3.1函数的相关概念与映射讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

学员姓名： 年级： 专题 函数的相关概念与映射 教学内容 【知识点与方法概要】 一、映射的概念 设、是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合、，以及对应关系）叫做集合到集合的映射，记作：.其中，给定一个集合A到集合B的映射，且，如果元素和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素的象，元素叫做元素b的原象。 注意：对于映射→来说，则应注意理解以下四点： 1 集合中每一个元素，在集合中必有唯一的象； 2 集合中不同元素，在集合中可以有相同的象； 3 集合中的元素与集合中的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”； ④ 允许集合中的元素没有原象； 二、函数的概念 设、是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 注意：符号仅仅是函数符号，不是表示“等于与的乘积”，也不一定是解析式，再研究函数时，除用符号外，还常用等符号来表示。 三、函数的值 表示当时，函数的值，这个值就由“”这一对应关系来确定；与是不同的，前者表示以为自变量的函数，后者为常数 四、函数的三要素 我们通常把对应法则、定义域、值域称为函数的三要素。由函数的定义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。 七：区间的概念和记号： 名称 定义 符号 数轴表示 闭区间 开区间 ｛＜＜｝ 左闭右开区间 ﹛＜﹜ 左开右闭区间 ｛＜｝ 无穷区间 ｛｝ 无穷区间 ｛＜｝ 无穷区间 ｛｝ 无穷区间 ｛＞｝ 注意： 1 有完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点； 2 两个端点之间用“，”隔开； 3 无穷大是一个符号，不是一个数；以“”或“”为区间一端时，这一端必是小括号。 类型一 映射的概念 例1 (1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四个对应关系中，能否构成A到B的映射？说明理由． (2)下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？ ①A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应; ②A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; ③A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; ④A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生. 例2 设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x－2 C．f：x→y＝ D．f：x→y＝|x－2| 例3 下列对应是集合A到集合B的映射的是(　　) A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3| B．A＝{平面内的圆}；B＝{平面内的矩形}，f：每一个圆对应它的内接矩形 C．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，f：x→y＝x D．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方 类型二 映射中的象与原象 例4 已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的象和B中元素(，)的原象. 例5 已知映射f：(x，y)―→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)． (1)求(－1,2)的象； (2)求(－1,2)的原象． 例6 在映射f：A→B中，集合A＝B＝{(x，y)|x、y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则B中的元素(－1,2)在集合A中的原象为________． 类型三 函数的概念 例7 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}给出下列4个图形，其中能表示集合M到集合N的函数关系的有________个。 例8 判断下列对应是否构成集合A到集合B的函数： (1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x； 例9 下列关于函数与区间的说法正确的是(　　) A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了 C．数集都能用区间表示 D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 类型四 同一函数的判定 例10 下列各组函数是同一函数的是(　　) ①f(x)＝与g(x)＝x； ②f(x)＝x与g(x)＝； ③f(x)＝x0与g(x)＝； ④f(x)＝x2－2x－1与g(x)＝t2－2t－1. A．①②　 B．①③　　C．③④　D．①④ 例11 下列四组函数，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝x B．f(x)＝x，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝· D．f(x)＝x，g(x)＝ 例12：下列函数中哪个与函数是同一个函数，把序号填在横线上 。 1 ； ②； ③ 类型五 函数的定义域 例13 求下列函数的定义域： (1)y＝3－x； (2)y＝－＋； 例14 求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝＋； (3)y＝＋. 例15 y＝的定义域是(　　) A．[－1，＋∞)　　　　 B．(0，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[－1,0)∪(0，＋∞) 类型六 求函数值 例16 若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]． 例17 已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)，f(－)，f(a＋1) 能力提升 1.下列从集合到集合的对应关系中，能确定是的函数的是( ). 1 ，对应关系； 2 ，，对应关系 3 ，对应关系； 4 ，，对应关系. 2. 下列各组函数是同一函数的是( ). 1 与 ②与 ③ 与 ④与 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【求抽象函数解析式】 1. 配凑法 例1已知 ，求f(x)； 例2已知：，求。 2.换元法 例1 已知：，求f(x); 例2已知：，求 。 例3 已知，求. 3. (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 4.(1)已知函数的定义域为，求的定义域． (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域 (3)若函数f(x+1)的定义域为[－，2]，求f(x2)的定义域． 【课后巩固】 1．下列对应是从集合A到集合B的映射的是（ ） A、 B、 C、 D、 2. 已知，下列对应不表示从到的函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 3. 给出下列关于从集合到集合的映射的论述，其中正确的有_________。 ①中任何一个元素在中必有原象； 2 中不同元素在中的象也不同； 3 中任何一个元素在中的象是唯一的； 4 中任何一个元素在中可以有不同的象； 5 中某一元素在中的原象可能不止一个； 6 集合与一定是数集； 7 ⑦记号与的含义是一样的． 4. 下列集合到集合的对应中，判断哪些是到的映射? 判断哪些是到的一一映射? (1)，对应法则； (2)，，，，； 5. 下列各式能否确定是的函数？ （1）； （2）； （3） 6. 已知，则 ； ； ； ； 。 7．下列各组函数中，把表示同一函数组的序号填在横线上 。 ①； ②； ③； ④⑤ 8. 函数f(x)＝＋的定义域为____________． 9. 是从到的映射，其中，，，则中元素的象是 ；中元素的原象 。 11. 已知函数满足，则 ______ 12. 已知 ，分别求的值。 13. 将下列集合用区间表示： （1）； （2）； （3）。 14. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是___________. 15. 求下列函数的定义域. (1) ； (2) ； (3) . 1 11 学科网（北京）股份有限公司 $$