第六章 平面向量及其应用 章末测试卷-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第六章 平面向量及其应用 章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，若，则实数（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：向量，， ， 解得， 故选：D 2．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】由，可得，即 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以与的夹角为. 故选：C. 3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为．故选：C． 4．设，为非零向量，则“”是“存在负数，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，可得，的夹角为钝角或180°，不能推出； 由存在负数，使得，可得，共线且反向，夹角为180°， 则， 所以“”是“存在负数，使得”的必要不充分条件， 故选：B. 5．如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意有： 故选：B. 6．如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系， 因为，所以设，，，， 由可得，解得， 因为，，， 所以，整理得， 由题意可得关于的一元二次方程至多有一个解， 所以，将代入整理得， 解得，所以， 故选：D 7．在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意设， 则，，，， 则. 故选：C． 8．如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图所示，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值, 所以此时取得最大值，最大值为； 因为，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当 分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时 达到最小值． 综上所述的最大值与最小值的和为. 故答案为：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 10．已知向量满足，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，则与的夹角为 【答案】ABD 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，因为，故B正确； 对于C：在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为，所以， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 11．已知与夹角为，若且，，则的可能值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】CD 【详解】由，则， 整理可得，由，当且仅当时取等号， 则，解得，所以， 由，则选项AB错误，选项CD正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 . 【答案】 【详解】因为中，，且的面积为， 所以，解得， 所以或， 当时，因为，所以， 又，所以，不符合题意； 当时，因为，所以， 又，所以在中，由正弦定理可得， 即. 故答案为： 13．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 【答案】 【详解】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为， 因为，所以在上的投影向量为， 所以8根绳子拉力的合力为， 又因为降落伞匀速下落，所以， 所以，，所以. 故答案为：. 14．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】因为三点共线，所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以，由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 16．已知在中，，，. (1)求角的大小； (2)求的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知：，， . ，，即角的大小为. （2）由（1）知：，，且， . 由余弦定理可得， ，即的长为. （3）由（1）知：，. 由余弦定理可知， ， ，. . 17．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由，得，所以. （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 18．如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【答案】，与M的前进方向夹角的余弦值为 【详解】根据题意，设合力，则，且， 则， 所以 ， 所以， 设， 由，得 所以， 故乙所用的力，与M的前进方向夹角的余弦值为． 19．在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题， 因为，所以． （2）由（1）， （当且仅当时取等号） 则，又，则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第六章 平面向量及其应用 章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，若，则实数（   ） A．1 B． C． D． 2．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．设，为非零向量，则“”是“存在负数，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 6．如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 10．已知向量满足，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，则与的夹角为 11．已知与夹角为，若且，，则的可能值为（   ） A．2 B． C． D．1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 . 13．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 14．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 16．已知在中，，，. (1)求角的大小； (2)求的长； (3)求的值． 17．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 18．如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    19．在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$