6.2.1向量的加法运算-2024-2025学年高一数学（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.2.1向量的加法运算 题型预览 题型训练 题型一：向量加法的法则 【例1】已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【例2】在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 题型二：零向量与单位向量 【例3】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【例4】化简： (1)． (2)． 【变式2-1】下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【变式2-2】等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 题型三：向量的几何表示 【例5】设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例6】若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-1】在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 【变式3-2】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    【变式3-3】在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.2.1向量的加法运算 题型预览 题型训练 题型一：向量加法的法则 【例1】已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由平行四边形法则得到：,同理得：,两式相加得：. 故选：D. 【例2】在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由题意可得，则为等边三角形. 故选：B. 【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 【变式1-2】（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 【变式1-3】已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【详解】当单位向量，…，方向相同时， 取得最大值， ； 当单位向量，…，首尾相连时，， 所以的最小值为. 故答案为：； 题型二：零向量与单位向量 【例3】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）． （2）． （3）． 【例4】化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）. （2）. 【变式2-1】下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 【变式2-2】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 故选：B 【变式2-3】如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：由向量加法的三角形法则， 因为，所以. （2）证明：由向量加法的平行四边形法则， 因为， 所以 . 题型三：向量的几何表示 【例5】设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 【例6】若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形． 故选：D． 【变式3-1】在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 【答案】D 【详解】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：D. 【变式3-2】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】证明见解析 【详解】证明：由题知，， 因此． 所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形． 【变式3-3】在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， 过作，因为， 所以,所以在边上的高是在边上高的， 所以， 同理过作，因为， 所以,所以在边上的高是在边上高的， 所以， 所以， 故选:A. 学科网（北京）股份有限公司 $$