第六章 平面向量及其应用章末测试（提升卷）-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用（提升卷） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（24-25河南省）已知向量为单位向量，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024上海）下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 3．（广东省华附、省实、广雅、深中四校2025届高三上学期期末联考数学试题）已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 4．（24-25 湖南·开学考试）已知非零向量满足，且，则（ ） A． B． C．1 D． 5．（2025·陕西咸阳 ）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 6．（24-2 ·广东湛江 ）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 7．（2024广东深圳·阶段练习）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（24-25 福建泉州·期末）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 10．（2025海南）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 11．（2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 13．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则面积S的取值范围 . 14．（24-25 黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（24-25 江苏·阶段练习）（13分）记为的内角的对边，已知，，的面积为． (1)求角B的大小； (2)求AC边上的高． 16．（24-25湖南长沙·开学考试）（15分）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，且，求的面积． 17．（24-25 山西太原·期末）（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 18．（山西省吕梁市2024-2025学年）（17分）记的内角的对边分别为，已知为锐角． (1)求证：； (2)求； (3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值． 19．（24-25 重庆北碚·期末）（17分）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)已知，，. ①求； ②若的平分线交于点，求线段的长； (2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且，求的取值范围； (3)若，令，试求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用（提升卷） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（24-25河南省）已知向量为单位向量，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 由，得，则， 而为单位向量，所以. 故选：C 2．（2024上海）下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【答案】A 【解析】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 3．（广东省华附、省实、广雅、深中四校2025届高三上学期期末联考数学试题）已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25 湖南·开学考试）已知非零向量满足，且，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由题意得，两边平方得， 整理得，由向量数量积的公式得， 而，故， 因为，所以，即，故B正确. 故选：B 5．（2025·陕西咸阳 ）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 所以，即， 所以，，则， 由， 又，则， 所以，则. 故选：D 6．（24-2 ·广东湛江 ）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 7．（2024广东深圳·阶段练习）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合， 为的外心，，即为斜边的中点， 又为中点，， 为中点， ． 故选：． 8．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解析】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（24-25 福建泉州·期末）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 【答案】BCD 【解析】因为向量，， 对于A选项，若，则，可得， 故，A错； 对于B选项，因为，在上的投影为， 因为，则，即向量与的夹角为，B对； 对于C选项，若，则、方向相同， 所以，，解得， 故当时，，C对； 对于D选项，， 其中为锐角，且，故的最大值为，D对. 故选：BCD. 10．（2025海南）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 11．（2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 【答案】ABC 【解析】由，可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，故A正确； 若的周长为6，内切圆半径为，所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，解得， 所以，又，解得，所以为正三角形，故B正确； 当时，满足，有两解， 所以，即，有两解，故C正确； ， 又，即，又， 所以，解得或， 所以，故D错误； 故选：ABC. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】/ 【解析】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 13．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则面积S的取值范围 . 【答案】 【解析】因为，所以由正弦定理有，整理得， 所以由余弦定理有，又，所以， 又，所以由正弦定理有， 因为为锐角三角形，所以且，所以， 所以，则，所以，即， 所以. 故答案为：. 14．（24-25 黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（24-25 江苏·阶段练习）（13分）记为的内角的对边，已知，，的面积为． (1)求角B的大小； (2)求AC边上的高． 【答案】(1) (2). 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 而，因此，而，所以. （2）由（1）知，，而，的面积为， 则，解得， 由余弦定理得， 所以AC边上的高. 16．（24-25湖南长沙·开学考试）（15分）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由，即， 所以， 而， 又，且， 所以，显然， 所以，而，则. （2）由（1）知，则， 所以，故，， 则，， 所以. 17．（24-25 山西太原·期末）（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1），， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，， 或， 当时，则，，，，成立， 综上所述，成立. （2）由（1）得，，， 由正弦定理可得， ，是锐角三角形，， ，的取值范围为 18．（山西省吕梁市2024-2025学年）（17分）记的内角的对边分别为，已知为锐角． (1)求证：； (2)求； (3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）因为，由正弦定理， 得， 所以． （2）因为，所以， 即 所以， 由得， 所以，所以或， 因为为锐角，所以． （3）法一：在中， 所以， 由， 得， 所以，（等号当时取得）． 所以面积为， 即所求最大值为． 法二：在四边形的外接圆内考虑，因为 则的外接圆直径为， 是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大， 此时最大距离为圆心到距离加半径2， 在直角三角形中可知，圆心到距离为， 所以高的最大值为， 所以面积的最大值为． 19．（24-25 重庆北碚·期末）（17分）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)已知，，. ①求； ②若的平分线交于点，求线段的长； (2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且，求的取值范围； (3)若，令，试求的最大值. 【答案】(1); (2) (3) 【解析】（1）①因为， 所以， 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以； ②又因为，所以， 即，解得，设边上的角平分线长为， 则， 即， 即，解得，即边上的角平分线长为； （2）延长交于，延长交于， 设，所以， 在Rt中，， 在中，，所以， 在Rt中，， 同理可得在Rt中，， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． （3）由余弦定理，， 所以， 所以 ， ， 所以．当且仅当， 即时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$