第十章二元一次方程组 复习教学设计 2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十章　二元一次方程组 学科核心素养 具体内容 价值 抽象能力 类比列一元一次方程，从实际问题中抽象出含有两个（三个）未知数的方程的过程，理解二元一次方程组（三元一次方程组）的概念；探究逐步消元解二元一次方程组的过程，归纳得出解二元一次方程组的一般过程和方法；类比解二元一次方程组，归纳得出解三元一次方程组的一般过程和方法；通过实例，归纳得出列方程组解应用题的基本思路和一般步骤 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣 几何直观 通过列方程组解决几何图形问题，进一步体会数形结合思想的运用 几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径 推理能力 掌握二元一次方程组的解的概念，会通过代入检验，判断一对数是不是某个二元一次方程组的解；列方程组解应用题时，会判断所得方程组的解是否符合实际情境 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神 运算能力 掌握二元一次方程的解的概念，会求二元一次方程的整数解；掌握解二元一次方程组的基本方法——代入消元法和加减消元法，能根据二元一次方程组的特征选择适当的方法解方程组；能解简单的三元一次方程组，进一步体会化“三元”到“二元”“一元”的化归思想 运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度 应用意识 能根据实际问题列出简单的二元一次方程和二元一次方程组，能通过解二元一次方程组解决一些简单的实际问题，进一步体会代数方法的优越性；能利用三元一次方程组解决简单的实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型 应用意识有助于用学过的知识和方法解决简单的实际问题，养成理论联系实际的习惯，发展实践能力 模型观念 掌握应用题的几种基本题型及其典型的等量关系，进一步提高分析问题、解决问题的能力 模型观念有助于开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性 1.转化思想 在本章中，解二元一次方程组的过程就是转化的过程，最终目的就是将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解. 【例1】　（2024·娄底期中）若（2x－3y＋5）2＋｜x＋y－2｜＝0，求x，y的值. 解：∵（2x－3y＋5）2≥0，｜x＋y－2｜≥0， ∴ ②×3，得3x＋3y＝6③， ①＋③，得5x＝1，x＝， 把x＝代入①，得y＝， ∴ 　　【变式训练1】（2024·永州期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax＋by，其中a，b为常数.已知1⊕2＝10，（－3）⊕2＝2，求a⊕b的值. 解：根据题中的新定义化简，得 ①－②，得4a＝8，解得a＝2， 把a＝2代入①，得2＋2b＝10，解得b＝4， 则原式＝2⊕4＝4＋16＝20. 2.整体思想 在研究某些数学问题时，有时不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或将其整体处理后，达到顺利而简捷地解决问题的目的，这就是整体思想. 本章中某些特殊结构的方程组，可将某个含未知数的式子作为整体，通过整体代入达到消元的目的；含有未知数的求值题，有时也没必要分别求出未知数的值，而是求出未知数的和或差等，整体代入求值. 【例2】　请用“整体代入法”解方程组 解：由①，得2x－3y＝2③， 将③代入②，得＋2y＝9，解得y＝4， 将y＝4代入①，得2x－3×4－2＝0，解得x＝7， ∴方程组的解为 　　【变式训练2】阅读理解　先阅读材料，然后解方程组. 材料：解方程组 在本题中，先将x＋y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4＋y＝14，解得y＝2. 把y＝2代入①，得x＝2，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组 解：由①，得x－y＝1③， 把③代入②，得4－y＝5，即y＝－1， 把y＝－1代入③，得x＝0，则方程组的解为 3.数形结合思想 本章中借助方程组解决几何图形问题，便体现了数形结合思想的应用. 【例3】　（2024·南宁开学）有一块长方形的牧场如图①所示，它的周长为700米.将它分隔为六块完全相同的小长方形牧场，如图②所示，求每一块小长方形牧场的周长. 　　解：设每一块小长方形牧场的长为x米，宽为y米， 依题意得解得 ∴2（x＋y）＝2×（100＋50）＝300（米）. 答：每一块小长方形牧场的周长为300米. 　　【变式训练3】几何直观　用大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点A的坐标为（－1，5），求点B的坐标. 解：设长方形纸片的长为x，宽为y. 依题意，得解得 ∴2x＝2×＝，x＋y＝＋＝. 又点B在第二象限，∴点B的坐标为. 1.（2024·淄博二模）由方程组可得出x与y之间的关系是（　B　） A.x＋y＝1 B.x＋y＝－1 C.x＋y＝7 D.x＋y＝－7 2.数学文化　（2024·泰安一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）.”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　A　） A. B. C. D. 3.（2024·西安雁塔区期中）利用加减消元法解方程组嘉嘉说：要消去x，可以将①×3－②×5；淇淇说：要消去y，可以将①×3＋②×2，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（　B　） A.嘉嘉对，淇淇不对 B.嘉嘉不对，淇淇对 C.嘉嘉和淇淇都对 D.嘉嘉和淇淇都不对 4.（2024·中山二模）用如图①所示中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒.现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m＋n的值可能是（　C　） A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 5.（2024·淄博二模）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下　31　元. 6.（2024·潍坊一模）若关于x，y的方程组的解满足x－y＝3，则m＝　2　. 7.（2024·烟台一模）阅读下列方程组的解法，然后解决有关问题. 解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法）那将非常麻烦！若用下面的方法，则轻而易举. 解：①－②，得2x＋2y＝2，即x＋y＝1③. ③×16，得16x＋16y＝16④. ②－④，得x＝－1. 把x＝－1代入③，得－1＋y＝1，即y＝2. 所以原方程组的解是 以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程③，我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组 解： ②－①，得6x＋6y＝12，即x＋y＝2③， ③×7，得7x＋7y＝14④， ①－④，得y＝－， 把y＝－代入③，得x＝， ∴原方程组的解为 8.（2024·济南二模）某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 运载量/（箱/辆） 20 30 40 运费/（元/辆） 300 400 450 （1）全部货物一次性运送可用甲型车6辆，乙型车4辆，丙型车　3　辆. （2）若全部货物仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费5 100元，求甲、乙两种车型各需多少辆. 解：（2）设甲型车需x辆，乙型车需y辆. 根据题意，得解得 答：甲型车需9辆，乙型车需6辆. （3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为11辆，且一次性运完所有货物，请设计出所有的运送方案，并求出最少运费. 解：（3）设使用a辆甲型车，b辆乙型车，则使用（11－a－b）辆丙型车. 根据题意得20a＋30b＋40（11－a－b）＝360， ∴b＝8－2a. 又∵a，b，11－a－b均为正整数， ∴或或 ∴共有3种运输方案， 方案1：使用1辆甲型车，6辆乙型车，4辆丙型车； 方案2：使用2辆甲型车，4辆乙型车，5辆丙型车； 方案3：使用3辆甲型车，2辆乙型车，6辆丙型车. 方案1所需运费为300×1＋400×6＋450×4＝4 500（元）； 方案2所需运费为300×2＋400×4＋450×5＝4 450（元）； 方案3所需运费为300×3＋400×2＋450×6＝4 400（元）， ∵4 500＞4 450＞4 400，∴最少运费是4 400元. 9.（2024·泰安中考）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果、苦果各几个？ 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　D　） A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 10.（潍坊中考）方程组的解为　　. 11.（枣庄中考）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金　　两. 12.（2024·宿迁中考）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的方程组的解是　　. 13.（泰安中考）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20％，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5 100元.求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格. 解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，依题意得 解得 答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章　二元一次方程组 学科核心素养 具体内容 价值 抽象能力 类比列一元一次方程，从实际问题中抽象出含有两个（三个）未知数的方程的过程，理解二元一次方程组（三元一次方程组）的概念；探究逐步消元解二元一次方程组的过程，归纳得出解二元一次方程组的一般过程和方法；类比解二元一次方程组，归纳得出解三元一次方程组的一般过程和方法；通过实例，归纳得出列方程组解应用题的基本思路和一般步骤 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣 几何直观 通过列方程组解决几何图形问题，进一步体会数形结合思想的运用 几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径 推理能力 掌握二元一次方程组的解的概念，会通过代入检验，判断一对数是不是某个二元一次方程组的解；列方程组解应用题时，会判断所得方程组的解是否符合实际情境 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神 运算能力 掌握二元一次方程的解的概念，会求二元一次方程的整数解；掌握解二元一次方程组的基本方法——代入消元法和加减消元法，能根据二元一次方程组的特征选择适当的方法解方程组；能解简单的三元一次方程组，进一步体会化“三元”到“二元”“一元”的化归思想 运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度 应用意识 能根据实际问题列出简单的二元一次方程和二元一次方程组，能通过解二元一次方程组解决一些简单的实际问题，进一步体会代数方法的优越性；能利用三元一次方程组解决简单的实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型 应用意识有助于用学过的知识和方法解决简单的实际问题，养成理论联系实际的习惯，发展实践能力 模型观念 掌握应用题的几种基本题型及其典型的等量关系，进一步提高分析问题、解决问题的能力 模型观念有助于开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性 1.转化思想 在本章中，解二元一次方程组的过程就是转化的过程，最终目的就是将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解. 【例1】　（2024·娄底期中）若（2x－3y＋5）2＋｜x＋y－2｜＝0，求x，y的值. 　　【变式训练1】（2024·永州期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax＋by，其中a，b为常数.已知1⊕2＝10，（－3）⊕2＝2，求a⊕b的值. 2.整体思想 在研究某些数学问题时，有时不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或将其整体处理后，达到顺利而简捷地解决问题的目的，这就是整体思想. 本章中某些特殊结构的方程组，可将某个含未知数的式子作为整体，通过整体代入达到消元的目的；含有未知数的求值题，有时也没必要分别求出未知数的值，而是求出未知数的和或差等，整体代入求值. 【例2】　请用“整体代入法”解方程组 　　【变式训练2】阅读理解　先阅读材料，然后解方程组. 材料：解方程组 在本题中，先将x＋y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4＋y＝14，解得y＝2. 把y＝2代入①，得x＝2，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组 3.数形结合思想 本章中借助方程组解决几何图形问题，便体现了数形结合思想的应用. 【例3】　（2024·南宁开学）有一块长方形的牧场如图①所示，它的周长为700米.将它分隔为六块完全相同的小长方形牧场，如图②所示，求每一块小长方形牧场的周长. 　　【变式训练3】几何直观　用大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点A的坐标为（－1，5），求点B的坐标. 1.（2024·淄博二模）由方程组可得出x与y之间的关系是（　 　） A.x＋y＝1 B.x＋y＝－1 C.x＋y＝7 D.x＋y＝－7 2.数学文化　（2024·泰安一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）.”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　 　） A. B. C. D. 3.（2024·西安雁塔区期中）利用加减消元法解方程组嘉嘉说：要消去x，可以将①×3－②×5；淇淇说：要消去y，可以将①×3＋②×2，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（　 　） A.嘉嘉对，淇淇不对 B.嘉嘉不对，淇淇对 C.嘉嘉和淇淇都对 D.嘉嘉和淇淇都不对 4.（2024·中山二模）用如图①所示中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒.现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m＋n的值可能是（　 　） A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 5.（2024·淄博二模）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下 元. 6.（2024·潍坊一模）若关于x，y的方程组的解满足x－y＝3，则m＝ . 7.（2024·烟台一模）阅读下列方程组的解法，然后解决有关问题. 解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法）那将非常麻烦！若用下面的方法，则轻而易举. 解：①－②，得2x＋2y＝2，即x＋y＝1③. ③×16，得16x＋16y＝16④. ②－④，得x＝－1. 把x＝－1代入③，得－1＋y＝1，即y＝2. 所以原方程组的解是 以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程③，我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组 8.（2024·济南二模）某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 运载量/（箱/辆） 20 30 40 运费/（元/辆） 300 400 450 （1）全部货物一次性运送可用甲型车6辆，乙型车4辆，丙型车 辆. （2）若全部货物仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费5 100元，求甲、乙两种车型各需多少辆. （3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为11辆，且一次性运完所有货物，请设计出所有的运送方案，并求出最少运费. 9.（2024·泰安中考）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果、苦果各几个？ 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　 　） A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 10.（潍坊中考）方程组的解为 . 11.（枣庄中考）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两. 12.（2024·宿迁中考）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的方程组的解是 . 13.（泰安中考）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20％，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5 100元.求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格. 学科网（北京）股份有限公司 $$