5.1.2 瞬时变化率课件（1）-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.1.2 瞬时变化率—导数（1） 选择性必修第一册 第5章《导数及应用》 ——曲线上一点处的切线 1 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解局部以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程. 2.理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率. 2 平均变化率近似刻画了曲线在某区间上的变化趋势，但不能体现函数值较精确的变化，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势？ 问题1：观察“点 P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？ 问题2：这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了什么图形呢？ 问题情境 从上面的图形变化过程来看： 1）曲线在点 P 附近看上去几乎成了直线． 2）继续放大，曲线在点 P 附近将逼近一条确定的直线 l， 这条直线是过点 P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线． 3）点 P 附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）． 既然点 P 附近的曲线被看作直线 l ，那么我们可以用直线 l 的斜率来刻画曲线经过点 P 时上升或下降的“变化趋势”． 问题探究 如图所示，直线 l1，l2 为经过曲线上一点 P 的两条直线． 问题1：试判断哪一条直线在点 P 附近更加逼近曲线； 问题2：在点 P 附近能作出一条比 l1，l2 更加逼近曲线的直线 l3 吗？ 问题3：在点 P 附近还能作出比 l1，l2，l3 更加逼近 曲线的直线吗？ l1 O l2 P x y 怎样找到经过曲线上一点 P 处最逼近曲线的直线 l 呢 ？ 问题驱动 P Q O x y 割线 切线 l y＝f(x) 如图，设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，直线 PQ 称为曲线的割线. 问题：P为已知曲线C上的一点，如何求出点 P 处的切线斜率？ 随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动， 割线 PQ 在点 P 附近逼近曲线 C， 直线 l，这条直线 l 也称为曲线在点 P 处的切线．这种方法叫割线逼近切线. 当点 Q 无限逼近点 P 时，直线 PQ 最终就成为经过点 P 处最逼近曲线的 y O x P Q 获得新知 y x O y = f(x) x P Q 切线 割线 △x>0时,点Q位于点P的右侧 曲线 y=f(x)上点 △x<0时,点Q位于点P的左侧 2.求出割线PQ的斜率 ，并化简. 求曲线 y=f (x)上一点P( )处切线斜率的一般步骤： 3.令Δx 趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即 为所求切线斜率． 1.设曲线上另一点 M （即 y) 求曲线上某一点处的切线斜率 总结方法 例1.试求 在x=2处的切线斜率. y · O P 2 4 Q x 数学运用 解：设P(2，4)，Q( )， 则割线PQ的斜率为： 当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于常数4，从而曲线在点(2，4)处的切线斜率为4． 找到定点P的坐标 设出动点Q的坐标 求出割线斜率 当△x无限趋近于0时，割线逼近切线， 割线斜率逼近切线斜率． 导学探究 课堂检测 1．曲线上一点P处的切线是过点P 的所有直线中最接近 P 点附近曲线的直线，则 P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映 (局部以直代曲)． 2．根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程． 割线PQ P点处的切线 Q无限逼近P时 割线PQ的斜率 P点处的切线斜率 Q无限逼近P时 Q无限逼近P时 即区间长度趋向于0 令横坐标无限接近 P点处的瞬时变化率 函数在区间[ ] (或[ ]）上的平均变化率 课堂小结 $$