第一章 整式的乘除 综合练习（B）2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第一章《整式的乘除》 综合练习题（B） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．头发是人体的附属纤维组织，是人体的主要组成部分，一根头发的半径约为0.000035m，则0.000035用科学记数法表示为（　　） A．35×10﹣5 B．3.5×10﹣4 C．3.5×10﹣5 D．3.5×10﹣6 2．计算20240﹣2025﹣1的结果正确的是（　　） A． B．2026 C．﹣2025 D． 3．如图，两个顶点重合，边重合的正方形，求阴影部分的面积．下列表示错误的是（　　） A．a（a﹣b）+b2 B．a2﹣b2 C．（b+a）（a﹣b）×2 D．a（a﹣b）+b（a﹣b） 4．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．在图2中672的“竖式”，可计算出（m+n）（x﹣y）是（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 5．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球53个、53个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 6．已知x+y+3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 7．设M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣2）（x﹣5），则M与N的关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 8．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab 9．由整式与整式相乘的法则可知：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3即：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，我们把这个等式叫做整式乘法的立方和公式．下列对这个立方和公式应用不正确的是（　　） A．（a+1）（a2+a+1）＝a3+1 B．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝x3+64y3 C．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3 D．x3+27＝（x+3）（x2﹣3x+9） 10．已知关于x的多项式M和N如下：M＝（x﹣a）3＝bx3+cx2+dx﹣1，N＝e（x+1）3+f（x+1）2+m（x+1）+n＝3x3﹣x2+x+p，则下列三个说法中正确的有（　　） ①a+b+c+d＝0； ②若无论x取何值，N﹣3M的值恒为正数，则p＞﹣1； ③若多项式N＝（3x2+1）•A，其中A为整式，则7e+5f+m+2n＝﹣27． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共5小题，总分20.0分） 11．计算：10232﹣1024×1022＝　 　． 12．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　 　． 13．定义新运算：a※b＝a（b+1），则（x﹣1）※x的运算结果为 　 　． 14．若xy＝﹣1，x+4y＝﹣3，则代数式（x﹣2）（2y﹣1）的值为　 　． 15．计算：　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90.0分） 16．计算： （1）； （2）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2． 17．用简便方法计算： （1）； （2）222﹣2×44+4． 18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． （1）求出拼成的长方形纸片的长和宽； （2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽． 19．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为am+n＝am•an，amn＝（am）n＝（an）m，ambm＝（ab）m（m，n为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： （1）若xa＝2，xb＝3，求x3a+2b的值； （2）计算：． 20．幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若3m×9m×27m＝312，求m的值． （2）比较大小：若a＝255，b＝344，c＝533，则a，b，c的大小关系是什么？ 21．（1）填空并观察下列各式的规律： （a﹣b）（a+b）＝ 　 　； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4； （a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5； … 可得到（a﹣b）（a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024）＝ 　 　． （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝ 　 　（其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算：37﹣36+35⋯+33﹣32+3． 22．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形． （1）请用含m，n的代数式表示图b中阴影部分的面积：　 　． （2）观察图b，请问下面三个式子（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间有什么等量关系？ （3）根据（2）中的等量关系，解决以下问题： ①已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，求a+b的值？ ②已知a＞0，，求的值？ 23．如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为a cm的大正方形，两块是边长都为b cm的小正方形，且a＞b． （1）这张长方形大铁皮的长为 　 　cm，宽为 　 　cm；（用含a、b的代数式表示） （2）①求这张长方形大铁皮的面积S（用含a、b的代数式表示）； ②若一个小长方形的周长为22cm，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为33cm2，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S． 24．观察： 已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2， （1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3， （1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4，… （1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝　 　． （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝　 　； ②2+22+23+24+…+2n＝　 　； （3）拓广： ③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）＝　 　； ④判断22010+22009+22008+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由． 25．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1． 这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式． （1）类比解决： 如图2，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为 　 　． 则②的阴影面积表示为 　 　． 由此可以得到的等式是 　 　． （2）尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？ 如图3，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形． 由此可得：13+23＝（1+2）2＝32． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：13+23+33（要求写出结论并构造图形）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　.（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 5页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10 小题，总分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C． D A A A C A C A B 二、填空题（本大题共 5 小题，总分 20 分） 11．1． 12．a3b2． 13．x2﹣1． 14．3． 15．2． 三、解答题（本大题共 10 小题，总分 90 分） 16．解：（1）− 12023 + (� − 3)0 + ( 13 ) −1 ＝﹣1+1+3 ＝3； （2）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2 ＝x8﹣4x8+x8 ＝﹣2x8． 17．（1）解：20 13 × 19 2 3 = (20 + 1 3 ) × (20 − 1 3 ) ＝202− ( 13 ) 2 = 400 − 19 = 399 89； （2）222﹣2×44+4＝（22﹣2）2＝202＝400． 18．解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b＝5a+3b． 长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）＝3a+2b﹣2a﹣b＝a+b． （2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）＝a+b+2． 19．解：（1）∵xa＝2，xb＝3， ∴x3a+2b＝x3a•x2b 第 2页（共 5页） ＝（xa）3•（xb）2 ＝23•32 ＝8×9 ＝72； （2）2100 × 8101 × ( 14 ) 200 = 2100 × 8100 × 8 × [( 14 ) 2]100 = 8 × 16100 × ( 116 ) 100 ＝8×1 ＝8． 20．解：（1）∵3m×9m×27m＝312， ∴3m×（32）m×（33）m＝312， ∴3m×32m×33m＝312， ∴m+2m+3m＝12， ∴6m＝12， 解得：m＝2； （2）∵a＝255＝（25）11＝3211， b＝344＝（34）11＝8111， c＝533＝（53）11＝12511， ∵32＜81＜125， ∴3211＜8111＜12511， ∴a＜b＜c． 21．解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2， 可得到（a﹣b）（a2024+a2023b+⋯ +ab2023+b2024）＝a2025﹣b2025； 故答案为：a2﹣b2；a2025﹣b2025； （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯ +abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn （其中 n为正整数，且 n≥2）； 故答案为：an﹣bn； （3）设（2）中式子中的 a＝3，b＝﹣1，n＝8， 则有[3﹣（﹣1）][37+36•（﹣1）+35•（﹣1）2+⋯ +3•（﹣1）6+（﹣1）7）]＝38﹣（﹣1）8， 即 4×（37﹣36+35+…+33﹣32+3﹣1）＝38﹣1， 第 3页（共 5页） ∴37﹣36+35+…+33﹣32+3﹣1= 3 8−1 4 ， ∴37﹣36+35+…+33﹣32+3= 3 8−1 4 +1= 38+3 4 ． 22．解：（1）图 b中阴影部分是边长为 m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2， 故答案为：（m﹣n）2； （2）图 b中，大正方形的边长为 m+n，因此面积为（m+n）2，阴影部分是边长为 m﹣n的小正方形， 因此面积为（m﹣n）2，4个空白长方形的面积为 4mn， 所以有（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn， 故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （3）①∵a﹣b＝5，ab＝﹣6， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 即（a+b）2＝25﹣24＝1， ∴a+b＝1或 a+b＝﹣1； ②∵（a+ 2�） 2＝（a− 2�） 2+8＝1+8＝9，而 a＞0， ∴a+ 2� =3 23．解：（1）这张长方形大铁皮长为（2a+b）cm，宽为（2b+a）cm； 故答案为：（2a+b），（2b+a）； （2）①S＝（2a+b）（2b+a） ＝2a2+5ab+2b2； ②根据题意得：2（a+b）＝22，a2﹣b2＝33， 整理得 a+b＝11，（a+b）（a﹣b）＝33， ∴a﹣b＝3， 解得 a＝7，b＝4， ∴5ab+2a2+2b2＝140+98+32＝270， 则这张长方形大铁皮的面积为 270cm2． 24．解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1， 故答案为：1﹣xn+1； （2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25） ＝1﹣26 第 4页（共 5页） ＝1﹣64 ＝﹣63； 故答案为：﹣63； ②根据规律可知： （1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2n）＝1﹣2n+1， ∴2+22+23+24+…+2n= 1−2 �+1 1−2 − 1 =2 n+1﹣2， 故答案为：2n+1﹣2． 拓广③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1） ＝﹣（1﹣x）（x99+x98+x97+…+x2+x+1） ＝﹣（1﹣x100） ＝x100﹣1； 故答案为：x100﹣1； ④（1﹣2）（22010+22009+22008+…+22+2+1）＝1﹣22011， ∴22010+22009+22008+…+22+2+1 = 1−2 2011 1−2 ＝22011﹣1， ∵21＝2， 22＝4， 23＝8， 24＝16， 25＝32， 26＝64， 27＝128， 28＝256， 29＝512， 210＝1024，…． 有以上结果可知道 2的指数为 1，2，3，4，5，6，7，8，…． 结果末尾上的数字就是 2，4，8，6，2，4，8，6，2，4，8，6，…． 以 2，4，8，6循环的， 第 5页（共 5页） 22012的末尾上数字为 6， ∴22011的末尾上数字为 8， ∴22011的个位上的数字为 8﹣1＝7． 25．解：（1）∵左图的阴影部分的面积是 a2﹣b2， 右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 这就验证了平方差公式； 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， （2）如图，A表示 1个 1×1的正方形，即 1×1×1＝13； B表示 1个 2×2的正方形，C与 D恰好可以拼成 1个 2×2的正方形， 因此：B、C、D就可以表示 2个 2×2的正方形，即：2×2×2＝23； G与 H，E与 F和 I可以表示 3个 3×3的正方形，即 3×3×3＝33； 而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形， 由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62； 故答案为：62； （3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2， 又∵1+2+3+…+n= 12n（n+1）， ∴13+23+33+…+n3＝[ 1 2 n（n+1）]2． 故答案为：[ 1 2 n（n+1）]2。