7.1.2 两条直线垂直 讲义2024-2025学年人教版数学七年级下册

7.1.2 两条直线垂直 1.理解垂线的有关概念、性质及画法。（重点） 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题。（重点） 知识点一：垂直、垂线、垂足的概念 （1）一般地，当两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说 a 与 b 互相垂直。记作“a⊥b”。 （2）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 如图所示，AB 是 CD 的垂线或 CD 是 AB 的垂线；垂足是 O 。 知识点二：垂线的画法及基本事实 （1）垂线的画法：一放二靠三移四画。 （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 知识点三：垂线段 （1）垂线段的定义：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段。 （2）垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 例如：线段 PO 的长度叫作点到直线的距离。 知识点四：垂线段性质的实际应用 （1）解决这类最短距离问题时，要先判断是点到点的距离还是点到直线的距离，再依据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”作图。 一、选择题 1． 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，A符合题意； B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，B不合题意； C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，C不合题意； D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，D不合题意． 故答案为：A． 【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可。熟知点到直线的距离是解答本题的关键。 2．如图所示，计划在河边的A，B，C，D处，引水到P处，从何处引水，能使所用的水管最短（　　） A．D处 B．C处 C．B处 D．A处 【答案】C 【解析】解：， 由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短． 故答案为：C． 【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 3．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由垂线段最短可知，，即 . 故选：C． 【分析】根据"垂线段最短"进行解答即可. 4．如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段的长度，其依据是(　　) A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】解： 在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段的长度，其依据是： 垂线段最短 . 故答案为：A. 【分析】根据垂线段最短及跳远比赛的规则即可求解. 5．点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（　　） A．3 B．4.5 C．5 D．7 【答案】A 【解析】解：当时，点P到直线l的距离为： 当PA不垂直l时，点P到直线l的距离小于PA， ∴点P到直线l的距离可能是3， 故答案为：A. 【分析】根据点到直线的距离和垂线段最短即可得到点P到直线l的距离小于PA，进而即可求解. 6．如图，，，则点B到直线的距离是线段（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【解析】解：∵BC⊥AC， ∴ 点B到直线的距离是线段BC的长. 故答案为：B. 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断即可. 7．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】根据垂线定义可求得∠COE=90°，进而根据∠AOC=∠COE-∠AOE求得∠AOC的度数，再根据邻补角可求出∠BOC的度数． 8．如图，已知，垂足为点，图中与的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】解：由题意得∠1=∠AOE， ∵∠2＋∠AOE=90°， ∴， 故答案为：B 【分析】先根据对顶角的性质即可得到∠1=∠AOE，进而根据垂直的性质即可求解。 二、填空题 9．如图，从直线外一点向引三条线段、、，其中最短的线段为　 　． 【答案】PB 【解析】解：∵PB⊥l ∴从直线l外一点P向l引三条线段PA、PB、PC，其中最短的线段为PB. 故答案为：PB. 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短即可得出答案. 10．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是　 　． 【答案】垂线段最短 【解析】解：由题意得将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短。 故答案为：垂线段最短 【分析】根据垂线段最短的定义结合题意即可求解。 11．如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1=35°时，则∠2=　 　. 【答案】35°或145° 【解析】解：第一种情况，如图： ∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠1+∠BOC=90°，∠2+∠BOC=90°， ∴∠1=∠2=35°， 第二种情况，如图：∠COD=∠2， ∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠1+∠BOC=90°，∠1+∠AOD=90°， ∴∠BOC=∠AOD=90°-∠1=55°， ∴∠2=∠COD=∠1+∠BOC+∠AOD=35°+55°+55°=145°． 故答案为：35°或145°． 【分析】根据题意画出图形，分别求解即可. 12．如图，已知直线与直线相交于点，，，则　 　. 【答案】 【解析】解：， ∴∠COE=30° ． 故答案为：． 【分析】先根据得到，再根据，求出，最后根据求出答案即可． 13．如图，直线AB与CD相交于点O，，，则等于　 　． 【答案】 【解析】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴（对顶角相等）， 故答案为：． 【分析】根据垂直的定义得出，然后根据对顶角相等即可求解． 三、解答题 14． 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.(画图后说明依据) 【答案】（1）解：连接，，交于点，则为所求的蓄水池点，如图所示， （2）解：过作于，沿开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短” 【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，故连接AD，BC，交于点H，则H为所求的蓄水池点； （2）根据垂线段最短作出即可. 15．如图，已知直线与交于点，，且. （1）求的度数； （2）过点在上方作射线，若，求的度数. 【答案】（1）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）利用 和可求出度数，根据对顶角相等可知度数，从而求出 的度数； （2）根据度数和 可求出度数，从而求出 的度数. 16．如图，直线，相交于点，． （1）若，，则　 　； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求和的度数． 【答案】（1） （2）解：． 理由： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 【解析】（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM=90°，即得∠1+∠AOC=90°， ∵∠1=∠2=20°， ∴∠CON=∠1+∠AOC=90°， ∴∠DON=180°-∠CON=90°， 故答案为：90°. 【分析】（1）由垂直的定义可得∠AOM=∠1+∠AOC=90°，利用等量代换可得∠CON=∠1+∠AOC=90°，利用邻补角的定义可得∠DON=180°-∠CON=90°； （2） ．理由：同（1）方法证明即可； （3）由垂直的定义可得， 由=，可求出∠1=30°，从而得出∠AOC=60°，由对顶角相等可得， 利用角的和差即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.2 两条直线垂直 1.理解垂线的有关概念、性质及画法。（重点） 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题。（重点） 知识点一：垂直、垂线、垂足的概念 （1）一般地，当两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说 a 与 b 互相垂直。记作“a⊥b”。 （2）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 如图所示，AB 是 CD 的垂线或 CD 是 AB 的垂线；垂足是 O 。 知识点二：垂线的画法及基本事实 （1）垂线的画法：一放二靠三移四画。 （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 知识点三：垂线段 （1）垂线段的定义：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段。 （2）垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 例如：线段 PO 的长度叫作点到直线的距离。 知识点四：垂线段性质的实际应用 （1）解决这类最短距离问题时，要先判断是点到点的距离还是点到直线的距离，再依据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”作图。 一、选择题 1． 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，计划在河边的A，B，C，D处，引水到P处，从何处引水，能使所用的水管最短（　　） A．D处 B．C处 C．B处 D．A处 3．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段的长度，其依据是(　　) A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（　　） A．3 B．4.5 C．5 D．7 6．如图，，，则点B到直线的距离是线段（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 7．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知，垂足为点，图中与的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 9．如图，从直线外一点向引三条线段、、，其中最短的线段为　 　． 10．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是　 　． 11．如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1=35°时，则∠2=　 　. 12．如图，已知直线与直线相交于点，，，则　 　. 13．如图，直线AB与CD相交于点O，，，则等于　 　． 三、解答题 14． 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.(画图后说明依据) 15．如图，已知直线与交于点，，且. （1）求的度数； （2）过点在上方作射线，若，求的度数. 16．如图，直线，相交于点，． （1）若，，则　 　； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求和的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$