8.1平方根（第2课时 算术平方根及其大小比较）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第八章 实数 8.1 平方根 第2课时 算术平方根及其大小比较 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.了解算术平方根的概念和意义. 2. 会求一些非负数的算术平方根，能运用算术平方根进行计算求值，解决实际问题. 3. 会用计算器和估算的方法求一个非负数的算术平方根，并借此过程感受无限不循环的概念. 4.能用估算的方法确定无理数的大致范围，通过估算的训练感受其在实际生活中的意义. 情景导入 计算并思考下面的问题： 学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm² 的正方形油画，请问这幅正方形油画的边长是多少? 问题 1：这幅正方形油画的边长是多少? 由正方形的面积公式，通过平方和开平方互为 逆运算推算，且面积不能为负，所以得出这幅 正方形油画的边长为 5 dm. 问题 2：你是怎么得出这个结果的呢? 5 dm 新知探究 计算下表中各正方形的边长： 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 1 3 4 6 问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长与面积之间有什么关系? 问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系? 正方形的边长是面积值的正平方根. 面积越大，边长越大. 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为： 算数平方根 算数平方根 具有双重非负性。 ①被开方数a一定是非负数，即a ≥ 0 ②算数平方根 也是一个非负数，即 概念归纳 a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数. 也可以写作 ， 读作“二次根号a”. 规定：0的算数平方根是0，0的算数平方根也记为 。 概念归纳 算术平方根 中，a可以取任何数吗？ 不可以. 被开方数 a 是非负数，即 a>0 或 a=0 . 是什么数？ 是非负数，即 . 有意义吗？你能得出什么结论？ 没有意义 . 结论 非负数的算术平方根是非负数，负数没有算术平方根. 归纳总结 基本条件： 数的角度： 关系的角度： 形的角度： 怎么理解 (a≥0 ， ). 是一个非负数. 的平方是 a； 是 a 的算术平方根； 不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长. 例题讲解 例1 求下列各数的算术平方根： 被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 总结 从小到大 解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根是10， (2) 因为 = ，所以 的算术平方根是 ， (3)因为 0.012 = 0.000 1，所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01， (2) ； (1) 100； (3) 0.000 1. 即 = . 即 = . 即 = . 怎样用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 探究一 如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形。 设大正方形的边长为x dm，则 x2=2 由边长的实际意义可知 所以大正方形的边长为 dm。 小正方形的对角线的长是多少呢？ 有多大呢？ 探究二 有多大呢？ a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 因为 12=1，22=4 ，12< 2 < 22， 所以 1 4 确定 在哪 2 个连续的整数之间。 探究二 有多大呢？ a 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 a2 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61 因为 1.42=1.96，1.52=2.25 ，1.42< 2 < 1.52 所以 1.96 2.25 确定 在哪 2 个连续的一位小数之间。 探究二 有多大呢？ a 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 a2 1.9881 因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164 ，1.412< 2 < 1.422， 所以 2.0164 2.0449 2.0736 2.1025 2.1316 2.1609 2.1904 2.2201 1.9881 2.0164 确定 在哪 2 个连续的两位小数之间。 探究二 有多大呢？ a 1.412 1.413 1.414 1.415 1.46 a2 因为 1.4142=1.999 396，1.4152=2.002 225 ， 1.4142 < 2 < 1.4152 所以 1.993 744 1.996 569 1.999 396 2.002 225 2.005 056 如此进行下去，可以得到 更精确的估计范围。 此种方法叫“夹逼法” 1.999 396 2.002 225 探究二 有多大呢？ 它是一个无限不循环小数。 ①小数位数无限； ② 小数部分不循环。 你还见过哪些这样的数？ π 探究二 例2.用计算器求下列各式的值： (1) ；(2) = (结构保留小数点后三位) . 1.414 56 显示：56. 所以：56. 解：(1) 依次按键 1 3 3 6 = 显示：1.414213562. 所以：1.414. (2) 依次按键 2 = 例题讲解 思考 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星。 v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位:m/s2) ，R是地球半径，R ≈ 6.4×106(单位：m)。怎样求v呢？ 当 “天问一号” 火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v² = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢? 由 v² = 2gR 及 v 的实际意义，得 v = ， 其中 g ≈ 9.8 (单位：m/s2 )，R ≈ 6.4×106 (单位：m). 用计算器求得 v ≈ = 1.12×104. 因此，第二宇宙速度 v 约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s. … … … … 规律：被开方数的小数点每向右移动 位，它的算术平方根的小数点就向右移动 位；被开方数的小数点每向左移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位. （1）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? 2 2 1 1 探究 根据(1)中发现的规律，得 解：用计算器计算 ，得 . 根据 的值不能说出 是多少. (2)用计算器计算 (结果保留小数点后三位) ，并利用你在(1)中发现的规律求出 的近似值，你能根据 的值求出 的近似值吗？ 注意：当小数点只移动一位时，不符合规律。 探究 例3 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗? 分析：可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程，得到长方形的长和宽，再与正方形的边长作比较.估计边长的大小可用前面学习的方法. 例题讲解 解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得 3x·2x = 300， 6x2 = 300， x2 = 50. 由边长的实际意义，得 x = . 因此长方形纸片的长为 cm. 因为 50 > 49，所以 > 7. 由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于 21 cm. 因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm. 这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 例题讲解 课堂练习 1.求下列各数的算数平方根： (1) 0.09; (3) 52. 解： (2) 因为 ，所以 的算数平方根是 ，即 。 (1) 因为0.32=0.09，所以0.09的算数平方根是0.3，即 。 (3) 因为52=25，所以52的算数平方根是5，即 。 【教材P43 练习第1题】 2.求下列各式的值： 解： 【教材P44 练习第2题】 3.排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162m2。它的长与宽分别是多少？ 解：设长方形的宽是 x m，则长为2x m。 2x · x = 162 由长、宽的实际意义可知 x = 9 答：长方形的宽是9m，则长为18 m。 x = 9，则2x=18 【教材P44 练习第3题】 4.用计算器求下列各式的值： 【教材P46 练习第1题】 (结果保留小数点后三位) 解： (1) 依次按键: 显示： 31 所以： 9 6 1 = 4.用计算器求下列各式的值： 【教材P46 练习第1题】 (结果保留小数点后三位) 解： (2) 依次按键： 显示： 9.8 所以： 9 6 . 0 4 = 4.用计算器求下列各式的值： 【教材P46 练习第1题】 (结果保留小数点后三位) 解： (3) 依次按键： 显示： 20.074859899 所以： 4 0 3 = 5.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ 【教材P46 练习第2题】 解： (1)因为22=4，32=9，所以2＜ ＜3. (2)因为52=25，62=36，所以5＜ ＜6. (3)因为 ，12=1，22=4，所以1＜ ＜2. 6.长方形画纸的面积为700cm2，长与宽的比为5:4。王芳想从中裁出半径为12cm的圆形画纸，她的想法可行吗？ 【教材P46 练习第3题】 解： 设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm。 根据边长与面积的关系，得 5x · 4x = 700， 20x2 = 700， x2 = 35， 由边长的实际意义，得 因此长方形纸片的长为 cm，宽为 cm。 5xcm 4xcm 6.长方形画纸的面积为700cm2，长与宽的比为5:4。王芳想从中裁出半径为12cm的圆形画纸，她的想法可行吗？ 【教材P46 练习第3题】 由上可知20< <24 所以圆形纸片的直径为 24 cm大于长方形纸片的宽。 因为52=25，62=36，所以5＜ ＜6. 答：她的想法不可行。 分层练习 基础题 1.[2024· 淄博张店区期中] “4的算术平方根”用数学式子表示正确的是 ( ) B A. B. C. D.4 2. 的算术平方根是( ) C A. B. C. D. 3.利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为 ，则计算器面 板显示的结果为( ) B A. B.2 C. D.4 4. 估计 的值在( ) C A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 36 5.等腰直角三角形的面积为3，则其直角边长为____. 6.某学校会议室的面积为 ，会议室的地面恰由100块相 同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是__ . 7.当为何值时， 有最小值？最小值为多少？ 【解】 , 当,即时, 有最小值,最小值 为6. 37 8.已知刹车距离的计算公式 ，其中表示车速， 表示刹车距离， 表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得， ，而发生交通事故的路段限速为 ，通过计算说明肇 事汽车是否违规行驶. 【解】将，代入 ，得 . ， 肇事汽车没有违规行驶. 38 综合应用题 9. 的算术平方根是( ) D A. B.4 C. D.2 10.下列说法中，不正确的有( ) ①一个数的算术平方根一定是正数； 的平方根是10； 的算术平方根是 ； 的算术平方根是 . C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.将长和宽分别为2和1的长方形沿 如图虚线剪开，拼成一个与长方形 面积相等的正方形，则该正方形的 边长是( ) C A. B. C. D.2 [解析] 点拨： 长方形的长为2，宽为1， 长方形的面积为 ， 设拼成的正方形的边长为，则且， ，即该正方形 的边长是 . 40 12. [2024江油月考] 若 是整数，则满足条件的自然数 共有( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 【点拨】 是整数， 或9或4或1或0. 对应 的值为0，7，12，15，16，共6个.故选D. 41 13. [2024乐山模拟] 若的算术平方根是5，则 的 算术平方根是( ) D A. B. C. D. 2 14. 若是的算术平方根，则 的平方根是( ) C A. B. C. D. 15.[2024成都改编] 若， 为有理数，且， 则 的算术平方根为___. 1 42 16.有一个长、宽之比为的长方形过道，其面积为 . （1）求这个长方形过道的长和宽； 【解】设这个长方形过道的长为，宽为 , 则，解得或 . ， ， . 这个长方形过道的长为，宽为 . 43 （2）用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满， 求这种地板砖的边长. 【解】设这个正方形的地板砖的边长为 ， 则 ， 解得或 . ， . , 这种地板砖的边长为 . 44 17.用计算器探索： ____； _____； _______； … 由此猜想： ___________. 22 333 4 444 7 777 777 45 18.比较下列各组数的大小. （1） 与1.7； 解:, . 因为,所以 . （2） 与1. 解: ， 因为,所以 ， 所以,所以,所以 . 46 19. 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则 不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数的内 在联系，运用规律求得.请同学们观察下表： 16 0.16 1 600 160 000 … 4 0.04 400 … （1）表格中____, ____； 0.4 40 （2）发现规律：如果被开方数的小数点向右移动2位，那么它的算术平 方根的小数点就向____移动___位；如果被开方数的小数点向左移动4位， 那么它的算术平方根的小数点就向____移动___位； 右 1 左 2 47 （3）利用你发现的规律，探究下面的问题： 已知 ，填空： ① _________; ② _______. 1 435 48 创新拓展题 20. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数， 若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”. 例如：，， 这三个数，， ， ，其结果6，3，2都是整数，所以 ，， 这三个 数称为“完美组合数”. （1），， 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由. 【解】,,这三个数是“完美组合数”.理由： ， ， 这三个数是互不相等的负整数，且 ， ， ，其结果6，9，18都是整数， ，， 这三个数是“完美组合数”. 50 （2）若三个数，， 是“完美组合数”，其中有两个数 乘积的算术平方根为15，求 的值. 【解】若，这两个数乘积的算术平方根为15，则 ， 解得 . 易知，， 是“完美组合数”， ； 若，这两个数乘积的算术平方根为15，则 ， 解得 （不是整数，舍去）. 综上所述， . 51 21.（1）如图，计划在空地上设计3块并排的正 方形基地做厂房来存放生产物资，基地总面 积为 ，则每块正方形基地的边长 为____ ； 20 （2）计划在厂房的东边围1块面积为 的长方形基地做仓库来存 放设备，仓库一边靠在正方形的边上（计划与厂房共用一面墙，且共用 部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且 它的长与宽之比为 .若可以围成，请通过计算设计出方案，并简要画 出设计图；若不能围成，请通过计算说明理由. 52 解：设长方形的长为，宽为 ， 由题意得，解得 （负值已舍去）， 则长方形的长为，宽为 ， ，， ， 可以围成.设计图如图. 53 习题 1.求下列各数的平方根: (1) 81; (3) 0.001 6. 解： (2) 因为 ，所以 的平方根是 。 (1) 因为(±9)2=81，所以81的平方根是±9。 (3) 因为(±0.04)2=0.001 6，所以0.001 6的平方根是±0.04。 复习巩固 2.求下列各数的算数平方根: (2) 0.04; (3) 102. 解： (1) 因为 ，所以 的算数平方根是 ，即 。 (2) 因为0.22=0.04，所以0.04的算数平方根是0.2，即 。 (3) 因为102=100，所以102的算数平方根是10，即 。 3.判断题 (1) 是5的一个平方根； (2) (-3)2的算数平方根是-3； (3) 的平方根是±2； (4) 0的平方根与算数平方根都是0； √ × × √ (-3)2的算数平方根是3； 的平方根是 ； 4.用计算器求下列各式的值(结果保留小数点后两位)： 解： (1) 依次按键: 显示： 20.199 009 876 所以： 4 0 8 = 4.用计算器求下列各式的值(结果保留小数点后两位)： 解： (2) 依次按键: 显示： 7.171 146 351 所以： 5 1 . 4 2 5 3 4 = 4.用计算器求下列各式的值(结果保留小数点后两位)： 解： (3) 依次按键: 显示： 5.267 826 876 所以： 1 1 1 ÷ 4 = 5.比较下列各组数的大小： 解： (1) 因为65 > 82 , 所以 >8； (2) 通分得 ，因为12 < 18 所以 ； (3) 因为 所以 ，所以 . 6.求下列各式中x的值： (1) x2-100 = 0; (2) 25x2 = 36; (3) (x+2) 2 = 0.49. 解： (1) x2 -100 = 0 可化简为x2 =100，又因为(±10) 2 =100， 所以 x =±10。 (3) 因为(x+2) 2 = 0.49，则 x+2=±0.7，所以x = -2.7 或 x = -1.3。 (2) 25x2 = 36可化简为 ，又因为 ， 所以 。 综合运用 7.估算面积为3dm2的正方形的边长是多少分米(结果保留小数点后两位)。 解： 由题意得正方形边长为 dm. 方法（对两个连续整数或小数用平方法逐步进行比较） 步骤 通过估算，确定 在哪两个连续的整数之间。 因为12=1，22=4，所以1＜ ＜2 通过估算，确定 在哪两个连续的一位小数之间。 因为1.72=2.89，1.82=3.24， 所以1.7＜ ＜1.8 通过估算，确定 在哪两个连续的两位小数之间。 因为1.732=2.999824，1.742=3.0276， 所以1.73＜ ＜1.74 通过估算，确定 在哪两个连续的三位小数之间。 因为1.7322=2.9929, 1.732=3.003289， 所以1.732＜ ＜1.733 答：正方形的边长为1.73dm。 8.如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间t(单位：s)与钟摆长度l(单位:m)之间满足 。当钟摆的长度为0.25m时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？(π取3.14，g取9.8m/s2.结果保留小数点后两位) 解： 由题意得 答：摆动一个来回所用的时间是1秒。 9.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？ 面积扩大为原来的9倍呢？n倍呢？ 答:面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的2倍；面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的3倍；面积扩大为原来的n倍，边长变为原来的 倍。 解:设正方形的边长为x，则面积为x2。 面积 x2 4x2 9x2 16x2 25x2 36x2 ··· nx2 边长 x 2x 3x 4x 5x 6x ··· 10. (1)求 的值。对于任意非负数a， 等于多少？ 解: 对于任意非负数a， 拓广探索 10. (2)求 的值。对于任意数a， 等于多少？ 解: 对于任意数a， 11.任意找一个正数，比如1 234，利用计算器对它开平方，再对得到的算数平方根开平方······如此进行下去，你有什么发现？ 0.8 1 1 234 ··· ··· 1 1 1 1 1 1 ··· ··· 0.8944 0.9457 0.9725 0.9862 ··· 0.9998 0.9999 ··· 35.1283 5.9269 2.4345 1.5603 ··· 1.0070 1.0035 ··· 解: a = 0或1时： 每次开立方所得的结果都为它们本身； 0< a <1时：每次开平方所得的结果逐渐增大，并趋近于 1； a >1时：每次开立方所得的结果逐渐减小，并趋近于 1。 0.8 1 1 234 ··· ··· 1 1 1 1 1 1 ··· ··· 0.8944 0.9457 0.9725 0.9862 ··· 0.9998 0.9999 ··· 35.1283 5.9269 2.4345 1.5603 ··· 1.0070 1.0035 ··· 课堂小结 算术平方根 定义 表示 特征 如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为________. 非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________. 正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______； 负数没有算术平方根. x2 = a 根号 a 被开方数 0 算术平方根 平方根 区 别 概念 不同 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根 个数 不同 正数的算术平方根有_______个 正数的平方根有_______个 表示方法不同 正数 a 的算术平方根表示为_______ 正数 a 的平方根表示为_______ 结果 不同 正数的算术平方根一定是_______ 正数的平方根为________，二者互为________ 1 2 正数 一正一负 相反数 课堂小结 利用计算器求一个正数的算数平方根 开平方运算要用到的键是________ 开平方运算的按键顺序为: __________________________ 被开平方数 = 探究算术平方根、被开方数的小数点移动规律 利用估算比较大小(平方法) 被开方数越大，对应的算数平方根就越大 依 据 课堂小结 $$