第六章 平面向量及其应用章末测试（基础卷）-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用（基础卷） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（24-25北京·阶段练习）在中，为边上的中线，为的中点.则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 3（24-25 北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25 黑龙江哈尔滨 ）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25 福建福州·开学考试）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2024 黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024江西 ）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为 A．1 B． C． D． 8．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（24-25高一下·全国·课后作业） 如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 10．（24-25 贵州 ）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 11．（2024吉林长春·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（    ） A．当时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，，则为等腰直角三角形 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 13．（24-25 黑龙江 ）若单位向量，满足，则向量与的夹角为 ． 14．（24-25 四川巴中 ）设的内角的对边分别为，若，则 ． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）（13分）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 16．（2025·江苏苏州 ）（15分）△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的值. 17．（24-25 辽宁葫芦岛 ）（15分）记的内角的对边分别是，且． (1)求； (2)点在上，平分，且，求． 18．（2024浙江丽水·期末）（17分）已知向量，，记函数. （1）求函数在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的最小值. 19（山西省吕梁市2024-2025学年 ）（17分）记的内角的对边分别为，已知为锐角． (1)求证：； (2)求； (3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用（基础卷） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（24-25北京·阶段练习）在中，为边上的中线，为的中点.则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为边上的中线，所以， 又因为为的中点，所以 ， 故选：A. 2．（23-24高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C 3（24-25 北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．（24-25 黑龙江哈尔滨 ）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】∵，∴，即，故， ∵，∴， ∵，∴，故，即， ∴，，∴. 故选：D. 5．（24-25 福建福州·开学考试）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 即， 所以， 所以， ∴， 故选：B. 6．（2024 黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 7．（2024江西 ）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为 A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】, , . ,, 向量在向量上的投影的数量为. 故选：D. 8．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解析】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（24-25高一下·全国·课后作业） 如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】AB 【解析】向量与向量互为相反向量，方向相反，所以，故A正确； 两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故B正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故C错误； 若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D在同一条直线上或直线AB与直线CD平行；故D错误. 故选:AB． 10．（24-25 贵州 ）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 【答案】ACD 【解析】对于A，若，可以作为基底，则与不共线， 当与共线时，，，故，可以作为基底时，，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，若，则，，故C正确； 对于D，，，或，故D正确. 故选：ACD 11．（2024吉林长春·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（    ） A．当时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，，则为等腰直角三角形 【答案】BD 【解析】对于Ａ，，无解，故A错误； 对于B,根据已知条件，由正弦定理得：, 不妨令,则,最大角的余弦值为：, ∴，故B正确； 对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误； 对于D,,得到, 又 , , 为等腰直角三角形，故D正确. 故选：BD. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】/ 【解析】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 13．（24-25 黑龙江 ）若单位向量，满足，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【解析】由可得， 故，故， 由于，故， 故答案为：. 14．（24-25 四川巴中 ）设的内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】 【解析】由可得， 由正弦定理可得，即； 又在中，,所以，即； 所以.故答案为： 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）（13分）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 16．（2025·江苏苏州 ）（15分）△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以，即， 所以， 因为，所以 （2）因为，所以，即，所以， 由（1）知，所以 又，所以，解得， 所以△ABC的周长为， 所以△ABC的周长为. 17．（24-25 辽宁葫芦岛 ）（15分）记的内角的对边分别是，且． (1)求； (2)点在上，平分，且，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以， 又因为，所以． （2）解法一： 如图，由题意可知， 因为， 所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 解法二： 如图，由题意可知， 因为， 所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 在中，由余弦定理得， 解得，所以，即. 18．（2024浙江丽水·期末）（17分）已知向量，，记函数. （1）求函数在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1） 则∵， ∴的取值范围为. （2）因为为偶函数， 所以 因此当时. 19（山西省吕梁市2024-2025学年 ）（17分）记的内角的对边分别为，已知为锐角． (1)求证：； (2)求； (3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）因为，由正弦定理， 得， 所以． （2）因为，所以， 即 所以， 由得， 所以，所以或， 因为为锐角，所以． （3）法一：在中， 所以， 由， 得， 所以，（等号当时取得）． 所以面积为， 即所求最大值为． 法二：在四边形的外接圆内考虑，因为 则的外接圆直径为， 是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大， 此时最大距离为圆心到距离加半径2， 在直角三角形中可知，圆心到距离为， 所以高的最大值为， 所以面积的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$