3.2 函数的周期性与对称性讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

学员姓名： 年级： 高一 专题 函数的周期性与对称性 教学内容 【知识点与方法概要】 一、函数的轴对称： ①如果函数满足，则函数的图象关于直线对称. 推论：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称. 二、函数的点对称： ②如果函数满足，则函数的图象关于点对称. 推论：如果函数满足，则函数的图象关于点对称. 三、函数周期性的性质： 如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期. ③若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. ④若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 四、两个函数的相互对称(参照函数的自对称填空) 所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。 关于函数图象的互对称,有下列性质: 1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称； 2、函数与函数的图象关于直线 对称 3、函数与函数的图象关于直线 对称 4、函数与函数的图象关于点 对称 【概念熟悉】(照顾小白) 例1若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为________ 例2 在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( ) A.在区间上是增函数，在区间上是减函数 B.在区间上是增函数，在区间上是减函数 C.在区间上是减函数，在区间上是增函数 D.在区间上是减函数，在区间上是增函数 例3 定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ） A.0 B.1 C.3 D.5 例4 判断下列函数的周期（感觉你们不会做） ①已知函数对任意实数,都有,则是以 为周期的函数； ②已知函数对任意实数,都有 ,则是以 为周期的函数. ③已知函数对任意实数,都有 ,则是以 为周期的函数； ④已知函数对任意实数,都有，则是以 为周期的函数 ⑤已知函数对任意实数,都有,则 是的一个周期. 【巩固练习】 1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015） 的数值为_______ 2．定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=_______ 3．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为_______ 4. 已知函数f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为3，且x∈[0，1]时，f（x）=x2﹣x+2，求f（﹣2014）的值． 　 1 2 学科网（北京）股份有限公司 $$