6.5 正余弦定理的应用-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

6.5 正余弦定理的应用 考点一 距离、高度和角度的测量 【例1-1】（2024河北）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【一隅三反】 1．（2025北京）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 4．（24-25山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 考点二 几何中的正余弦定理 【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【一隅三反】 1．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 2．（2024湖北）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 4．（24-25 江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 考点三 正余弦定理与三角函数性质的综合 【例3】（2024重庆沙坪坝·阶段练习）设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【一隅三反】 1．（2024·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 2．（2024·上海闵行 ）已知函． （1）当的最小正周期为时，求的值; （2）当时，设的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知，且，，求的面积． 3．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 考点四 三角形中的边长与周长中的最值 【例4-1】（2024·广东韶关）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【例4-2】（24-25 河北·阶段练习）在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 【一隅三反】 1．（24-25安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 2．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 3．（2025·湖南永州 ）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 考点五 三角形面积的最值 【例5-1】（24-25 贵州遵义 ）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【例5-2】（24-25湖南长沙）在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【一隅三反】 1．（23-24 云南曲靖·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 在中，内角、、的对边分别是、、，且满足 （填条件序号）. (1)求角； (2)，求的最大值. 注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 2．（24-25 ·贵州黔南 ）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 考点六 角平分线与中线问题 【例6-1】（2024江苏南通）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 (1)求角A的大小； (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 若，，点D是BC边上的一点，且______. 求线段AD的长. ①AD是的高；②AD是的中线；③AD是的角平分线. 【例6-2】（23-24 ·云南保山 ）记的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求的大小； (2)为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值. 条件①：为的角平分线；条件②：为边上的中线. 【一隅三反】 1．（2024湖北宜昌 ）如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求线段的长； （2）求的面积． 2．（2024新疆昌吉）如图，在中，内角的对边分别为.已知，，，且为边上的中线，为的角平分线. （1）求线段的长； （2）求的面积. 3．（2024福建·期中）已知中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A； (2)设点D为上BC一点，且AD=2，证明：若 ，则存在最大值或最小值；请在下面的两个条件中选择一个填到上面的横线上，并证明. ①AD是的中线； ②AD是的角平分线. 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25 山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025湖北）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024福建三明 ）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25 河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 9．（23-24 ·福建泉州 ）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25 宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A．是钝角三角形 B． C． D． 11．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．四边形的面积为 D． 12．（24-25 ·山东聊城·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 13．（2024·四川成都 ）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 14．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 15．（23-24高一下·重庆·期末）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 16．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（   ） A．的面积最大值为 B．的取值范围为 C．的值可能为3 D．的最小值为 三、填空题 17．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 18．（24-25 山东青岛·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.    19．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ． 20．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 21．（24-25 天津·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 22．（2024·陕西安康 ）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .    四、解答题 23．（24-25 河南·阶段练习）在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求. 24．（2024·江西新余 ）如图，在四边形中，，，，，. (1)求； (2)求四边形的面积. 25．（24-25 辽宁·期末）在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 26．（24-25 河北沧州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积是，求的值． 27．（24-25 江苏南京·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围. 28．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 29．（23-24高一下·江苏无锡·期中）从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答． 在中，三边分别是角的对边， 若______. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值． 30．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 31．（2024·北京 ）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 32．（2024·陕西）如图，已知平面四边形中，． (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值． 33．（2025浙江温州 ）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 34．（2024四川成都·期中）已知向量，，函数. （1）求函数的零点； （2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.5 正余弦定理的应用 考点一 距离、高度和角度的测量 【例1-1】（2024河北）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，， 气球的高度是，所以，，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以． 故选：C 【例1-2】（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【答案】D 【解析】由，，得， 故米，由得， 在中由余弦定理可得， 解得米， 故米， 由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得， 故米， 故楼高米. 故选：. 【一隅三反】 1．（2025北京）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，在中，延长DC与AB的延长线交于点E. 由已知得，， 则，则，， 设，则， 又，则在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 又因为，所以. 故选：C 2．（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得， 即， 所以. 故选：. 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解析】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 4．（24-25山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 考点二 几何中的正余弦定理 【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，又， 所以．在中，由余弦定理得： ， 所以. （2）在中，由正弦定理得，即， 解得，又，所以， 所以， ， ，故． 2．（2024湖北）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，且，解得，． 而，所以， 所以 因为，所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 4．（24-25 江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 考点三 正余弦定理与三角函数性质的综合 【例3】（2024重庆沙坪坝·阶段练习）设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题设，， 所以，当时的最小值为. （2）由，得：，则，又， 所以，故，则. 由，可得：. 在△中，由余弦定理得：， 所以. 由，则. 【一隅三反】 1．（2024·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）据图象可得，故， 由得：． 由得：． 由知，， ，解得， ； （2），， ，， ，， 由题意得的面积为，解得， 由余弦定理得，解得：. 2．（2024·上海闵行 ）已知函． （1）当的最小正周期为时，求的值; （2）当时，设的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知，且，，求的面积． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）函数. ∴f（x）＝3×＝sin（2ωx+）+， 当f（x）的最小正周期为2π时，＝2π，解得ω＝； （2）当ω＝1时，，∴sin（2×）+＝3，又A为三角形的内角，解得A＝. 且，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴c2﹣6c+8＝0，解得c＝2或4. ∴△ABC的面积S＝bcsinA＝3或6. 3．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 考点四 三角形中的边长与周长中的最值 【例4-1】（2024·广东韶关）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)(2)最大值为6 【解析】（1）由b及正弦定理得 所以 因为 化简得 因为，所以，所以 所以. （2）法一：由余弦定理 有 因为 所以 即，所以，当且仅当时等号成立. 所以的周长. 即周长的最大值为6. 法二：由正弦定理，即 的周长 因为，所以 所以 因为，所以当时取得最大值为6 法三：（几何法）：如图1所示，延长到点，使得 使得， 要使的周长最大，则需满足长度最大 将问题转化为已知一边，一对角，求另一边的长度的最大值 由图2可得.当为该圆直径时，最大. 即 所以.    【例4-2】（24-25 河北·阶段练习）在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，所以， 由， 可得：，即， 又，所以， 所以，， 所以， 所以△的外接圆半径为. （2）由（1）知，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 【一隅三反】 1．（24-25安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题， 因为，所以． （2）由（1）， （当且仅当时取等号） 则，又，则． 2．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 3．（2025·湖南永州 ）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 考点五 三角形面积的最值 【例5-1】（24-25 贵州遵义 ）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 【例5-2】（24-25湖南长沙）在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由正弦定理得：，即，， ，，又； （2）由正弦定理得：,, ，在锐角中：，解得：， ，,，则. 【一隅三反】 1．（23-24 云南曲靖·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 在中，内角、、的对边分别是、、，且满足 （填条件序号）. (1)求角； (2)，求的最大值. 注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【答案】(1)选①或②或③，(2) 【解析】（1）解：若选①，因为，由正弦定理可得， 因为、，则，，所以，， 所以，，故； 若选②，因为， 由正弦定理可得， 所以，，由余弦定理可得， 因为，故； 若选③，因为， 由正弦定理可得 ， 所以，， 因为、，则，则， 即，可得， 因为，则， 所以，，故. （2）解：因为，由余弦定理可得， 由基本不等式可得，即， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 2．（24-25 ·贵州黔南 ）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析，(2) 【解析】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【答案】(1). (2)①；② 【解析】（1）（1）在 中, ,所以 ， 因为 ,所以即 是直角三角形, 所以 （2）①在 中, 由余弦定理知, 所以 即 ，当且仅当 时，等号成立, 所以 面积 故 面积的最大值为 . ②在 中, 由正弦定理知 所以 因为 为锐角三角形,所以 , 解得 , 所以 ,所以 , 所以 面积 故 面积的取值范围为 考点六 角平分线与中线问题 【例6-1】（2024江苏南通）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 (1)求角A的大小； (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 若，，点D是BC边上的一点，且______. 求线段AD的长. ①AD是的高；②AD是的中线；③AD是的角平分线. 【答案】(1)(2)答案见解析 【解析】（1）在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且 ，可得， 由余弦定理可得 ， （2）选①：AD是的高， 由余弦定理得，所以 所以根据等面积法得，； 选②：是的中线， ，， ，，， ； 选③：AD是的角平分线.由于， 所以， 解得 【例6-2】（23-24 ·云南保山 ）记的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求的大小； (2)为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值. 条件①：为的角平分线；条件②：为边上的中线. 【答案】(1)(2)3 【解析】（1）由余弦定理可得：，所以，，                  又，故. （2）选择条件①：在中，由余弦定理，得， 即，故，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以， 所以，所以   故的最大值为3. 选择条件②：（方法一） 由题，平方得 ， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 当且仅当时，等号成立，       故有， 从而，故的最大值为3. 选择条件②：（方法二） 由题，平方得 ，      在中，由余弦定理得， 代入上式得， 由得， 当且仅当时，等号成立，    故有， 从而，故的最大值为3. 【一隅三反】 1．（2024湖北宜昌 ）如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1）6   （2） 【解析】（1）根据题意，，由正弦定理，有. 又，，∴；又由，解得，即 （2）根据题意，因为平分，所以， 故，变形可得， 由（1），又，则， 所以. 2．（2024新疆昌吉）如图，在中，内角的对边分别为.已知，，，且为边上的中线，为的角平分线. （1）求线段的长； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）根据题意，，∴. 又，，∴； 又由，解得，即，则. 在中，由余弦定理得，解得. （2）根据题意，因为平分，所以，故， 变形可得，，则， 所以. 3．（2024福建·期中）已知中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A； (2)设点D为上BC一点，且AD=2，证明：若 ，则存在最大值或最小值；请在下面的两个条件中选择一个填到上面的横线上，并证明. ①AD是的中线； ②AD是的角平分线. 【答案】(1)；(2)选择①证明见解析；选择②证明见解析. 【解析】（1）在中，由正弦定理及得：， 由余弦定理得，而，解得：，所以. （2）选择①，AD是的中线，则，于是得， 而AD=2，则有，当且仅当时取“=”， 即，因此当时，，所以存在最大值. 选择②，AD是的角平分线，，由得： ，而AD=2，于是得， 即，，当且仅当时取“=”， 即当时，，所以存在最小值. 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 2．（24-25 山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，， 在中，，， 所以， 由正弦定理， 得， 在中，. 所以估算黄鹤楼的高度CD为. 故选：C 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以；故选：C 4．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 5．（2025湖北）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 6．（2024福建三明 ）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 7．（24-25 河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得， 整理可得， 因为，则，可得，所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 所以，. 故选：B. 8．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意为的中点，设，则， 则在中，, 则的面积 ，当时取等号， 所以的面积最大值为，的面积最大值为， 上高的最大值为． 故选：D． 9．（23-24 ·福建泉州 ）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 10．（24-25 宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A．是钝角三角形 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意可知边长最大，即B是最大角， 由余弦定理知， 则，是锐角三角形，故A错误； 由余弦定理知，则，故B正确； 由上可知，作出三角形图形如上， 由平分，可知，即，故C正确； 作，易得均为等腰直角三角形， 且，所以，故D正确. 故选：BCD 11．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】AB 【解析】连接， 对于AB，在中，由余弦定理可得， 即， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，故A正确； 可知，则，故B正确； 对于CD，可得，所以四边形的面积为，故C错误； 在中，可得， 在中，可得， 则， 若，注意到， 则，可得， 即，故D错误； 故选：AB. 12．（24-25 ·山东聊城·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则， 即得，则外接圆的面积为，A错误； 对于B，若，则， 则，B正确； 对于C，由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立，则， 故面积的最大值为，C正确； 对于D，由，得， 则，当且仅当时等号成立， 即得，故周长的最大值为，D正确， 故选：BCD 13．（2024·四川成都 ）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】对于A。当时，，由三角形三边关系可得，， 所以，因此的周长的取值范围是，故A错误； 对于B，由，可知， 当时，的面积取到最大值，故B正确； 对于C，当时，由，即，得； 由，得，从而， 所以， 因此的周长的取值范围是，故C正确； 对于D，由余弦定理可得， 可得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 14．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 【答案】AD 【解析】如图，连接． 依题意，（海里），而海里，， 则是正三角形，所以海里． 在中，海里， 由余弦定理得 （海里）， 则有，所以，所以， 所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确． 延长与交于点O，显然有，即， 易得海里，海里，海里， 甲船从出发到点O用时（小时）， 乙船从出发到点O用时（小时）， ，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确． 故选：AD． 15．（23-24高一下·重庆·期末）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A：，由正弦定理得， 即，即， 因为，所以，所以，， 因为，则， 令外接圆的半径为, 根据正弦定理可得，即，故A正确； 对于C：由余弦定理知，， 因为，，所以，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，故C正确； 对于B：由C知，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故B错； 对于D：因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 16．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（   ） A．的面积最大值为 B．的取值范围为 C．的值可能为3 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】因为为锐角三角形，所以，解得， 同理可得， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， A选项，，A错误； B选项，由余弦定理得，即， 所以， 所以 ， 因为，所以，B正确； C选项，因为， 而，所以的值可能为3，C正确； D选项， ，当且仅当时取等号， 但， 而，所以， 故，等号取不到，D不正确. 故选：BC. 三、填空题 17．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 【答案】13.8 【解析】根据题意得，在中，，, 在中，,, . 故答案为：13.8 18．（24-25 山东青岛·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.    【答案】 【解析】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 19．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，，则， 不妨设，则， 因为，则， 所以，，同理可得， 因为，则， 故， 由二倍角的余弦公式可得，可得， 所以，. 故答案为：. 20．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以由正弦定理得，因为， 所以，即， 因为，所以，解得 因为的面积等于，则，得， 在中，由余弦定理得 的周长为， 当且仅当时等号成立， 综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为． 故答案为：. 21．（24-25 天津·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 故答案为：. 22．（2024·陕西安康 ）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .    【答案】10 【解析】设， 则， 而， 则， 所以， 令，则， 则 ，其中， 当且仅当时取等号， 此时，即， 所以四边形面积的最大值为10. 故答案为：. 四、解答题 23．（24-25 河南·阶段练习）在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）    在三角形中，，， 所以由余弦定理得：， 所以，又，所以， 又，所以. （2）在三角形中，，所以， 所以，    所以在中，为的中点，所以，，， 所以由余弦定理得：， 所以， 在中，，，， 所以由余弦定理得： 所以， 所以在中，由余弦定理得：. 24．（2024·江西新余 ）如图，在四边形中，，，，，. (1)求； (2)求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，又，得到， 又， 又，，且， 所以，， 得到. （2）延长交于，设，， 在中，由正弦定理得到，由（1）知，， 所以①，由余弦定理得到②， 由①②解得或， 当时，，此时， 又，所以，不合题意，故，， 在中，由，，得到，， 所以，又， 故. 25．（24-25 辽宁·期末）在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为由余弦定理有：， 因为为的内角，所以 （2）因为由余弦定理有： =， 所以 设，由点在边上，且为锐角三角形，所以， 所以. 在中，由， 所以，所以， 所以 由是定义域上的减函数，所以， 所以的范围为. 26．（24-25 河北沧州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求的大小； (2)若，且的面积是，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，所以 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以. （2）因为的面积是，所以，解得. 由余弦定理可得，又，即， 则，即，故. 27．（24-25 江苏南京·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，可得， 所以，， 因为、，且余弦函数在上单调递减，则， 当时，则， 由正弦定理可得，则， 因此，的面积为. （2）由（1）可得，则， 由正弦定理可得，则， 因为，则，可得， 所以，，即的取值范围是. 28．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【解析】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 29．（23-24高一下·江苏无锡·期中）从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答． 在中，三边分别是角的对边， 若______. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：若选条件①，由， 可得，即， 因为，所以，可得， 因为，可得，所以，所以，可得. 若选条件②，由， 根据正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. 若选条件③：由，可得， 即， 因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由（1）知：且， 又由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，所以， 则，所以面积的最大值为. 30．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以； （2）法一：由M在边BC上满足，可得， 两边平方可得， 所以，所以， 当且仅当时取“”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 法二：由，则， 由余弦定理可得， 即， 可得， 又因为， 所以， 当且仅当时取“＝”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 31．（2024·北京 ）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【解析】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 32．（2024·陕西）如图，已知平面四边形中，． (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 由于四点共圆，所以， 因此， 上述两式相加得：， 得． （2）由（1）得：， 化简得，① 四边形的面积：， 整理得，② ①②两边分别平方然后相加得： 由于，， 因此当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，得， 故四边形面积的最大值为． 33．（2025浙江温州 ）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. （Ⅱ）由（1）可得，因为，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以. 34．（2024四川成都·期中）已知向量，，函数. （1）求函数的零点； （2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）由条件可得：， ∴， 所以函数零点满足， 则，得，； （2）由正弦定理得， 由（1），而，得， ∴，，又，得， ∴代入上式化简得： ， 又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有. ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$