6.2.3向量的数乘运算-2024-2025学年高一数学（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.2.3向量的数乘运算 题型一：向量数乘的有关计算 【例1】非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【例2】对于非零向量，的模是的模的倍．( ) 【变式1-1】若，则且( ) 【变式1-2】（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【变式1-3】已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 题型二：平面向量的混合运算 【例3】化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【例4】在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【变式2-2】设D，E，F分别是的边BC，CA，AB上的点，且，则与（    ） A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 【变式2-3】若，其中为已知向量，求未知向量． 题型三：向量的线性运算的几何应用 【例5】已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【例6】中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 【变式3-1】如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，在中，，，求证：，且. 【变式3-3】如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 题型四：平行向量（共线向量） 【例7】设D，E，F分别是的边BC，CA，AB上的点，且，则与（    ） A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 【例8】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 【变式4-1】已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式4-2】已知，，求证：与共线. 【变式4-3】设两向量 与不共线，若， ，，则为何值时，三点共线？ 题型五：用已知向量表示目标向量 【例9】已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【例10】如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 题型六：三角形的心的向量表示 【例11】已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 【例12】已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式6-1】已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式6-2】（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【变式6-3】欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.2.3向量的数乘运算 题型一：向量数乘的有关计算 【例1】非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【答案】 相反 【详解】非零向量与方向相反，且的长度是的倍. 故答案为：相反；. 【例2】对于非零向量，的模是的模的倍．( ) 【答案】错误 【详解】一个数乘一个向量，结果是一个向量，其模是， 所以对于非零向量，的模是是的模的2倍，所以为错误的. 故答案为：错误 【变式1-1】若，则且( ) 【答案】错误 【详解】根据向量的数乘运算可知若，则或， 故答案为：错误 【变式1-2】（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确； 对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由可得，同为正或同为负， 所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确； 对于C，，故C错误． 故选：ABD. 【变式1-3】已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【答案】 【详解】由已知，则和反向， 又非零向量的单位向量， 所以向量的单位向量. 故答案为：. 题型二：平面向量的混合运算 【例3】化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 【例4】在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 【变式2-1】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 【变式2-2】设D，E，F分别是的边BC，CA，AB上的点，且，则与（    ） A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 【答案】A 【详解】在中，由，得，则， 同理由，得，由，得， 则，所以与平行且方向相反. 故选：A 【变式2-3】若，其中为已知向量，求未知向量． 【答案】 【详解】由可得：， 即，解得：． 题型三：向量的线性运算的几何应用 【例5】已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】取BC中点为D，延长AD至E，使AD=DE，则， 则M 为AD中点，过M，A做BC垂线，垂足为F，G，则. 则. 故选：B 【例6】中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以； 又三点共线，所以； 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为9. 故答案为：9 【变式3-1】如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 【变式3-2】已知，在中，，，求证：，且. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为， 所以， 故，且. 【变式3-3】如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. 题型四：平行向量（共线向量） 【例7】设D，E，F分别是的边BC，CA，AB上的点，且，则与（    ） A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 【答案】A 【详解】在中，由，得，则， 同理由，得，由，得， 则，所以与平行且方向相反. 故选：A 【例8】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 【答案】 【详解】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行， 则，即，即，解得. 故答案为：. 【变式4-1】已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 【变式4-2】已知，，求证：与共线. 【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以由共线向量定理知，与共线. 【变式4-3】设两向量 与不共线，若， ，，则为何值时，三点共线？ 【答案】 【详解】， 若三点共线，则存在实数，使， 即， 所以，解得. 故当时，三点共线. 题型五：用已知向量表示目标向量 【例9】已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，， 所以． 故选：A 【例10】如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 【变式5-1】如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 【变式5-2】在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，所以， 则， 所以，，. 故选：D. 【变式5-3】已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得， 所以，所以， 所以，所以， 解得， 所以. 故选：B    题型六：三角形的心的向量表示 【例11】已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为是的重心，、、分别为、、中点， 所以，，， 所以， 所以． 【例12】已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 【变式6-1】已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 【变式6-2】（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：ACD 【变式6-3】欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    学科网（北京）股份有限公司 $$