10.1 二元一次方程组的概念教案2024-2025学年 人教版数学七年级下册

10.1 二元一次方程组的概念 一、教学目标 1.了解二元一次方程（组）及其解的概念. 2.会检验一对数是不是某个二元一次方程（组）的解. 3.能根据简单的实际问题列出二元一次方程（组）. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 1.掌握二元一次方程、二元一次方程组及其的解的概念. 2.判断一组未知数的值是不是某个二元一次方程、二元一次方程组的解. 【教学难点】 引导学生运用“实际问题——数学问题” 的建模意识来理解和探索二元一次方程的解. 五、课前准备 教师：课件. 学生：铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课 新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 教师问：这个问题中有几个未知数，你能用学过的一元一次方程解决此问题吗？ （二）探索新知 1.探究二元一次方程的概念 教师问：说一说这个题目该如何进行解答？ 学生答：列方程解答. 教师问：想一想，如果设一个未知数(比如设租用大型采棉机x台) ,根据题意该怎样列方程？ 师生共同解答：设租用大型采棉机x台，则租用小型采棉机（6- x）台，分析如下表： 大型 小型 合计 采棉机数量/台 x （6-x） 6 1h采摘面积/hm2 2x （6-x） 8 教师问：根据上表你能列出方程吗？ 学生答： 2x+（6-x）=8. 教师问：思考能不能直接设两个未知数(比如设租用了x台大型采棉机, y台小型采棉机) ,让列方程更容易呢？ 师生共同分析. 容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系： 大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数, 大型采棉机1 h采摘面积+小型大型采棉机1 h采摘面积=1 h采摘总面积. 教师问：根据这两个相等关系你能列出方程吗？ 学生答：由题意得到方程：x+y=6，2x+y=8. 教师问：观察这两个方程是一元一次方程吗？为什么？ 学生答：不是. 因为方程中有两个未知数x和y，而一元一次方程应该只有一个未知数. 教师问：说一说这两个方程有什么共同特点？ 学生1答：这两个方程含有两个未知数. 学生2答：方程中含有未知数的项的次数都是1. 教师提出表扬并总结：含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程. 教师问：接下来同学们想一想二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处呢？ 学生1答：两种方程里含未知数的项的次数都是1. 学生2答：含未知数的个数不同.一元一次方程只有一个未知数，二元一次方程里面含有两个未知数. 教师提出表扬并总结：两位同学总结的很好！二元一次方程与一元一次方程的不同点：含未知数的个数不同；相同点：都是一次方程. 考点1：二元一次方程的判断 判断下列方程是否为二元一次方程： （1）3y-2x =z+5； （2） y+x; （3）x2+y=0; （4）x=+1; （5）=0; （6）3-2xy=1; （7）4x+π=0; （8）2x=1-3y. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：二元一次方程是含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1的方程. （1）含有三个未知数，不是. （2）不是等式，不是. （3）x的次数是2，不是. （4）整理化解后为xy=2+y，xy项的未知数次数为2，不是. （5）符合二元一次方程的定义，是. （6）-2xy项的次数是2，不是. （7）只含有一个未知数，不是. （8）符合二元一次方程的定义，是. 方法点拨： 判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数； 二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1. 学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：根据二元一次方程的定义求字母的值 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________． 学生独立思考后，师生共同解答. 解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1， 解得m＝－1，n＝1， 所以m＋n＝0. 答案：0 教师总结此类题目解题方法： 由方程是二元一次方程可知： (1)未知数的系数不为0； (2)含有未知数的项的次数都是1. 学生自主练习后口答，教师订正. 2.探究二元一次方程组的定义 教师问：在方程中,x的含义相同吗?y呢? 学生答：两个方程 x都表示租用大型采棉机的数量，y都表示租用小型采棉机的数量. 教师总结：因为未知数的含义相同，所以我们可以这样联立起来，得到如下形式：这样我们得到了一个新的方程形式. 教师问：你能试着给出描述这种方程形式吗？ 学生答：两个二元一次方程放在一起就是二元一次方程组. 总结点拨：像这样,把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组. 含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 教师问：根据二元一次方程组的定义，说一说下列哪些是二元一次方程组？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 师生共同讨论解答如下： 解：（1）每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是. （2）第一个方程不是整式方程，不是. （3）每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是. （4）方程组中共含有三个未知数，不是. （5）第二个方程中含xy的次数是2，不是. （6）每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是. 教师问：通过练习，请你说说二元一次方程组有哪些特点？ 师生一起总结：二元一次方程组有以下特点： ①方程组中共有2个不同未知数； ②方程组有2个一次方程； ③一般用大括号把2个方程连起来. 考点3：二元一次方程组的判断（出示课件18） 在方程组 ① ③ 中，是二元一次方程组的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 教师提示：三个要素 学生独立思考后，师生共同解答. 解析：①②③方程组中每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是二元一次方程组； ④方程组中第一个方程中xy的次数是2，不是一次方程，所以不是二元一次方程组； ⑤方程组中每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是二元一次方程组； ⑥方程组中第一个方程不是整式方程，所以不是二元一次方程组． 只有①②③⑤满足．故选D. 答案：D 师生共同归纳： 识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法： 一看方程组中的方程是否都是整式方程； 二看方程组中是不是只含两个未知数； 三看含未知数的项的次数是不是都为1. 学生自主练习后口答，教师订正. 3.探究二元一次方程的解的定义 教师问：满足课堂开始采棉问题中的方程x+y=6，且符合问题的实际意义的x,y值有哪些？把它们填入表中. x y 教师提示，学生依次回答： x 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1 教师问：如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？ 学生1答：x,y还可取到一个正数和一个负数,如x=-1,y=7等. 学生2答：x,y还可取到小数,如x=0.5,y=5.5等. 教师问：这些值是有限的吗？ 学生答：这些值是无限的，有无数组这样的值. 师生总结点拨： 二元一次方程解的定义： 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫作这个二元一次方程的解. 教师问：说一说，怎么判断一对数值是不是二元一次方程的解呢？ 学生答：把这对数值代入到原方程对应的未知数中，看看是否满足. 教师提出表扬并总结： 判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法： 把这对数值分别代入方程的左右两边,若左边=右边,则这对数值是这个方程的解;若左边≠右边,则这对数值不是这个方程的解. 教师提示:一般情况下,二元一次方程有无数个解,但如果对其未知数取值附加某些条件,那么也可能只有有限个解. 学生自主练习后口答，教师订正. 4.探究二元一次方程组的解的定义 教师出示问题：方程x+y=6中 ,符合实际意义的x ,y的值有哪些? 把它们填入表格中. x y 学生依次回答：填写如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1 教师问：再找出方程2x+y=8的符合实际意义的解,并用表格罗列. 学生依次回答：填写如下表： x 1 2 3 y 6 4 2 教师问：第1个表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=8？ 学生答：x=2，y=4还满足方程2x+y=8． 教师讲解：x=12，y=4即满足方程2x+y=8，也满足方程x+y=6． 它是方程x+y=6与方程2x+y=8的公共解，记作 联系前面的实际问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机. 师生总结：二元一次方程组的两个方程的公共解,叫作二元一次方程组的解. 学生自主练习后口答，教师订正. 考点4：利用二元一次方程组的解求字母的值 已知二元一次方程组的解是求a与b的值. 学生独立思考后，师生共同解答. 解：把 代入到方程组,得 解得a =2,b=11. 总结点拨：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解. 学生自主练习后口答，教师订正. 考点5：根据实际问题列二元一次方程组 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解. 某村乡村振兴项目计划把28 t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2 t，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4 t，前后共用8天完成全部加工任务，这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？ 师生共同分析. 教师问：此题中的等量关系是什么？ 学生答：改进加工方法前的天数＋改进加工方法后的天数＝8天， 改进加工方法前加工的黄桃＋改进加工方法后加工的黄桃＝28t. 教师问：怎么列方程呢？ 学生答：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，用方程把这些等量关系表示出来： ①x+y=8, ②2x+4y=28. 教师共同解答. 解：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天. 根据题意，得 根据问题的实际意义，可知是该问题的解. 答：这个项目改进加工方法前用了2天，改进加工方法后用了6天. 学生自主练习，教师给出答案. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧. （三）课堂练习 略 （四）课堂小结 二元一次方程组 二元一次方程（组）的概念 含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组 二元一次方程（组）的解的概念 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫作这个二元一次方程的解 根据实际问题列二元一次方程组 （五）课前预习 预习下节课10.2.1的相关内容. 知道消元、代入消元法的定义和会利用代入消元法解二元一次方程组. 7、 课后作业 教材第90页习题10.1. 8、 板书设计 1.知识梳理 二元一次方程组 2.考点讲解 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 1 学科网（北京）股份有限公司 $$