第六章 平面向量及其应用章末总结-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 知识点一 平面向量的概念 1.向量的概念 ：既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作. 2.常见向量的概念 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作 知识点二 平面向量的运算 1. 向量的加法：三角形法则、平行四边形法则 2.向量的减法 3 向量数乘运算 ：一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反； 4. 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 知识点三 平面向量的数量积 1.概念：如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即规定：零向量与任一向量的数量积是. 2.投影：向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 知识点四 平面向量的基本定理及坐标表示 （一）平面向量的基本定理 1.平面向量的基本定理：设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 .我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 2.向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，就是以原点为起点，点为终点的向量. 知识点五 平面向量数乘运算与数量积的坐标表示 1.坐标运算 设，则 (1)向量的模 (2)向量的加减法运算 ， (3)若，，则  (4)实数与向量的积 (5)数量积 (6)夹角余弦值 （7）. 知识点六 正余弦定理 （一）正弦定理： 1.公式： (其中是三角形外接圆半径) 2.变形 化边为角 化角为边 3.三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 4.面积公式 ： （二）余弦定理 1.余弦定理： 2.变形 ： 3.三角形类型的判断 ； ； . 考点一 平面向量的概念辨析 【例1-1】（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【例1-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）（多选）下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【例1-3】（24-25湖北随州·期末）（多选）下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线 D．若，，则 考点二 平面向量的坐标运算 【例2-1】（24-25高三上·广东·期末）（多选）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25 广东惠州·阶段练习）（多选）向量则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，在上的投影向量为 D．当时，的夹角为钝角 【例2-3】（24-25 福建宁德·阶段练习）（多选）已知向量，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则或1 B．若，则或 C．若，则或3 D．若，则向量夹角的余弦值为 【例2-4】（24-25 黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）已知向量，则下列命题正确的是（   ） A．存在，使得 B．当时，与垂直 C．对任意，都有 D．当时， 考点三 平面向量的基本定理 【例3-1】（24-25 浙江杭州·期末）如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【例3-2】（24-25高一上·河北·阶段练习）（多选）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2025高一·全国·专题练习）（多选）设是内部的一点，以下可能成立的是（     ） A． B． C． D． 【例3-4】（2024河南 ）已知D，E分别为的边AB，BC上的点，且，，CD与AE相交于点O，若，则 ． 【例3-5】（2023·天津红桥 ）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 考点四 数量积运算 【例4-1】（2025·广东）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【4-2】．（2024上·江西赣州 ）己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】．（2023上·云南楚雄 ）（多选）设非零向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例4-4】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）（多选）已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 考点五 正余弦定理 【例5-1】（2025届筑梦杯第四次线上联考数学试题）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 【例5-2】（2024山东烟台·期末）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为 【例5-3】（24-2 北京·阶段练习）在中，． (1)求B； (2)若求边a以及的面积． 【例5-4】．（河南省漯河市2024-2025学年 上学期期末质量监测数学试题）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若是的一条内角平分线，，，求的周长． 【例5-5】．（24-25 北京昌平·期末）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用 知识点一 平面向量的概念 1.向量的概念 ：既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作. 2.常见向量的概念 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作 知识点二 平面向量的运算 1. 向量的加法：三角形法则、平行四边形法则 2.向量的减法 3 向量数乘运算 ：一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反； 4. 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 知识点三 平面向量的数量积 1.概念：如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即规定：零向量与任一向量的数量积是. 2.投影：向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 知识点四 平面向量的基本定理及坐标表示 （一）平面向量的基本定理 1.平面向量的基本定理：设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 .我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 2.向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，就是以原点为起点，点为终点的向量. 知识点五 平面向量数乘运算与数量积的坐标表示 1.坐标运算 设，则 (1)向量的模 (2)向量的加减法运算 ， (3)若，，则  (4)实数与向量的积 (5)数量积 (6)夹角余弦值 （7）. 知识点六 正余弦定理 （一）正弦定理： 1.公式： (其中是三角形外接圆半径) 2.变形 化边为角 化角为边 3.三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 4.面积公式 ： （二）余弦定理 1.余弦定理： 2.变形 ： 3.三角形类型的判断 ； ； . 考点一 平面向量的概念辨析 【例1-1】（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】BC 【解析】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误， 对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确， 对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确， 对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误， 故选：BC. 【例1-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）（多选）下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【解析】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 【例1-3】（24-25湖北随州·期末）（多选）下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线 D．若，，则 【答案】BCD 【解析】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B.由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确； D.由向量相等的定义知D正确；故选：BCD. 考点二 平面向量的坐标运算 【例2-1】（24-25高三上·广东·期末）（多选）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，， 对于A，因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B，因为，，所以，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以， ，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，所以，故D正确． 故选：BCD． 【例2-2】（24-25 广东惠州·阶段练习）（多选）向量则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，在上的投影向量为 D．当时，的夹角为钝角 【答案】BC 【解析】对于A，当时，因，则两向量不平行，故A错误； 对于B，当时，， 又，所以，故B正确； 对于C，当时， 则在上的投影向量为，故C正确； 对于D，当时，反向共线，故D错误； 故选：BC. 【例2-3】（24-25 福建宁德·阶段练习）（多选）已知向量，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则或1 B．若，则或 C．若，则或3 D．若，则向量夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】A选项，若，根据向量共线的条件，，即，解得则或1，A选项正确； B选项，若，则，解得或，B选项错误； C选项，若，则，解得或3，C选项正确； D选项，若，，向量夹角的余弦值为，D选项错误. 故选：AC 【例2-4】（24-25 黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）已知向量，则下列命题正确的是（   ） A．存在，使得 B．当时，与垂直 C．对任意，都有 D．当时， 【答案】BD 【解析】对于A，若，则，由于， 故不存在，使得，A错误， 对于B，当时，此时， 故与垂直，B正确， 对于C，，当时，此时，故C错误， 对于D，当，则， 且为锐角满足，故, ，故D正确 故选：BD 考点三 平面向量的基本定理 【例3-1】（24-25 浙江杭州·期末）如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 【例3-2】（24-25高一上·河北·阶段练习）（多选）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，则，所以，易知，所以， 由点F是上靠近点D的四等分点，则， . 故选：AC. 【例3-3】（2025高一·全国·专题练习）（多选）设是内部的一点，以下可能成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】若 ，且，则在直线上， 对于选项A，因为且，所以点在内部，因而选项A符合题意； 对于选项B，因为，且，所以点在外部，选项B不符合题意； 对于选项C，因为，且， 所以点在内部，故选项C符合题意； 对于选项D，，此时点落在外部，故选项D不符合题意， 故选：AC. 【例3-4】（2024河南 ）已知D，E分别为的边AB，BC上的点，且，，CD与AE相交于点O，若，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意，为边AB的靠近点的三等分点，为边的中点， 如图，取DB的中点F，连接EF，则，， 所以， 因为，所以，，所以．故答案为： 【例3-5】（2023·天津红桥 ）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 考点四 数量积运算 【例4-1】（2025·广东）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 【4-2】．（2024上·江西赣州 ）己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，所以， 则在上的投影向量为. 故选：D 【例4-3】．（2023上·云南楚雄 ）（多选）设非零向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，所以， 即，所以，A错误，B正确. 因为，所以，所以，C正确，D错误. 故选：BC. 【例4-4】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）（多选）已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】AC 【解析】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以，， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错. 故选：AC. 考点五 正余弦定理 【例5-1】（2025届筑梦杯第四次线上联考数学试题）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 【答案】ABC 【解析】由，可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，故A正确； 若的周长为6，内切圆半径为，所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，解得， 所以，又，解得，所以为正三角形，故B正确； 当时，满足，有两解， 所以，即，有两解，故C正确； ， 又，即，又， 所以，解得或， 所以，故D错误； 故选：ABC. 【例5-2】（2024山东烟台·期末）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为 【答案】ACD 【解析】对A，因为在中， 所以 ，解得， 所以根据正弦定理知，故A正确； 对B，易知角C为最大角，则， ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则， 所以，即， 又，所以，所以 ，故C正确； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确； 故选：ACD. 【例5-3】（24-2 北京·阶段练习）在中，． (1)求B； (2)若求边a以及的面积． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）由正弦定理得 ， 又 ， 所以 ， 即 ， ， 得 ，所以 . （2）由余弦定理 得 即 ， 解得 或 (舍)， 所以 【例5-4】．（河南省漯河市2024-2025学年 上学期期末质量监测数学试题）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若是的一条内角平分线，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知及正弦定理：， ， ， ，. （2）在中，由， 可得：， 又平分，则， 所以， 整理得①． 又由余弦定理，可得，即， 则有②， 由①②解得：或（舍）， 所以的周长为. 【例5-5】．（24-25 北京昌平·期末）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）因为， 由正弦定理，得. 因为在中，，所以. 所以. 因为，所以. （2）选条件①：， 则，即，解得， 故无解，所以不存在； 选条件②：， 由余弦定理，得. 解得或. 当时，. 当时，.       条件③：， 因为，所以为钝角，所以. 由，得. 因为 ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$