第2讲 数形结合思想-【金版教程】2025年高考数学大二轮专题复习冲刺方案课件PPT（经典版）

第一编　基本思想方法 第2讲　数形结合思想 「思想方法解读」　数形结合思想是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化． 数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题． 热点题型探究 例1　(2024·广东湛江二模)已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　　) A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点 B．当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点 C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点 热点1　数形结合化解方程、函数零点问题 解析：两个函数的零点个数转化为y＝|2x－1|和y＝x2－4|x|＋2的图象与直线y＝a的公共点的个数，作出y＝|2x－1|，y＝x2－4|x|＋2的大致图象，如图所示．由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点；当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点．故选D. 热点题型探究 4 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先根据方程两边的代数式构造两个熟悉的函数(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数． 热点题型探究 5 (0，1] 解析：由题意，f(x)的图象如图所示．因为[f(x)]2－ (2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，设f(x)＝t， 则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不等实根t1＝m， t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2.当1≤t1<2，t2 ＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1 ≤m＋1<2，解得m∈(0，1)．综上，实数m的取值范围为(0，1]． 热点题型探究 6 解析：由题意可作出函数y＝|f(x)|和y＝ax的图象，如图所示．由图可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，直线l是f(x)在原点处的切线，当直线y＝ax介于l与x轴之间时符合题意，在原点且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，故直线l的斜率为－2，所以a的取值范围是[－2，0]． 热点2　数形结合化解不等式问题 热点题型探究 7 数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式． 热点题型探究 8 热点题型探究 9 热点题型探究 10 热点3　数形结合化解平面向量问题 热点题型探究 11 热点题型探究 12 (2)已知a，b是单位向量，且a·b＝0，若向量c满足|c－a－2b|＝1，则|c|的最大值是__________． 热点题型探究 13 热点题型探究 14 热点题型探究 15 1．已知a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　) A．a⊥e B．a⊥(a－e) C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e) 热点题型探究 16 热点题型探究 17 热点4　数形结合化解圆锥曲线问题 热点题型探究 18 热点题型探究 19 解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，所以数形结合在解决圆锥曲线问题中是一个常用方法．利用图形，根据圆锥曲线的定义以及几何性质，可以更好地找到相关线段、角、图形之间的关系，减少运算过程，从而快速解题． 热点题型探究 20 热点题型探究 21 热点题型探究 22 　　　　　　　　　　　　　 R (2024·辽宁省实验中学模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lg x|，x>0，,－x2－2x＋1，x≤0，))且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为________． 例2　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,ln （x＋1），x>0，))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] (2024·吉林长春模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋x2是奇函数，f(x)－x是偶函数，设函数g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x∈[0，1]，,2g（x－1），x∈（1，＋∞）.))若对任意x∈[0，m]，g(x)≤3恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．eq \f(13,3) B．eq \f(17,4) C．eq \f(9,2) D．eq \f(13,4) 解析：因为f(x)＋x2是奇函数，f(x)－x是偶函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－x）＋（－x）2＝－f（x）－x2，,f（－x）＋x＝f（x）－x，))解得f(x)＝x－x2，又g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x∈[0，1]，,2g（x－1），x∈（1，＋∞），))当x∈(1，2)时，x－1∈(0，1)，所以g(x)＝2g(x－1)＝2f(x－1)，同理，当x∈(2，3)时，g(x)＝2g(x－1)＝4g(x－2)＝4f(x－2)，以此类推，可以得到g(x)的图象如图所示，由此可得，当x∈(4，5)时，g(x)＝16f(x－4)，由g(x)≤3，得16(x－4)(5－x)≤3，解得x≤eq \f(17,4)或x≥eq \f(19,4)，又因为对任意x∈[0，m]，g(x)≤3恒成立，所以0<m≤eq \f(17,4)，所以实数m的最大值为eq \f(17,4).故选B. 例3　(1)(2024·湖北武汉四调)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则eq \o(PA,\s\up14(→))·eq \o(PB,\s\up14(→))的最大值为(　　) A．2 B．eq \f(11,4) C．3 D．eq \f(13,4) 解析：如图所示，分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR，BD，QD，则QA＝QB＝eq \f(1,2)，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos120°＝3，即BD＝eq \r(3)，所以QD＝eq \r(QB2＋BD2)＝eq \r(\f(1,4)＋3)＝eq \f(\r(13),2)，由图可知，当点P运动到点D或点E处时，PQ最大，所以eq \o(PA,\s\up14(→))·eq \o(PB,\s\up14(→))＝(eq \o(PQ,\s\up14(→))＋eq \o(QA,\s\up14(→)))·(eq \o(PQ,\s\up14(→))＋eq \o(QB,\s\up14(→)))＝(eq \o(PQ,\s\up14(→))＋eq \o(QA,\s\up14(→)))·(eq \o(PQ,\s\up14(→))－eq \o(QA,\s\up14(→)))＝eq \o(PQ,\s\up14(→))2－eq \o(QA,\s\up14(→))2＝eq \o(PQ,\s\up14(→))2－eq \f(1,4)≤eq \o(QD,\s\up14(→))2－eq \f(1,4)＝3，所以eq \o(PA,\s\up14(→))·eq \o(PB,\s\up14(→))的最大值为3.故选C. 解析：由a·b＝0，得a⊥b，建立如图所示的平面直角坐标系，设eq \o(OA,\s\up14(→))＝a＝(1，0)，eq \o(OB,\s\up14(→))＝b＝(0，1)，c＝eq \o(OC,\s\up14(→))＝(x，y)，由|c－a－2b|＝1，得(x－1)2＋(y－2)2＝1，所以点C在以Q(1，2)为圆心，1为半径的圆上，所以|c|max＝|OQ|＋1＝eq \r(5)＋1. eq \r(5)＋1 1．向量本身具有数和形两个特点，数形结合是求解向量问题的常用方法，需要熟练掌握常见的模型 设eq \o(OA,\s\up14(→))＝a，eq \o(OB,\s\up14(→))＝b，eq \o(OC,\s\up14(→))＝c. 模型一：a＋b，a－b分别表示平行四边形的两条对角线 模型二：|c－(b＋a)|＝m模型 模型三：(a－c)·(b－c)＝0模型 2．涉及数量积的范围或最值问题时，可考虑数量积的几何意义及向量的极化恒等式，将数与形完美结合起来，借助图形的直观性，减少数学运算． 解析：如图，设eq \o(OA,\s\up14(→))＝a，eq \o(OE,\s\up14(→))＝e，则|eq \o(EA,\s\up14(→))|＝|a－e|，|a－te|表示连接点A与直线OE上的点的线段的长度d，由题意，|eq \o(EA,\s\up14(→))|为d的最小值，此时eq \o(EA,\s\up14(→))⊥eq \o(OE,\s\up14(→))，即e⊥(a－e)．故选C. 2．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(2b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．eq \r(2) B．2 C．eq \r(5) D．eq \f(\r(5),2) 解析：如图，设eq \o(OA,\s\up14(→))＝a，eq \o(OB,\s\up14(→))＝b，eq \o(OE,\s\up14(→))＝2b，eq \o(OC,\s\up14(→))＝c，则a－c＝eq \o(CA,\s\up14(→))，2b－c＝eq \o(CE,\s\up14(→))，因为(a－c)·(2b－c)＝0，故eq \o(CA,\s\up14(→))·eq \o(CE,\s\up14(→))＝0，故eq \o(CA,\s\up14(→))⊥eq \o(CE,\s\up14(→))，所以点C在以AE为直径的圆上，故|c|的最大值为圆的直径，即|AE|＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).故选C. 例4　已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为________． 3eq \r(2)－5 解析：如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E三点共线且N在ME之间时，等号成立，∴|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5，当且仅当M，N，E，F2四点共线且M，N在EF2之间时，等号成立．∵F2(1，0)，E(4，3)，则|EF2|＝eq \r(（4－1）2＋（3－0）2)＝3eq \r(2)，∴|MN|－|MF1|的最小值为3eq \r(2)－5. 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M，N分别为C的渐近线和左支上的动点，且|MN|＋|NF2|的最小值恰为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________． eq \r(5) 解析：由双曲线的定义得|NF2|－|NF1|＝2a，所以|NF2|＝2a＋|NF1|，于是|MN|＋|NF2|＝|MN|＋|NF1|＋2a.如图，当M，N，F1三点共线，且F1M与点M所在的渐近线垂直时，|MN|＋|NF1|取得最小值，其最小值就是F1到渐近线的距离d，又C的渐近线方程为bx±ay＝0，所以d＝eq \f(|－bc|,\r(a2＋b2))＝b，故|MN|＋|NF1|的最小值为b，从而|MN|＋|NF2|的最小值为b＋2a，由题设知b＋2a＝4a，所以b＝2a，所以e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(5). $$