7.2.3 平行线的性质讲义 2024-2025学年人教版数学七年级下册

7.2.3 平行线的性质 1.理解并掌握平行线的性质。(重点) 2.能运用平行线的性质进行推理证明。(难点) 3.掌握平行线的性质与判定的综合运用。(重点) 4.体会平行线的性质与判定的区别与联系。(难点) 知识点一：平行线的性质1 （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 （2）应用格式：∵a∥b（已知） ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） 知识点二：平行线的性质2 （1）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 （2）应用格式：∵a∥b（已知） ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等） 知识点三：平行线的性质3 （1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 （2）应用格式：∵a∥b（已知） ∴∠2＋∠3＝180 °（两直线平行，同旁内角互补） 一、选择题 1． 如图， 已知 ， 则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：C． 【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”即可解答. 2．如图，已知，交于点F.若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：B． 【分析】根据平行线的性质求∠EFB的度数，根据邻补角即可求解． 3．如图，点，分别在直线，上，若，则，其依据是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【解析】解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：C。 【分析】根据平行线的性质判定即可。 4．如图，将含角的三角尺的一个顶点放置在直尺一边上，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示： 由题意得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：B 【分析】先根据平行线的性质得到，，进而结合已知条件即可得到，从而即可求解。 5．如图，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图： ∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， ∵，∠3=108°， ∴， 故选：A． 【分析】先利用∠1和∠2的关系推导出∠1和∠5的关系，利用同位角相等，两直线平行得出a和b的平行位置关系，根据两直线平行内错角相等、邻补角互补进行求解． 6．如图，光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图， ∵水面和杯底互相平行， ∴， 又∵∠1=122°， ∴． ∵水中的两条折射光线平行， ∴． 故答案为：C． 【分析】利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数． 7．如图是一款手推车的平面示意图， 其中 ， 则 的度数为（　　） A．56 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：A 【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合三角形外角的性质即可求解. 8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A'，B'，若∠α＝∠β－15°，则∠β的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．75° 【答案】D 【解析】解：如图，过作， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， 由折叠知：，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：D． 【分析】过B' 作B' F∥BE，根据AC∥BE，可得∠CB' F= ∠α ，∠FB'E=∠B'EG，再由折叠得到∠BED=∠B'ED ＝∠β ，于是有，再结合求解即可． 二、填空题 9． 如图，EN⊥CD，点M在AB上，∠MEN=156°，当∠BME=　 　°时，AB∥CD． 【答案】66° 【解析】解：过点E作EF∥CD ∴∠FEN+∠CNE=180° ∵EN⊥CD ∴∠CNE=90° ∴∠FEN=180°-90°=90° ∵∠MEN=∠FEM+∠FEN=156° ∴∠FEM=156°=90°=66° 当∠BME=∠FEM=66°时 AB∥EF ∵FE∥CD ∴AB∥CD 故答案为：66° 【分析】过点E作EF∥CD，利用平行线的性质及垂直的定义，可求出∠CNE的度数，再由已知求出∠FEM，然后根据平行线的判定定理，可知要使AB∥CD，只有当∠BME=∠FEM时，可证得结论。 10．如图，已知直线经过点且，，则　 　度． 【答案】60 【解析】解：， ， ， 故答案为：60． 【分析】根据平行线的判定及性质，即可解答. 11．一副三角板按图示摆放，点E恰好落在CB的延长线上，使，则∠BDE的大小为　 　°． 【答案】15 【解析】解：∵DF//BC ∴∠FDB=∠ABC=60° ∵∠FDE=45° ∴∠BDE=∠FDB-∠FDE=60°-45°=15° 故答案为：15 【分析】根据平行线的性质和常见三角板的度数，可以得到∠FDB=∠ABC=60°，再根据∠BDE=∠FDB-∠FDE，即可求出答案 12．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为　 　度． 【答案】130 【解析】解：如图， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：130． 【分析】先由折叠的性质得到，再由平角的定义得到，最后由二直线平行，同位角相等可得． 13． 小明家的书桌上放置的飞机模型如图所示，其中支柱与底座构成的，经试用发现，机身与水平线所成的角为30度时稳定性最好．此时机身与支柱的夹角　 　． 【答案】 【解析】解：如图， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：30°. 【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，得到∠AEF的度数，进而由角的构成得到∠AED的度数，最后根据邻补角的性质即可求出∠AEC的度数. 三、解答题 14．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得 ∵， ∴， ∴， ∴，即①， 又∵② ∴①②联立可得，． 【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠1=∠2，∠3=∠C，由对顶角的性质可得∠2=∠3，则∠1=∠C，然后根据平行线的判定定理进行证明； （2）由（1）可得∠1=∠2=∠3=∠C，由已知条件可知∠2+∠4=180°，则∠3+∠4=180°，推出BF∥EC，由平行线的性质可得∠BFC+∠1=180°，然后结合∠BFC-30°=2∠1就可求出∠BFC的度数. 15．如图，于点D，于点F，如果，那么和相等吗?请阅读以下证明过程，并补全所空内容. 证明：，理由如下. ，（已知） （　　） （　　） （　　） 又（已知） （同位角相等，两直线平行） （　　） （等量代换） 【答案】证明：，理由如下. ，（已知） EFC（垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） 3（两直线平行，同位角相等） 又（已知） GD（同位角相等，两直线平行） 3（两直线平行，内错角相等） （等量代换） 故答案为：EFC；垂直定义；同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同位角相等；GD；3；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】首先由垂直的定义得∠ADC=∠EFC=90°，然后由同位角相等，两直线平行，得AD∥EF，再由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠3；由同位角相等，两直线平行 ，得AC∥GD，由两直线平行，内错角相等，得∠2=∠3，最后由等量代换可得∠1=∠2. 16． 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ， （　 　）（平行于同一条直线的两条直线平行） （　 　）（　 　）， ， （　 　）， （辅助线作法）， ∴（　 　）， ， （　 　）． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；90；；270 【解析】解：如图，过点作， ， BF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∠CBF（两直线平行，同旁内角互补）， ， 90， （辅助线作法）， ∴， ， 270． 故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；90；；270 【分析】过点作，根据平行公理及其推论得到BF，进而根据两直线平行，同旁内角互补得到∠CBF，从而根据垂直得到90，再根据平行线的性质得到，从而得到∠ABF的度数，再根据即可求解。 17． 如图1，，在、内有一条折线． （1）求证：． （2）如图2，已知的平分线与的平分线相交于点Q，若，求的度数； （3）如图3，已知，，直接写出与有什么关系． 【答案】（1）证明：如图1，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴ （2）解：如图2， 由（1），可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴， ∴ ； （3）解：解：如图3， 由（1），可得： ，， ∵，， ∴ ， ∴． 【解析】【分析】（1）过点P作，根据平行线的传递性可证，则，，再结合，即可证得 . （2） 由（1）可得：，，然后根据角平分线的定义可得， ，进而求出结果即可； （3） ，同（1）可得，， 再仿照（2）的求解过程求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.3 平行线的性质 1.理解并掌握平行线的性质。(重点) 2.能运用平行线的性质进行推理证明。(难点) 3.掌握平行线的性质与判定的综合运用。(重点) 4.体会平行线的性质与判定的区别与联系。(难点) 知识点一：平行线的性质1 （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 （2）应用格式：∵a∥b（已知） ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） 知识点二：平行线的性质2 （1）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 （2）应用格式：∵a∥b（已知） ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等） 知识点三：平行线的性质3 （1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 （2）应用格式：∵a∥b（已知） ∴∠2＋∠3＝180 °（两直线平行，同旁内角互补） 一、选择题 1． 如图， 已知 ， 则 等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，交于点F.若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点，分别在直线，上，若，则，其依据是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 4．如图，将含角的三角尺的一个顶点放置在直尺一边上，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图是一款手推车的平面示意图， 其中 ， 则 的度数为（　　） A．56 B． C． D． 8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A'，B'，若∠α＝∠β－15°，则∠β的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．75° 二、填空题 9． 如图，EN⊥CD，点M在AB上，∠MEN=156°，当∠BME=　 　°时，AB∥CD． 10．如图，已知直线经过点且，，则　 　度． 11．一副三角板按图示摆放，点E恰好落在CB的延长线上，使，则∠BDE的大小为　 　°． 12．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为　 　度． 13． 小明家的书桌上放置的飞机模型如图所示，其中支柱与底座构成的，经试用发现，机身与水平线所成的角为30度时稳定性最好．此时机身与支柱的夹角　 　． 三、解答题 14．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 15．如图，于点D，于点F，如果，那么和相等吗?请阅读以下证明过程，并补全所空内容. 证明：，理由如下. ，（已知） （　　） （　　） （　　） 又（已知） （同位角相等，两直线平行） （　　） （等量代换） 16． 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ， （　 　）（平行于同一条直线的两条直线平行） （　 　）（　 　）， ， （　 　）， （辅助线作法）， ∴（　 　）， ， （　 　）． 17． 如图1，，在、内有一条折线． （1）求证：． （2）如图2，已知的平分线与的平分线相交于点Q，若，求的度数； （3）如图3，已知，，直接写出与有什么关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$