黄金卷02（江苏南京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷02 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 B C B D A B 二、填空题：（本大题共10题，每题2分，共20分.） 7． 8． 9．/ 10．3 11．5 12． 13． 14． 15．24 16．，或 三、解答题：（本大题共11题，第17-18每题7分，第19-25每题8分，第26-27题9分，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．【详解】解：，， ∴， ∴， ∴，．（7分） 18．【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为．（7分） 19．【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 于点 于点 ． ， 在 和 中， ， ， ．（8分） 20．【详解】（1）解：根据条形统计图和折线统计图可得：①从2015年已知的至2100年预测的我国60岁以上人口的占比逐年增加，直至趋近．②从2015年已知的至2100年预测的我国总人口数呈递减趋势． （2）解：由统计图可知：我国60岁以上人口的占比逐年增加，劳动力人口可能减少使生产率降低，可能导致经济增长速度放缓，即①正确；由于我国60岁以上人口的占比逐年增加，社保养老负担必然增大，即②正确；由于我国60岁以上人口的占比逐年增加，，家庭成员需承担更多的照料、抚养工作． 故答案为：①②③． （3）解：由于我国60岁以上人口的占比逐年增加，产生了一系列问题，因此我建议国家应该出台一些鼓励大家生育的政策，同时做好养老保障工作．（8分） 21．【详解】（1）解：甲选择“镇东门”检票通道的概率是， 故答案为：； （2）解：采用列表法列举如下： 甲乙 镇东门（东） 迎恩门（西） 望洋门（南） 威远门（北） 镇东门（东） （东，东） （东，西） （东，南） （东，北） 迎恩门（西） （西，东） （西，西） （西，南） （西，北） 望洋门（南） （南，东） （南，西） （南，南） （南，北） 威远门（北） （北，东） （北，西） （北，南） （北，北） 共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择相同检票通道的结果有4种， （甲，乙两人选择的检票通道恰好相同）.（8分） 22．【详解】解：根据题意得，， 解并检验得：， 答：该产品的应标示为．（8分） 23．【详解】解：作于点G，如图所示， ，斜坡的坡比，， ， 在中，，则设米， 米，米 在中，，， ， （经检验是原方程的解）， ∴米， 答：宝塔的高度是米．（8分） 24．【详解】（1）证明：如图所示，连接． ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； （3）解：正确，理由如下： 如图所示，连接， ∵都与相切， ∴，． 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即的度数不变．（8分） 25．【详解】（1）解：由题易得， ∴是等边三角形， 故选：D； （2）解：如图，由题易知均为等边三角形，且边长均为2，过A作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，过A作于点M， 由题易知， ∴， ∴； （4）解：如图，过P作垂直圆心Q所在那一层直线，垂足为M， 由（2）、（3）可知，，， ∴．（8分） 26．【详解】（1）解：把点代入直线得：， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线； （2）解：①∵点是抛物线上两点，且， ∴点B、C关于对称轴对称， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ②由题意得：点B、D、C在直线上，且，所以， 由①可知当时，则有， 联立二次函数与直线可得：， 解得：或， ∴二次函数与直线的另一个交点坐标为， ∴当时，则， ∴要使，则的取值范围为．（9分） 27．【详解】（1）解：如图，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，为上任意一点，连接，以为圆心，为半径画圆，作射线与交于，连接， 则圆上的点经过（，逆，）后的图形为， 理由：由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在上，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴圆上的点经过（，逆，）后的图形为． ∵， ∴与相切． （2）证明：∵与自旋转位似， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵与自旋转位似， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，取的中点，连接， 由（2）同理可得：，， ∴，，， ，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴．（9分） 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 2．尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔3667000米之遥，其中3667000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 4．下面四幅图中，可以近似地刻画汽车紧急刹车时速度y与时间x的关系的是（　　） A． B． C． D． 5．某兴趣小组发现建筑家在应县木塔的分析图上画了很多层层嵌套的圆形和正方形，查阅资料发现这是中国古建中常见的“天地之和比”．这个比值是古人从圆和方的关系中得出的，古代匠人总结为“方五斜七”．如图，是正方形的内切圆，点是以点为圆心、为半径的弧与延长线的交点，则的值就是“天地之和比”．请问“天地之和比”的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共10题，每题2分，共20分.） 7．当x 时，分式有意义． 8．因式分解： ． 9．若，，则的值为 ． 10．若数据1，2，4，x，5的平均数是3，则中位数是 ． 11．定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 12．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 13．根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为 ． 14．如图，四边形内接于，，， ，则的半径长为 ． 15．如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为 ． 16．如图是一个海螺，它有一定的数学形态美，我们把它抽象出来变成数学中的一个小模型；如图（1），若点H在的边上，且满足（或），则称满足这样条件的点为边上的“海螺点”． 如图（2），在中，，且，若点是边上的“海螺点”，则 ． 如图（3），直角坐标系中，点，在x轴存在点H使点A为边的“海螺点”，则点H的坐标为 ． 三、解答题：（本大题共11题，第17-18每题7分，第19-25每题8分，第26-27题9分，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解方程：． 18．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19．如图，在中，于点，于点，求证：． 20．下图是从2015年已知的至2100年预测的我国总人口（单位：亿人）、60岁以上人口（单位：亿人）和60岁以上人口占比（）的统计图． (1)根据上图中的信息，写出两条不同类型的结论． (2)关于图中人口趋势带来的影响，下列说法： ①劳动力人口可能减少使生产率降低，可能导致经济增长速度放缓； ②社会保障费用可能会增高，社会负担加重； ③家庭结构可能发生变化，家庭成员需承担更多的照料、抚养工作． 其中比较合理的有 ．（填写所有合理选项的序号） (3)就上述信息和影响，请你提出一条合理化建议． 21．山海关城门有四个，东城门称“镇东门”，西城门称“迎恩门”，南城门称“望洋门”，北城门称“威远门”，可通过这四个门进入该景区．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从这4个检票通道中随机选择一个检票． (1)甲选择“镇东门”检票通道的概率是 ； (2)求甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 22．市面销售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率，其中．若厂商宣称开发出防护率的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？ 23．如图所示，实验中学九年级某班数学兴趣活动小组选定测量我县慈云寺（原名月珠寺）里宝塔的高度，同学们在寺内一平台上D处测得宝塔顶端B的仰角是，平台高6米，朝宝塔方向沿斜坡走下平台到达塔底A处，斜坡的坡比，在A处测得塔顶端B的仰角是，求慈云寺宝塔的高度．（计算结果若有根号，化简保留根号） 24．如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为 ；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边交于点G，H，连接．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说明理由． 25．在学习尺规作图的课堂上，早早完成任务的阿斌拿起手里的直尺和圆规在草稿纸上随意画了起来． (1)阿斌按图示步骤，画了三个圆心在另外两个圆上且半径都相等的圆，发现将圆心连接起来后的是一个等边三角形．他思考了一下，发现这可以用（   ）判定证明． A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．有两个角是的三角形是等边三角形 C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D．三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)发现等边三角形后，阿斌非常兴奋，他又按同样的方式画了两个圆，并且把一些交点都用直尺连接了起来（如图）．不过他发现，其中有两条线段（标粗的线段和）的长度与等边三角形的边长不一样．若设圆半径为2，则__________，__________； (3)陷入亢奋状态的阿斌在水平方向上持续画圆，直到画到草稿纸边缘才停下．如图，阿斌发现图中的圆心可以分成两层，于是他将某一个圆心在水平方向上的序号a与对应的层数b组成了一个有序数对．例如点A是第1个点，位于第1层，因此可以用表示；点B是第2个点，位于第1层，因此可以用表示；点C可以用表示等等…… 如果他画的图中，点N可以表示为，且每个圆的半径为2，求点A到点N的距离（用含m的代数式表示）． (4)停下作图的阿斌陷入了沉思．在刚才的作图与计算中，他发现刚才的计算方式可以推广到更多层圆形成的图形中．若在推广后的图形中，圆心可以用表示，圆心可以用表示．在圆半径为2的前提下，请直接写出P，Q两点间距离的表达式（用含m和n的代数式表示）． 26．设抛物线与直线交于点． (1)求抛物线的解析式及其对称轴． (2)设点是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，． ①若，求的值． ②直线与直线交于点，且，直接写出的取值范围． 27．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度（），再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作（，顺，）；若逆时针旋转， 记作（，逆，）． 例如：如图，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作（B，逆，） (1)如图，已知为直角三角形，，，点在圆上，请利用尺规画出圆上的点经过（，逆，）后的图形，并判断该图形与直线的位置关系 （填“相切”、 “相交”或“相离”）． (2)如图，经过（，逆，）得到， 经过（， 顺，）得到， 连接，．求证：． (3)如图，在中，，，．若经过（）中的变换得到的四边形是正方形，则 ； ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据“正数大于负数，两个负数，绝对值大的而反而小”进行比较即可判断求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴最小的数在和中， ∵，， 又∵两个负数，绝对值大的而反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 2．尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔3667000米之遥，其中3667000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3．已知，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，利用二次根式的乘法运算可得，进而利用夹逼法可得，据此即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即 ∵， ∴整数， 故选：． 4．下面四幅图中，可以近似地刻画汽车紧急刹车时速度y与时间x的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考査了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键． 根据紧急刹车时速度随时间的增大而减小判断即可． 【详解】解：因为汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小， 所以选项D的图象可以近似地刻画汽车紧急刹车时速度与时间的关系． 故选：D． 5．某兴趣小组发现建筑家在应县木塔的分析图上画了很多层层嵌套的圆形和正方形，查阅资料发现这是中国古建中常见的“天地之和比”．这个比值是古人从圆和方的关系中得出的，古代匠人总结为“方五斜七”．如图，是正方形的内切圆，点是以点为圆心、为半径的弧与延长线的交点，则的值就是“天地之和比”．请问“天地之和比”的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和切线的性质，运用勾股定理求值是解题的关键． 根据以及勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 故选：A ． 6．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F， ∵四边形是菱形，且， ∴，其中． 在中，，设， ∴， 根据勾股定理，得． ∴， 根据折叠得， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题：（本大题共10题，每题2分，共20分.） 7．当x 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得 故答案为： 8．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 9．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，那么把，，代入即可作答． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为：． 10．若数据1，2，4，x，5的平均数是3，则中位数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平均数和中位数．首先根据平均数求出x值，再从小到大排列，找到中间的数即可． 【详解】解：∵数据1，2，4，x，5的平均数是3， ∴， 解得：， 从小到大排列为1，2，3，4，5， 最中间的数是3，则这组数据的中位数是3． 故答案为：3． 11．定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为； 故答案为：5． 12．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边的关系，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长即可． 【详解】解：， 整理得：， ， 解得：，， 当时，，不能构成三角形， 当时，三角形的周长为， 故答案为：． 13．根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设，由图得，把代入解析式可得，进而得，再根据图把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 由图得，， 把代入得，， ∴， ∴， 由图得，， 把代入，得， 故答案为：． 14．如图，四边形内接于，，， ，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故答案为：24． 16．如图是一个海螺，它有一定的数学形态美，我们把它抽象出来变成数学中的一个小模型；如图（1），若点H在的边上，且满足（或），则称满足这样条件的点为边上的“海螺点”． 如图（2），在中，，且，若点是边上的“海螺点”，则 ． 如图（3），直角坐标系中，点，在x轴存在点H使点A为边的“海螺点”，则点H的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握新定义，是解题的关键．勾股定理求出的长，根据新定义，推出，等积法求出的长，根据点的坐标结合勾股定理求出的长，分两种情况，证明三角形相似，求出点的坐标即可． 【详解】解：在中，，且， ∴， ∵点是边上的“海螺点”， ∴， ∴， ∴， ∴，即： ∴； ∵点， ∴， ∵点A为边的“海螺点”， ①当时， ∵， ∴， ∴，即： ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则： ， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：，或． 三、解答题：（本大题共11题，第17-18每题7分，第19-25每题8分，第26-27题9分，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴，． 18．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、求不等式组的整数解等知识点，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后确定所有整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 19．如图，在中，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质证明三角形全等是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，由此可证 ，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 于点 于点 ． ， 在 和 中， ， ， ． 20．下图是从2015年已知的至2100年预测的我国总人口（单位：亿人）、60岁以上人口（单位：亿人）和60岁以上人口占比（）的统计图． (1)根据上图中的信息，写出两条不同类型的结论． (2)关于图中人口趋势带来的影响，下列说法： ①劳动力人口可能减少使生产率降低，可能导致经济增长速度放缓； ②社会保障费用可能会增高，社会负担加重； ③家庭结构可能发生变化，家庭成员需承担更多的照料、抚养工作． 其中比较合理的有______．（填写所有合理选项的序号） (3)就上述信息和影响，请你提出一条合理化建议． 【答案】(1)①从2015年已知的至2100年预测的我国60岁以上人口的占比逐年增加，直至趋近． ②从2015年已知的至2100年预测的我国总人口数呈递减趋势 (2)①②③ (3)我建议国家应该出台一些鼓励大家生育的政策，同时做好养老保障工作 【分析】本题主要考查了条形统计图、折线统计图等知识点，从图中获取所需信息成为解题的关键． （1）根据条形统计图和折线统计图获取信息即可解答； （2）根据统计图分析即可解得； （3）根据（2）的分析提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：根据条形统计图和折线统计图可得：①从2015年已知的至2100年预测的我国60岁以上人口的占比逐年增加，直至趋近．②从2015年已知的至2100年预测的我国总人口数呈递减趋势． （2）解：由统计图可知：我国60岁以上人口的占比逐年增加，劳动力人口可能减少使生产率降低，可能导致经济增长速度放缓，即①正确；由于我国60岁以上人口的占比逐年增加，社保养老负担必然增大，即②正确；由于我国60岁以上人口的占比逐年增加，，家庭成员需承担更多的照料、抚养工作． 故答案为：①②③． （3）解：由于我国60岁以上人口的占比逐年增加，产生了一系列问题，因此我建议国家应该出台一些鼓励大家生育的政策，同时做好养老保障工作． 21．山海关城门有四个，东城门称“镇东门”，西城门称“迎恩门”，南城门称“望洋门”，北城门称“威远门”，可通过这四个门进入该景区．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从这4个检票通道中随机选择一个检票． (1)甲选择“镇东门”检票通道的概率是______； (2)求甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出甲乙两人选择的检票通道恰好相同的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：甲选择“镇东门”检票通道的概率是， 故答案为：； （2）解：采用列表法列举如下： 甲乙 镇东门（东） 迎恩门（西） 望洋门（南） 威远门（北） 镇东门（东） （东，东） （东，西） （东，南） （东，北） 迎恩门（西） （西，东） （西，西） （西，南） （西，北） 望洋门（南） （南，东） （南，西） （南，南） （南，北） 威远门（北） （北，东） （北，西） （北，南） （北，北） 共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择相同检票通道的结果有4种， （甲，乙两人选择的检票通道恰好相同）. 22．市面销售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率，其中．若厂商宣称开发出防护率的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？ 【答案】 【分析】本题是分式方程的应用， 根据公式列出方程进行计算便可解题． 【详解】解：根据题意得，， 解并检验得：， 答：该产品的应标示为． 23．如图所示，实验中学九年级某班数学兴趣活动小组选定测量我县慈云寺（原名月珠寺）里宝塔的高度，同学们在寺内一平台上D处测得宝塔顶端B的仰角是，平台高6米，朝宝塔方向沿斜坡走下平台到达塔底A处，斜坡的坡比，在A处测得塔顶端B的仰角是，求慈云寺宝塔的高度．（计算结果若有根号，化简保留根号） 【答案】宝塔的高度是米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，作于点G，先解直角三角形求出的长，再设米，表示出的长，再解求出x的值即可得到答案． 【详解】解：作于点G，如图所示， ，斜坡的坡比，， ， 在中，，则设米， 米，米 在中，，， ， （经检验是原方程的解）， ∴米， 答：宝塔的高度是米． 24．如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为______；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边交于点G，H，连接．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2；； (3)正确，见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，求不规则图形面积等等： （1）由切线的性质得到．再证明，得到，即．则可证明是的切线； （2）证明，得到，再根据阴影部分的面积列式求解即可； （3）由切线长定理得到，．再证明，，得到，，则．证明，则，即的度数不变． 【详解】（1）证明：如图所示，连接． ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； （3）解：正确，理由如下： 如图所示，连接， ∵都与相切， ∴，． 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即的度数不变． 25．在学习尺规作图的课堂上，早早完成任务的阿斌拿起手里的直尺和圆规在草稿纸上随意画了起来． (1)阿斌按图示步骤，画了三个圆心在另外两个圆上且半径都相等的圆，发现将圆心连接起来后的是一个等边三角形．他思考了一下，发现这可以用（   ）判定证明． A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．有两个角是的三角形是等边三角形 C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D．三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)发现等边三角形后，阿斌非常兴奋，他又按同样的方式画了两个圆，并且把一些交点都用直尺连接了起来（如图）．不过他发现，其中有两条线段（标粗的线段和）的长度与等边三角形的边长不一样．若设圆半径为2，则__________，__________； (3)陷入亢奋状态的阿斌在水平方向上持续画圆，直到画到草稿纸边缘才停下．如图，阿斌发现图中的圆心可以分成两层，于是他将某一个圆心在水平方向上的序号a与对应的层数b组成了一个有序数对．例如点A是第1个点，位于第1层，因此可以用表示；点B是第2个点，位于第1层，因此可以用表示；点C可以用表示等等…… 如果他画的图中，点N可以表示为，且每个圆的半径为2，求点A到点N的距离（用含m的代数式表示）． (4)停下作图的阿斌陷入了沉思．在刚才的作图与计算中，他发现刚才的计算方式可以推广到更多层圆形成的图形中．若在推广后的图形中，圆心可以用表示，圆心可以用表示．在圆半径为2的前提下，请直接写出P，Q两点间距离的表达式（用含m和n的代数式表示）． 【答案】(1)D (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定、勾股定理、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得都是等半径，所以，根据三条边都相等的三角形是等边三角形即可判断； （2）作于点M，利用特殊直角三角形和勾股定理即可得解； （3）同第二问，方法，关键是得出，再利用勾股定理即可得解； （4）同第三问，构造直角三角形，关键是边长用含n的式子表示出来． 【详解】（1）解：由题易得， ∴是等边三角形， 故选：D； （2）解：如图，由题易知均为等边三角形，且边长均为2，过A作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，过A作于点M， 由题易知， ∴， ∴； （4）解：如图，过P作垂直圆心Q所在那一层直线，垂足为M， 由（2）、（3）可知，，， ∴． 26．设抛物线与直线交于点． (1)求抛物线的解析式及其对称轴． (2)设点是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，． ①若，求的值． ②直线与直线交于点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线为，对称轴为直线 (2)①；② 【分析】（1）先得出点A的坐标，然后再利用待定系数法求二次函数解析式，进而可得对称轴； （2）①由题意易得点B、C关于对称轴对称，然后根据二次函数的对称性可进行求解；②根据①可知当时，则有，当当时，则，然后根据点B、D、C在直线上，且，所以，可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入直线得：， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线； （2）解：①∵点是抛物线上两点，且， ∴点B、C关于对称轴对称， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ②由题意得：点B、D、C在直线上，且，所以， 由①可知当时，则有， 联立二次函数与直线可得：， 解得：或， ∴二次函数与直线的另一个交点坐标为， ∴当时，则， ∴要使，则的取值范围为． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 27．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度（），再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作（，顺，）；若逆时针旋转， 记作（，逆，）． 例如：如图，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作（B，逆，） (1)如图，已知为直角三角形，，，点在圆上，请利用尺规画出圆上的点经过（，逆，）后的图形，并判断该图形与直线的位置关系 （填“相切”、 “相交”或“相离”）． (2)如图，经过（，逆，）得到， 经过（， 顺，）得到， 连接，．求证：． (3)如图，在中，，，．若经过（）中的变换得到的四边形是正方形，则 ； ． 【答案】(1)画图见解析，相切 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）如图，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，为上任意一点，连接，以为圆心，为半径画圆，作射线与交于，连接，则圆上的点经过（，逆，）后的图形为，再进一步解答可得答案； （2）由与位似，证明，由与位似，证明，可得． （3）如图，由（2）同理可得：，，可得，，，证明，，可得，可得，可得，，求解，即，，即，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，为上任意一点，连接，以为圆心，为半径画圆，作射线与交于，连接， 则圆上的点经过（，逆，）后的图形为， 理由：由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在上，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴圆上的点经过（，逆，）后的图形为． ∵， ∴与相切． （2）证明：∵与自旋转位似， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵与自旋转位似， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，取的中点，连接， 由（2）同理可得：，， ∴，，， ，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，切线的判定，圆周角定理的应用，解直角三角形的应用，位似图形的性质，相似三角形的性质，新定义运算的含义，理解题意，正确作图是解本题的关键． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$