6.1平面向量的概念-2024-2025学年高一数学（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.1平面向量的概念 题型预览 题型训练 题型一：向量与数量的辨析 【例1】下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选：A． 【例2】（判断）与是否相等和，的方向无关.( ) 【答案】正确 【详解】根据平面向量的概念可知，与是否相等和，的方向无关， 故答案为：正确， 【变式1-1】下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度，其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度， 故选：C， 【变式1-2】分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】C 【详解】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为： ，共8个． 故选：C． 【变式1-3】如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南方向行走了km． 【答案】60°2 【详解】解析：由已知图形可知，的几何意义是从A点沿西偏南60°方向，行走了2km． 故答案为：60°；2 题型二：零向量与单位向量 【例3】下列关于向量的描述正确的是 A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 【答案】D 【解析】根据向量的方向性可判断A；根据平面向量数量积定义及夹角范围可判断B；共线向量有同向和反向两种，可判断C；根据向量模的定义可判断D， 【详解】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误； 对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误； 对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误； 对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确； 故选：D， 【点睛】本题考查了平面向量中单位向量的概念和定义，注意向量的方向性，属于基础题， 【例4】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断， 故选：C， 【变式2-2】下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】B 【解析】根据零向量的定义和性质、单位向量的定义，同向向量的定义进行判断即可， 【详解】解析：零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误， 故选：B 【点睛】本题考查了零向量的定义和性质，考查了单位向量的定义，考查了同向向量的定义，属于基础题， 【变式2-3】下列说法中正确的是（    ） A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形 B．零向量与单位向量的模相等 C．若和都是单位向量，则或 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【详解】对于选项A，A，B，C，D四点可能共线，故A不正确； 对于选项B，零向量的模为0，单位向量的模为1，不相等，故B不正确； 对于选项C，因为和都是单位向量，所以，但它们的方向是任意的，故C不正确； 对于选项D，零向量与任何向量都共线，故D正确， 故选：D， 【点睛】本题考查了共线向量，零向量，单位向量的概念，属于基础题， 题型三：向量的几何表示 【例5】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 【例6】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 【变式3-1】在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【变式3-2】按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量，（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量， 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （2）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （3）根据相反向量的定义，画出，如下： 【变式3-3】（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【答案】（1）个；（2）个 【详解】（1）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个； （2）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个， 题型四：相等向量与共线向量 【例7】下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 【例8】（多选）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC， 【变式4-1】（多选）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 【答案】AC 【详解】对于A，向量与向量是共线向量，则可能平行，因此不一定在同一条直线上，即A错误； 对于B，若，则或，即B正确； 对于C，向量不能比较大小，因此错误，即C错误； 对于D，由平面向量的共线定理可知D正确， 故选：AC 【变式4-2】在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【详解】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B， 【变式4-3】（多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.1平面向量的概念 题型预览 题型训练 题型一：向量与数量的辨析 【例1】下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【例2】（判断）与是否相等和，的方向无关.( ) 【变式1-1】下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度，其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【变式1-3】如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南方向行走了km． 题型二：零向量与单位向量 【例3】下列关于向量的描述正确的是 A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 【例4】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【变式2-2】下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【变式2-3】下列说法中正确的是（    ） A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形 B．零向量与单位向量的模相等 C．若和都是单位向量，则或 D．零向量与任何向量都共线 题型三：向量的几何表示 【例5】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【例6】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【变式3-1】在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【变式3-2】按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量，（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量， 【变式3-3】（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 题型四：相等向量与共线向量 【例7】下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【例8】（多选）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【变式4-1】（多选）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 【变式4-2】在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【变式4-3】（多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 学科网（北京）股份有限公司 $$