7.3 定义、命题、定理讲义 2024-2025学年人教版数学七年级下册

7.3 定义、命题、定理 1.了解定义、命题的概念以及命题的构成。 2.知道什么是真命题和假命题。（重点） 3.理解定理及证明的概念。（重点） 4.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用。（重点、难点） 知识点一：定义的概念 （1）对于一个概念特征性质的描述叫作这个概念的定义。 例如：“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度。 知识点二：命题的定义与结构 （1）可以判断为正确（或真）或错误（假）的陈述语句，叫作命题。 注意： ①只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题；（如：相等的角是对顶角） ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。（如：画线段AB=CD） （2）命题的结构：命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式。 ①“如果”后接的部分是题设，即已知事项； ②“那么”后接的部分是结论，即由已知事项推出的事项。 例如：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 （3）命题的组成： 知识点三：真命题与假命题 （1）被判断为正确(或真)的命题叫作真命题。 例如：两点之间线段最短。 （2）被判断为错误(或假)的命题叫作假命题。 例如：同旁内角互补。 知识点四：公理的概念与定理的概念 （1）数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作公理。 例如：经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。（平行线公理） （2）有些命题是基本事实，还有一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理。 例如：同角或等角的补角相等。（补角的性质） （3）证明的概念：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。 知识点五：举反例 （1）确定一个命题是假命题的方法：只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可。 例如：判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的角平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角。 一、选择题 1．“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【解析】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理. 故答案为：A. 【分析】公理是大家都认同的道理，是在人类生产、生活中过程中，经过人类长期反复实践及验证的不证自明的基本事实；定理是经过证明肯定对的道理，是通过合理的逻辑推理及证明等方法得到的真命题；定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明；它旨在明确一个词语或术语的含义，以便人们能够准确理解和使用这些词语或术语；定义通常是具体、精确且明确的，用于消除歧义和混淆；一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，据此即可判断得出答案. 2． 下列句子是命题的是（　　） A．连接CD B．画 C．小于的角是锐角？ D．相等的角是对顶角 【答案】D 【解析】A：连接CD，不是命题，不符合题意； B：画，不是命题，不符合题意； C：小于°角是锐角？，不是命题，不符合题意； D：相等的角是对顶角，是命题，符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可求解. 3．下列命题是真命题的是（　　） A．垂直于同一条直线的两直线垂直 B．相等的角是对顶角 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．内错角相等 【答案】C 【解析】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，原命题缺少前提“在同一平面内”，不一定能成立，故原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，例如一对90°的邻补角，故原命题为假命题，不符合题意； C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为真命题，符合题意； D、两直线平行，内错角相等，原命题缺少前提“两直线平行”，不一定能成立，故原命题是假命题，不符合题意. 故答案为：C． 【分析】根据垂直的性质，对顶角的概念，平行公理以及平行线的性质，逐一进行判断即可． 4．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是(　　) A．两直线平行，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．所有的直角都是相等的 D．若a=b，则a﹣3=b﹣3 【答案】C 【解析】解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是同位角相等，两直线平行是真命题； 交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等是真命题； 交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题； 交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a-3=b-3，则a=b是真命题， 故答案为：C． 【分析】写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可． 5．对于命题如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50° C．∠1=40°，∠2=40° D．∠1=45°，∠2=45° 【答案】D 【解析】A. 由∠1=50°，∠2=40°， 得 ∠1+∠2=90°，且∠1≠∠2，故A不符合题意； B. 由∠1=50°，∠2=50°， 得 ∠1+∠2=100°，故B不符合题意； C. 由∠1=40°，∠2=40°， 得 ∠1+∠2=80°，故C不符合题意； D. 由∠1=45°，∠2=45°， 得 ∠1+∠2=90°，且∠1=∠2，故D符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据命题的条件和结论，逐一对各选项进行判断，选项A，B，C均不符合题意，选项D符合题意. 6．关于命题：若，则．下列说法正确的是（　　） A．它是真命题 B．它是假命题，反例 C．它是假命题，反例 D．它是假命题，反例 【答案】D 【解析】解： 若 ，当a＞b＞0时，则a＞b； 当a＜b＜0时，则a＜b， 故答案为D 【分析】根据绝对值的性质判断即可。 7． 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： 证明：如图，， ． ， ， ， ． 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（　　） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【解析】根据题干中的证明过程，可得： 证明的真命题是：在同一平面内，若，且，则， 故答案为：A. 【分析】先阅读题干，再根据题干中的证明步骤分析求解即可. 二、填空题 8．命题“同位角相等，两直线平行”的条件是　 　． 【答案】同位角相等 【解析】命题中已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”， “同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分． 故答案为：同位角相等. 【分析】由命题的题设和结论的定义进行分析，即可得到答案． 9．命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，题设：　 　，结论　 　． 【答案】一个三角形的两个锐角互余；这个三角形是直角三角形 【解析】解：命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，可分析为，若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形； ∴题设为：一个三角形的两个锐角互余；结论为：这个三角形是直角三角形. 故答案为：一个三角形的两个锐角互余；这个三角形是直角三角形. 【分析】根据已知是命题的题设，由已知推出为结论，写出即可. 10．将命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为　 　． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】解：将命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 【分析】命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论，据此解答即可. 11．在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是　 　（写一个即可）． 【答案】-4 【解析】解：当时，，但不满足， 故“若，则”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】根据当a<-3时，满足条件，但不满足结论，即可填空． 12．命题“已知，，是直线，若，，则”是　 　.（填写“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】解： 命题“已知，，是直线，若，，则”是 假命题， 故答案为：假命题. 【分析】根据同一平面内，， 可得a∥c，即可求解. 13．可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝　 　． 【答案】14（答案不唯一） 【解析】解：可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝14， 故答案为：14（答案不唯一）． 【分析】m的取值满足是2的倍数但不是4的倍数，据此解答即可． 三、解答题 14． 下列语句哪些是命题? 哪些是真命题? （1）如果 那么 （2）等角的补角相等； （3）过一点作直线 l 的垂线； （4）两个锐角的和是钝角. 【答案】（1）解：如果 a = b， b = c ，那么 a = c ； 这是一个命题，因为它是可以判断真假的陈述句，且根据等量替换原则，它是真命题。 （2）解：等角的补角相等； 这是一个命题，因为我们可以判断其真假性。根据几何学原理，等角的补角确实相等，所以它也是真命题。 （3）解：过一点作直线l的垂线； 这不是一个命题，因为它是一个指令或操作描述，不是一个可以判断真假的陈述句。 （4）解：两个锐角的和是钝角； 这是一个命题，因为它是一个可以判断真假的陈述句。但是，它不是真命题。根据角度定义，锐角小于90度，两个锐角的和不一定大于90度，所以这个命题是假命题。 【解析】【分析】利用命题的定义（ 命题是能够判断真假的陈述句 ）和真命题的定义（正确的命题为真命题）逐题分析判断即可. 15．将下列命题改写成“如果…那么……”的形式，并指出它们的题设和结论，判断其真假． （1）有理数一定是自然数； （2）负数之和仍为负数． 【答案】（1）解：如果一个数是有理数，那么这个数一定是自然数，题设：一个数是有理数．结论：这个数运动时自然数，是假命题； （2）解：如果一个数是几个负数之和，那么这个数是负数， 题设：一个数是几个负数的之和，结论：这个数是负数，是真命题． 【解析】【分析】利用命题的定义及真假命题的定义求解即可。 16．如图，有三个条件：①，②，③，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如： 以③作为结论的命题是：如图，已知，，求证： （1）请按要求写出命题： 以①作为结论的命题是：　 　； 以②作为结论的命题是：　 　； （2）请证明以②作为结论的命题． 【答案】（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D． （2）解：∵∠1＝∠2 ∴DB//EC ∴∠DBA=∠C ∵∠A＝∠F ∴DF//AC ∴∠D=∠DBA ∴∠C=∠D． 【解析】解：（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2． 如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D． 【分析】（1）以①作为结论的命题是：已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；以②作为结论的命题是：已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D； （2）根据∠1＝∠2可得DB//EC，由平行线的性质可得∠DBA=∠C ，根据∠A＝∠F可得DF//AC， 由平行线的性质可得∠D=∠DBA，据此可得结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 定义、命题、定理 1.了解定义、命题的概念以及命题的构成。 2.知道什么是真命题和假命题。（重点） 3.理解定理及证明的概念。（重点） 4.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用。（重点、难点） 知识点一：定义的概念 （1）对于一个概念特征性质的描述叫作这个概念的定义。 例如：“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度。 知识点二：命题的定义与结构 （1）可以判断为正确（或真）或错误（假）的陈述语句，叫作命题。 注意： ①只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题；（如：相等的角是对顶角） ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。（如：画线段AB=CD） （2）命题的结构：命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式。 ①“如果”后接的部分是题设，即已知事项； ②“那么”后接的部分是结论，即由已知事项推出的事项。 例如：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 （3）命题的组成： 知识点三：真命题与假命题 （1）被判断为正确(或真)的命题叫作真命题。 例如：两点之间线段最短。 （2）被判断为错误(或假)的命题叫作假命题。 例如：同旁内角互补。 知识点四：公理的概念与定理的概念 （1）数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作公理。 例如：经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。（平行线公理） （2）有些命题是基本事实，还有一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理。 例如：同角或等角的补角相等。（补角的性质） （3）证明的概念：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。 知识点五：举反例 （1）确定一个命题是假命题的方法：只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可。 例如：判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的角平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角。 一、选择题 1．“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 2． 下列句子是命题的是（　　） A．连接CD B．画 C．小于的角是锐角？ D．相等的角是对顶角 3．下列命题是真命题的是（　　） A．垂直于同一条直线的两直线垂直 B．相等的角是对顶角 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．内错角相等 4．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是(　　) A．两直线平行，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．所有的直角都是相等的 D．若a=b，则a﹣3=b﹣3 5．对于命题如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50° C．∠1=40°，∠2=40° D．∠1=45°，∠2=45° 6．关于命题：若，则．下列说法正确的是（　　） A．它是真命题 B．它是假命题，反例 C．它是假命题，反例 D．它是假命题，反例 7． 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： 证明：如图，， ． ， ， ， ． 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（　　） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 二、填空题 8．命题“同位角相等，两直线平行”的条件是　 　． 9．命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，题设：　 　，结论　 　． 10．将命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为　 　． 11．在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是　 　（写一个即可）． 12．命题“已知，，是直线，若，，则”是　 　.（填写“真命题”或“假命题”） 13．可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝　 　． 三、解答题 14． 下列语句哪些是命题? 哪些是真命题? （1）如果 那么 （2）等角的补角相等； （3）过一点作直线 l 的垂线； （4）两个锐角的和是钝角. 15．将下列命题改写成“如果…那么……”的形式，并指出它们的题设和结论，判断其真假． （1）有理数一定是自然数； （2）负数之和仍为负数． 16．如图，有三个条件：①，②，③，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如： 以③作为结论的命题是：如图，已知，，求证： （1）请按要求写出命题： 以①作为结论的命题是：　 　； 以②作为结论的命题是：　 　； （2）请证明以②作为结论的命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$