8.1 平方根 同步练习 2024-2025学年人教版数学七年级下册

8.1 平方根 1.了解平方根的概念与性质，并理解平方与开平方的关系。 2.会求非负数的平方根。（重点、难点） 3.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。（重点） 4.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性。(重难点) 5.会用计算器求算术平方根。 6.掌握算术平方根的估算及大小比较。（重点） 7.会利用算术平方根解决实际问题。（难点） 知识点一：平方根的定义 （1）一般地，如果一个数x的平方等于 a，即＝a，那么这个数x叫做 a 的平方根或二次方根。 例如：3 和 －3 是 9 的平方根，简记为 ±3 ,则±3 是 9 的平方根。 （2）已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算；求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 （3）开平方运算与平方运算互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。 知识点二：平方根的性质 （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有平方根。 ①正数 a 的正的平方根记为，读作“根号a”，a叫作被开方数； ②正数 a 的负的平方根，可以用−表示； ③正数 a 的平方根可以用±表示。读作“正、负根号 a ”； ④0的平方根记为； ⑤只有当 a ≥ 0 时才有意义；a ＜ 0 时无意义。 知识点三：算术平方根的定义 （1）正数 a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根。 （2）正数a 的算术平方根用来表示。 （3）规定：0的算术平方根是0；0的算术平方根也记为。 知识点四：算术平方根的双重非负性 （1）非负数的算术平方根是非负数。 （2）负数不存在算术平方根，即当 a＜0 时，无意义。 a 的算术平方根 到目前为止，表示非负数的式子有：|a|≥0；≥0；当a≥0 时，≥0。 （3）平方根与算术平方根的联系与区别： 平方根与算术平方根的联系与区别 联系 ①包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种； ②只有非负数才有平方根和算术平方根； ③0 的平方根是 0，算术平方根也是 0。 区别 ①个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根； ②表示法不同：平方根表示为± ，而算术平方根表示为。 知识点五：算术平方根的估算及大小比较 例：探究有多大呢？ （1）事实上，＝1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数。实际上，很多正有理数的算术平方根（例如，，等）都是无限不循环小数。 （2）无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数。 知识点六：用计算器求算术平方根 （1）大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或近似值）。 （2）按键顺序： 注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书。 一、选择题 1．121的平方根是（　　） A． B．11 C． D． 2．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（　　） A．0 B．2 C．1 D．3 3．25的算术平方根是（　　） A． B．5 C． D． 4．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若＝a，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D． 6．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（　　） A．2 B．4 C．25 D． 7．若，，且，则的值为（　　） A．－2 B． C．5 D．－5 8．若，则的算术平方根是（　　） A．2 B．4 C． D．0 二、填空题 9．的平方根是 　 　． 10． 的算术平方根是　 　. 11．一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是　 　． 12．已知的算术平方根是，则的值是　 　． 13．已知，则　 　． 14．若，则　 　． 三、解答题 15．求下列各式的值： （1） （2） （3） 16．求下列各数的算术平方根： （1）100； （2） （3）0.0001. 17． 求下列各式中x的值： （1） （2） （3） 18．一个正数x的两个不同的平方根分别是和. （1）求a和x的值. （2）求的平方根. 19． 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：－9，－4，－1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以－1，－4，－9这三个数称为“绝佳组合数”． （1）－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数－2，m，－8是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 平方根 1.了解平方根的概念与性质，并理解平方与开平方的关系。 2.会求非负数的平方根。（重点、难点） 3.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。（重点） 4.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性。(重难点) 5.会用计算器求算术平方根。 6.掌握算术平方根的估算及大小比较。（重点） 7.会利用算术平方根解决实际问题。（难点） 知识点一：平方根的定义 （1）一般地，如果一个数x的平方等于 a，即＝a，那么这个数x叫做 a 的平方根或二次方根。 例如：3 和 －3 是 9 的平方根，简记为 ±3 ,则±3 是 9 的平方根。 （2）已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算；求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 （3）开平方运算与平方运算互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。 知识点二：平方根的性质 （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有平方根。 ①正数 a 的正的平方根记为，读作“根号a”，a叫作被开方数； ②正数 a 的负的平方根，可以用−表示； ③正数 a 的平方根可以用±表示。读作“正、负根号 a ”； ④0的平方根记为； ⑤只有当 a ≥ 0 时才有意义；a ＜ 0 时无意义。 知识点三：算术平方根的定义 （1）正数 a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根。 （2）正数a 的算术平方根用来表示。 （3）规定：0的算术平方根是0；0的算术平方根也记为。 知识点四：算术平方根的双重非负性 （1）非负数的算术平方根是非负数。 （2）负数不存在算术平方根，即当 a＜0 时，无意义。 a 的算术平方根 到目前为止，表示非负数的式子有：|a|≥0；≥0；当a≥0 时，≥0。 （3）平方根与算术平方根的联系与区别： 平方根与算术平方根的联系与区别 联系 ①包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种； ②只有非负数才有平方根和算术平方根； ③0 的平方根是 0，算术平方根也是 0。 区别 ①个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根； ②表示法不同：平方根表示为± ，而算术平方根表示为。 知识点五：算术平方根的估算及大小比较 例：探究有多大呢？ （1）事实上，＝1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数。实际上，很多正有理数的算术平方根（例如，，等）都是无限不循环小数。 （2）无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数。 知识点六：用计算器求算术平方根 （1）大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或近似值）。 （2）按键顺序： 注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书。 一、选择题 1．121的平方根是（　　） A． B．11 C． D． 【答案】A 【解析】 ，故121的平方根±11， 故答案为：A. 【分析】利用平方根的定义求解即可. 2．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（　　） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】A 【解析】解：若一个数的平方根等于它的本身，则这个数是0， 故答案为：A． 【分析】根据平方根的定义解答即可． 3．25的算术平方根是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】解：25的算术平方根是5， 故答案为：B. 【分析】如果一个正数x的平方等于a，则这个正数就是a的算术平方根，据此逐项判断得出答案. 4．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、等号的左边为正负号，两个值，等号的右边为3，故，故该选项是错误的； B、等号的右边为正负号，两个值，等号的左边为3，故，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，负数没有算术平方根，故该选项是错误的； 故选：C. 【分析】利用平方根和算术平方根的计算方法逐项分析判断即可. 5．若＝a，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴a=4. 故答案为：A。 【分析】直接求16的算术平方根，即可得出答案。 6．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（　　） A．2 B．4 C．25 D． 【答案】C 【解析】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：C． 【分析】利用一个正数的两个平方根互为相反数得到，求出的值，即可得到的值解题． 7．若，，且，则的值为（　　） A．－2 B． C．5 D．－5 【答案】B 【解析】解：，解得：， ，解得， 又∵， 当， 当，， 故答案为：D． 【分析】根据平方根的性质求出、，再由，由此即可求出的值． 8．若，则的算术平方根是（　　） A．2 B．4 C． D．0 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是：. 故答案为：A． 【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值，继而再根据算术平方根定义求出ab积的算术平方根即可. 二、填空题 9．的平方根是 　 　． 【答案】±2 【解析】解：​的平方根是±2． 故答案为：±2 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 10． 的算术平方根是　 　. 【答案】 【解析】解： 的平方根是± ， 的算术平方根是 . 故答案为 . 【分析】一个正数的正的平方根就是该数的算术平方根，根据定义即可得出答案. 11．一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是　 　． 【答案】 【解析】解：一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数， 这个数是， 故答案为：． 【分析】根据平方根的定义解题即可． 12．已知的算术平方根是，则的值是　 　． 【答案】2 【解析】解：根据题意，得：5x-1=32， ∴5x=10， ∴x=2. 故答案为：2. 【分析】根据平方根的意义可得出5x-1=32，解方程即可求得x的值. 13．已知，则　 　． 【答案】 【解析】解：=10≈10×1.954=19.54. 故答案为：. 【分析】由=10×，再代入计算即可. 14．若，则　 　． 【答案】12 【解析】， x-8=0，y+4=0， 解得x=8，y=-4， x-y=8-（-4）=12， 故答案为：12. 【分析】根据二次根式与偶次方的非负性得到x-8=0，y+4=0，解得x，y的值，从而求解. 三、解答题 15．求下列各式的值： （1） （2） （3） 【答案】（1）解： （2）解： （3）解：. 【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质（或算术平方根的计算方法）分析求解即可； （2）利用二次根式的性质（或算术平方根的计算方法）分析求解即可； （3）利用二次根式的性质（或算术平方根的计算方法）分析求解即可. 16．求下列各数的算术平方根： （1）100； （2） （3）0.0001. 【答案】（1）解：∵， ∴100的算术平方根是10， 即 . （2）解：∵ ∴的算术平方根是 ， 即 . （3）解：∵， ∴0.0001的算术平方根是0.01， 即 【解析】【分析】利用算术平方根的定义及计算方法分析求解即可. 17． 求下列各式中x的值： （1） （2） （3） 【答案】（1）解：x2=100， ∴x=±10. （2）解：x2=， ∴x=±. （3）解：x+2=±0.7， ∴x=±0.7-2， ∴x1=-2.7，x2=-1.3. 【解析】【分析】利用平方根的定义及计算方法分析求解即可. 18．一个正数x的两个不同的平方根分别是和. （1）求a和x的值. （2）求的平方根. 【答案】（1）解：∵一个正数x的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， ； （2）解：将，代入中，得. ∵25的平方根为， 的平方根为. 【解析】【分析】（1）由一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，进而再根据互为相反数的两个数的和为零，建立方程可求出a的值，进而再根据平方根的定义可求出x的值； （2）将x、a的值代入x+12a算出结果，再根据根据平方根定义直接开平方即可求出答案. 19． 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：－9，－4，－1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以－1，－4，－9这三个数称为“绝佳组合数”． （1）－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数－2，m，－8是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 【答案】（1）解：－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”，理由如下： ，，，且18，6，9都是整数， －27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”； （2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为12， 这两个数的乘积为144，当－2m＝144时，则m＝－72， ，，此时符合题意； 当－8m＝144时，则m＝－18， ，，此时符合题意； 综上所述，m＝－72或－18． 【解析】【分析】(1)根据新定义分别计算两两乘积的算术平方根即可判断； （2）分类讨论两数组合的两种情况，再去检验在该种情况下其两两乘积的算术平分根是否符合新定义. 学科网（北京）股份有限公司 $$