第五章三角函数章末复习提升课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章末复习提升 知识体系 构建 01 第一部分 核心要点 整合 第二部分 核心要点 整合 2．化简三角函数式的常用方法：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号． 3．求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角． 4．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 核心要点 整合 √ A 核心要点 整合 √ √ AB 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 要点二　三角函数的图象与性质 1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，通常情况下利用整体代换思想进行解题． 2．掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． 核心要点 整合 训练5　已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)，在区间[a，b]上单调递增，且f(a)＝－A，f(b)＝A，则函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)在[a，b]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．取到最大值A D．取到最小值－A D 核心要点 整合 解析：由题意知，设t＝ωx＋φ，因为函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)在区间[a，b]上单调递增，且f(a)＝－A，f(b)＝A，所以当x∈[a，b]时，t＝ωx＋φ∈[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z，对于A，B，由函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)得d(t)＝ Asin t在t∈[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z上先单调递减后单调递增，故排除A，B； 对于C，D，由A，B易知函数g(x)可以取到最小值－A，最大值0，故C错误，D正确．故选D. 核心要点 整合 BC 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 要点三　三角函数的图象变换 1．由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩． 2．掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 核心要点 整合 A 核心要点 整合 核心要点 整合 D 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 要点四　三角恒等变换的综合问题 1．三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质． 2．通过三角恒等变换，进而研究三角函数的性质，培养逻辑推理和数学运算素养． 核心要点 整合 BCD 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 0 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 核心要点 整合 要点一　三角函数式的化简、求值 1．(1)两个基本关系式：sin2α＋cos2α＝1及eq \f(sin α,cos α)＝tan α；(2)诱导公式：可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限；(3)两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式． 训练1　设tan(π－α)＝－2，则 eq \f(sin（α－π）＋cos（π－α）,sin（π＋α）－cos（π＋α）)＝(　　) A．3 B.eq \f(1,3) C．1 D．－1 解析：由tan(π－α)＝－2，得－tan α＝－2，则tan α＝2，eq \f(sin（α－π）＋cos（π－α）,sin（π＋α）－cos（π＋α）)＝eq \f(－sin α－cos α,－sin α＋cos α)＝eq \f(－tan α－1,－tan α＋1)＝eq \f(－2－1,－2＋1)＝3.故选A. 训练2　(多选)已知sin θ＋cos θ＝eq \f(1,5)，θ∈(0，π)，则下列等式正确的是(　　) A．sin θcos θ＝－eq \f(12,25) B．sin θ－cos θ＝－eq \f(7,5) C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin3θ＋cos3θ＝eq \f(37,125) 对于B，由A选项可知，cos θ<0，则sin θ－cos θ>0，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝eq \f(49,25)，则sin θ－cos θ＝eq \f(7,5)，B错误； 解析：因为θ∈(0，π)， 则sin θ>0. 对于A，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝eq \f(1,25)，可得sin θcos θ＝－eq \f(12,25)，A正确； 对于D，sin3θ＋cos3θ＝(eq \f(4,5))3＋(－eq \f(3,5))3＝eq \f(37,125)，D正确．故选AD. 对于C，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin θ＋cos θ＝\f(1,5)，,sin θ－cos θ＝\f(7,5)，)) 可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(4,5)，,cos θ＝－\f(3,5)，))则tan θ＝eq \f(sin θ,cos θ)＝－eq \f(4,3)，C错误； 解析：eq \f(sin 6°＋sin 9°cos 15°,cos 6°－sin 9°sin 15°) ＝eq \f(sin（15°－9°）＋sin 9°cos 15°,cos（15°－9°）－sin 9°sin 15°) 训练3　eq \f(sin 6°＋sin 9°cos 15°,cos 6°－sin 9°sin 15°)＝___________． 2－eq \r(3) ＝eq \f(sin 15°cos 9°－cos 15°sin 9°＋sin 9°cos 15°,cos 15°cos 9°＋sin 15°sin 9°－sin 9°sin 15°) ＝eq \f(sin 15°cos 9°,cos 15°cos 9°)＝tan 15°＝tan(60°－45°) ＝eq \f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝eq \f(（\r(3)－1）2,2)＝2－eq \r(3). 训练4　已知0<α<eq \f(π,2)<β<π，sin α＝eq \f(3,5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则sin β＝________． 解析：由0<α<eq \f(π,2)<β<π，得eq \f(π,2)<α＋β<eq \f(3π,2)，由sin α＝eq \f(3,5)，故cos α＝eq \r(1－（\f(3,5)）2)＝eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，故cos(α＋β)＝－eq \r(1－（\f(3,5)）2)＝－eq \f(4,5)，故sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝eq \f(3,5)×eq \f(4,5)－(－eq \f(4,5))×eq \f(3,5)＝eq \f(24,25). eq \f(24,25) 训练6　(多选)关于函数f(x)＝2sin xcos x＋2eq \r(3)cos2x，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于点(－eq \f(π,6)，eq \r(3))中心对称 C．f(x)的最大值为eq \r(3)＋2 D．f(x)在区间[－eq \f(5π,12)，eq \f(π,12)]上单调递减 f(－eq \f(π,6))＝2sin(－eq \f(π,3)＋eq \f(π,3))＋eq \r(3)＝0＋eq \r(3)＝eq \r(3)，所以函数f(x)图象关于点(－eq \f(π,6)，eq \r(3))中心对称，故B正确； 解析：f(x)＝2sin xcos x＋2eq \r(3)cos2x＝sin 2x＋eq \r(3)(cos 2x＋1) ＝2sin(2x＋eq \f(π,3))＋eq \r(3)， 故函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，故A错误； 由x∈[－eq \f(5π,12)，eq \f(π,12)]，2x＋eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，函数y＝sin x在区间[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]上单调递增，所以函数f(x)在区间[－eq \f(5π,12)，eq \f(π,12)]上单调递增，故D错误．故选BC. 因为f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,3))＋eq \r(3)，所以函数的最大值为2＋eq \r(3)，故C正确； 解析：因为偶函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)，所以φ＝k1π＋eq \f(π,2)，k1∈Z， 即f(x)＝cos ωx或f(x)＝－cos ωx， 训练7　已知偶函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点(eq \f(π,3)，0)中心对称，且在区间[0，eq \f(π,4)]上单调，则ω＝________． eq \f(3,2) 又f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点(eq \f(π,3)，0)中心对称，所以coseq \f(πω,3)＝0，即eq \f(πω,3)＝k2π＋eq \f(π,2)，k2∈Z，所以ω＝3k2＋eq \f(3,2)，k2∈Z， 因为当x∈[0，eq \f(π,4)]时，函数f(x)单调，所以0≤ωx≤eq \f(πω,4)≤π，即0<ω≤4， 所以当k2＝0时，ω＝eq \f(3,2)符合条件． 解：f(x)＝eq \f(1－cos 2x,2)＋eq \f(\r(3),2)·sin 2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cos 2x＋eq \f(1,2)＝sin(2x－eq \f(π,6))＋eq \f(1,2)， 所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π； 令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)， 训练8　已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期、单调递增区间和对称中心； 所以－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为[－eq \f(π,6)＋kπ，eq \f(π,3)＋kπ](k∈Z)； 令2x－eq \f(π,6)＝kπ，解得x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)， 所以函数f(x)的对称中心为(eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，eq \f(1,2))(k∈Z)．　 解：由(1)知f(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))＋eq \f(1,2). 因为x∈[－eq \f(π,3)，m]， 所以2x－eq \f(π,6)∈[－eq \f(5π,6)，2m－eq \f(π,6)]． 要使得f(x)在[－eq \f(π,3)，m]上的最大值为eq \f(3,2)， 已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcos x. (2)若f(x)在区间[－eq \f(π,3)，m]上的最大值为eq \f(3,2)，求m的最小值． 即y＝sin(2x－eq \f(π,6))在[－eq \f(π,3)，m]上的最大值为1. 所以2m－eq \f(π,6)≥eq \f(π,2)，即m≥eq \f(π,3). 所以m的最小值为eq \f(π,3). 训练9　先将函数f(x)＝sin x－1图象上所有的点向下平移1个单位长度，然后将图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin eq \f(1,2)x－2 B．sin eq \f(1,2)x C．sin 2x－2 D．sin 2x 解析：将函数f(x)＝sin x－1图象上所有的点向下平移1个单位长度，得到函数h(x)＝sin x－2的图象，再将函数h(x)＝sin x－2的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)＝sin eq \f(1,2)x－2的图象．故选A. 训练10　已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(其中|φ|<eq \f(π,2))图象的一个对称中心为(eq \f(π,3)，0)，为了得到g(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))的图象，只需将f(x)的图象(　　) A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 B．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 C．向右平移eq \f(π,6)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 解析：因为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个对称中心为(eq \f(π,3)，0)，且|φ|<eq \f(π,2)，将点(eq \f(π,3)，0)代入f(x)， 可得sin(eq \f(2π,3)＋φ)＝0，解得φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))，依次代入4个选项， 可得只有f(x－eq \f(π,4))＝sin[2(x－eq \f(π,4))＋eq \f(π,3)]＝sin(2x－eq \f(π,6))，所以函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度可得到g(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))的图象．故选D. 训练11　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，φ∈(0，eq \f(π,2)))的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为______________________，若将该函数y＝f(x)的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)得到函数y＝g(x)，则g(eq \f(π,3))＝____________． f(x)＝2sin(3x＋eq \f(π,4))　 eq \f(\r(6)＋\r(2),2) 解析：由题中图象易知，A＝2，图象过点(0，eq \r(2))，即2sin φ＝eq \r(2)，sin φ＝eq \f(\r(2),2)，又φ∈(0，eq \f(π,2))，所以φ＝eq \f(π,4)，又图象过点(－eq \f(π,12)，0)，即2sin(－eq \f(π,12)ω＋eq \f(π,4))＝0， 所以－eq \f(π,12)ω＋eq \f(π,4)＝2kπ，k∈Z，解得ω＝3， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(3x＋eq \f(π,4))，可得g(x)＝2sin(x＋eq \f(π,4))， 故g(eq \f(π,3))＝2sin(eq \f(π,3)＋eq \f(π,4))＝2sineq \f(π,3)coseq \f(π,4)＋2coseq \f(π,3)sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2). 训练12　(多选)已知函数f(x)＝sin(2ωx＋eq \f(π,3))＋sin(2ωx－eq \f(π,3))＋2eq \r(3)cos2ωx－ eq \r(3)(ω>0)，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)相邻两条对称轴的距离为eq \f(π,2)，则ω＝2　 B．当ω＝1，x∈[0，eq \f(π,2)]时，f(x)的值域为[－eq \r(3)，2] C．当ω＝1时，f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数解析式为y＝2cos(2x＋eq \f(π,6)) D．若f(x)在区间[0，eq \f(π,6)]上有且仅有两个零点，则5≤ω<8 解析：f(x)＝sin(2ωx＋eq \f(π,3))＋sin(2ωx－eq \f(π,3))＋2eq \r(3)cos2ωx－eq \r(3) ＝sin 2ωxcoseq \f(π,3)＋cos 2ωxsin eq \f(π,3)＋sin 2ωxcos eq \f(π,3)－cos 2ωxsin eq \f(π,3)＋eq \r(3)cos 2ωx ＝sin 2ωx＋eq \r(3)cos 2ωx＝2sin(2ωx＋eq \f(π,3))， 对于A，若f(x)相邻两条对称轴的距离为eq \f(π,2)，则T＝2×eq \f(π,2)＝π＝eq \f(2π,2ω)，故ω＝1，A错误； 对于B，当ω＝1时，f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,3))，当x∈[0，eq \f(π,2)]时，2x＋eq \f(π,3)∈[eq \f(π,3)，eq \f(4π,3)]，则f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]，B正确； 对于C，当ω＝1时，f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,3))，f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数解析式为y＝2sin[2(x＋eq \f(π,6))＋eq \f(π,3)]＝2sin(2x＋eq \f(2π,3))＝2cos(2x＋eq \f(π,6))，C正确； 对于D，当x∈[0，eq \f(π,6)]时，2ωx＋eq \f(π,3)∈[eq \f(π,3)，eq \f(π,3)ω＋eq \f(π,3)]，若f(x)在区间[0，eq \f(π,6)]上有且仅有两个零点，则2π≤eq \f(π,3)ω＋eq \f(π,3)<3π，解得5≤ω<8，故D正确．故选BCD. 解析：由题意得函数f(x)＝asin x＋cos x＝eq \r(a2＋1)sin(x＋φ)，显然a≠0，sin φ＝eq \f(1,\r(a2＋1))，cos φ＝eq \f(a,\r(a2＋1))，tan φ＝eq \f(1,a)，又函数f(x)＝asin x＋cos x的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，故eq \f(π,4)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，则φ＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z， 故tan φ＝tan(eq \f(π,4)＋kπ)＝1＝eq \f(1,a)，则a＝1，故f(eq \f(3π,4))＝sineq \f(3π,4)＋coseq \f(3π,4)＝0. 训练13　已知函数f(x)＝asin x＋cos x的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，则f(eq \f(3π,4))＝________． 解：因为f(x)＝sin(2x－eq \f(π,3))＋sin(2x＋eq \f(π,3))－2eq \r(3)cos2x＋eq \r(3) ＝sin 2xcoseq \f(π,3)－cos 2xsineq \f(π,3)＋sin 2xcoseq \f(π,3)＋cos 2xsineq \f(π,3)－2eq \r(3)cos2x＋eq \r(3) ＝2sin 2xcoseq \f(π,3)－eq \r(3)(2cos2x－1)＝sin 2x－eq \r(3)cos 2x＝2sin(2x－eq \f(π,3))， 训练14　设函数f(x)＝sin(2x－eq \f(π,3))＋sin(2x＋eq \f(π,3))－2eq \r(3)cos2x＋eq \r(3). (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； 所以f(x)的最小正周期是T＝eq \f(2π,2)＝π， 由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[－eq \f(π,12)＋kπ，eq \f(5π,12)＋kπ]，k∈Z. 解：当x∈[eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]时，2x－eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,6)，eq \f(2π,3)]，此时sin(2x－eq \f(π,3))∈[－eq \f(1,2)，1]，可得f(x)∈[－1，2]， 所以f(x)的最大值为2，此时2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，得x＝eq \f(5π,12)；f(x)的最小值为－1，此时2x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6)，得x＝eq \f(π,12). 设函数f(x)＝sin(2x－eq \f(π,3))＋sin(2x＋eq \f(π,3))－2eq \r(3)cos2x＋eq \r(3). (2)当x∈[eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]时，求函数f(x)的最大值和最小值并求出对应的x. $$