，再由平行线分线段成比例定理求的长，从而可知的长，在中，根据勾股定理求的长，再由，即可求得的长． 【小问1详解】 解：， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可得：，， ， ， ， 在上， 在同一条直线上， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度九年级上学期抚州市实验学校第一次数学训练 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果菱形的一边长是8，那么它的周长是（　　） A. 16 B. 32 C. 16 D. 32 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 方程2x（2x+1）＝1的一次项系数是_____． 8. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，列出正确的方程___________________． 9. 如图，在中，，，点M是边上一点（不与点A、B重合），作于点于点F，连接，则的最小值是_______． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是______． 11. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离______． 12. 如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为______ 三、计算题：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． （1）以为一边，在图①中画一个格点菱形； （2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 15. 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a、b满足等式，求方程的根. 16. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 17. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 如图，已知是四边形各边的中点． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若四边形是矩形，且其面积是，求四边形的面积． 19. 如图，将一个长方形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，，将长方形折叠后，点B恰好落在OA边上的点E处，折痕所在直线经过点C且与AB边交于点D，与x轴的正半轴交于点F． （1）求点D的坐标及直线CD的解析式； （2）点P是线段CF上的一个动点，若OP将△COF的面积分为1：2两部分，求点P的坐标． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分． 21. 如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形． （1）求点A的坐标和k的值； （2）求直线所对应的函数关系式． 22. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F． （1）求对角线的长及菱形的面积． （2）如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由． （3）如图②，当点O在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系． 六、探究题：本题共1小题，每小题12分，共12分． 23. 问题背景：如图，已知四边形是正方形，点是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系． （1）问题发现：如图1，当点在线段上时，之间的数量关系是______； （2）问题探究：如图2，当点在的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明； （3）问题拓展：如图3，当点在的延长线上时，设与交于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $