黄金卷06（上海专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在0，，，，，（每相邻两个1之间的0逐次多1）这六个数中，无理数的个数是（    ） A．1  个 B．2 个 C．3 个 D．4  个 2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大9倍 3．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 4．若正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 6．下列说法中，不正确的是（    ） A．底角为的两个等腰三角形相似 B．一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C．一个锐角为的两个直角三角形相似 D．有个角为的两个等腰三角形相似 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．比较大小：3 （填“”、“”或“”）． 8．分解因式： ． 9．若没有平方根，则 ． 10．方程：的解为 11．已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是______________． 12．把抛物线右平移1个单位长度，所得到的抛物线是 ． 13．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有8个黄球，m个白球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么估计盒子中白球的个数 ． 14．请举一个反例说明命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的： . 15．如图，在中，点在边上，线段经过重心，向量，向量，那么向量 ．（用向量、表示） 16．一次统计七年级若干名学生每分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，根据这个直方图，下面说法正确的是 （请填写序号） ①参加测试的总人数是15人； ②数据分组时的组距为25； ③频数最多的组的组中值为87次； ④最后一组所占的百分比为； ⑤第二组的频数是4． 17．如图，为的角平分线，过点D作交于点E，如果，那么 ． 18．如图，在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交直线于点P，则的最小值为 ，最大值为 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： 20．解方程组： 21．某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表： 种材料（） 种材料（） 所获利润（元） 每个甲种吉祥物 每个乙种吉祥物 该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元． (1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围： (2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 22．综合与实践 【任务】测量小水池的最大宽度，如图1． 【工具】一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2． ①皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度） ②测角仪的功能是测量角的大小．即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小，如图3． 【操作实践】 步骤1：在小水池外选点C，如图4，测得，； 步骤2：分别在，上测得，；测得． 【实践探索】 (1)请根据上述测量数据，用你所学的数学知识计算出小水池的最大宽度； (2)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母a，b，表示，角度用，，表示） 23．如图，在中，点E在边上，连接，在线段上取一点P，连接，． (1)求证：是矩形； (2)过点P作于点H，若，求证：． 24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 25．如图，已知中，，，，点D是射线上一动点（不与A、B重合），过点D作，交射线于点E，点Q为中点，连接并延长，交射线于点P． (1)如图，当点D在线段上时， ①若，求的长； ②当与相似时，求的长． (2)当是以为腰的等腰三角形时，试判断以点A为圆心、为半径的与以C为圆心、为半径的的位置关系，并说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在0，，，，，（每相邻两个1之间的0逐次多1）这六个数中，无理数的个数是（    ） A．1  个 B．2 个 C．3 个 D．4  个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，由此判断即可． 【详解】解：， 所给六个数中， 0，，，是有理数，，是无理数，共2个， 故选B． 2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大9倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用已知条件，代入原式变形化简即可得出答案． 利用分式的基本性质变形化简得出答案． 【详解】如果把分式中的x和y都扩大3倍， 得，． ∴分式的值不变． 故选：A． 3．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用，掌握配方法的计算方法是解题的关键． 找出一次项系数，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴， 故选：A ． 4．若正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象的中心对称性确定交点坐标是解题的关键． 根据题意得出，，再把代入即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于两点， 两点关于原点对称， ，， 把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 故选：B ． 5．元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：3名同学站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 6．下列说法中，不正确的是（    ） A．底角为的两个等腰三角形相似 B．一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C．一个锐角为的两个直角三角形相似 D．有个角为的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形，三角形内角和，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据有两角对应相等的两个三角形相似判定A；根据三边不对应成比例的三角形不相似判定B；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定C；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定D． 【详解】解：A、底角为的两个等腰三角形，有两底角对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； B、一个的斜边为6，直角边为4，则另一直角边为，另一个两直角边长分别是9和6，则斜边为，∵ 两三角形三边不对应成比例，∴两三角形不相似，故此选项符合题意； C、一个锐角为的两个直角三角形，有角和直角两对应角相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； D、有个角为的两个等腰三角形，它们顶角是，底角是，顶角与底角分别 对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．比较大小：3 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的比较大小，依据，然后根据被开方数大的数就大即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：. 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式2，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 9．若没有平方根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方根的意义，实数的性质，根据负数没有平方根得出，即可求出m的取值范围，再判断的取值范围，最后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵没有平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．方程：的解为 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，需要注意对解进行检验． 把方程两边平方去根号得一元二次方程，解得后将解代入方程检验． 【详解】解：， 两边同时平方可得：，可化为：， 可解得：或； 经检验不符， 故答案为：． 11．已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是______________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握本一次函数性质是解题的关键．根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随着x的增大而增大． ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故答案为：． 12．把抛物线右平移1个单位长度，所得到的抛物线是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线平移后得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 13．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有8个黄球，m个白球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么估计盒子中白球的个数 ． 【答案】12 【分析】本题考查了利用频率估计概率．利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，根据概率公式求出n，即可得的答案． 【详解】解：∵通过大量的重复摸球试险后发现，摸到白球的频率稳定在， ∴估计摸到白球的概率为， ∴估计摸到黄球的概率为， ∴（个）， ∴（个）． 故答案为：12． 14．请举一个反例说明命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的： . 【答案】矩形 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据矩形的性质、正多边形的概念解答即可． 【详解】解：矩形的各角都是，即各角相等，但矩形不一定是正多边形， 则命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的， 故答案为：矩形． 15．如图，在中，点在边上，线段经过重心，向量，向量，那么向量 ．（用向量、表示） 【答案】 【分析】此题考查了平面向量的三角形法则和重心性质（三角形的重心是各中线的交点，重心性质是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中点的线段长的），先求解，，再利用三角形的重心的性质可得答案． 【详解】解：如图，∵是中线，， ∴，    ∵， ∴， 根据三角形的重心性质，， ∴； 故答案为：． 16．一次统计七年级若干名学生每分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，根据这个直方图，下面说法正确的是 （请填写序号） ①参加测试的总人数是15人； ②数据分组时的组距为25； ③频数最多的组的组中值为87次； ④最后一组所占的百分比为； ⑤第二组的频数是4． 【答案】 【分析】本题考查频数分布直方图，能从频数分布直方图中获取有用信息是解题的关键．将4组频数相加的和与15比较即可判断①是否正确；将相邻的跳绳次数相减的差与25次比较即可判断②是否正确；观察频数分布直方图，找出频数最多的对应组中值与87次比较即可判断③是否正确；将最后一组的频数除以总频数与0.3比较即可判断④是否正确；将频数分布直方图中第二组的频数与4比较即可判断⑤是否正确． 【详解】解：组频数相加的和为：， 正确； ， 正确； ∵频数最多的对应组中值是， 不正确； ， 不正确； ∵频数分布直方图中第二组的频数是4， 正确， 故答案为：． 17．如图，为的角平分线，过点D作交于点E，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、等角对等边、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 由可得，得到，进而结合题干中的条件得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 18．如图，在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交直线于点P，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 14 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理的应用，如图，当与相切时，最小，则，如图，当与相切于正方形外的点时，此时最大；再进一步求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， 如图，当与相切时，最小，则， ∴为的切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的最小值为：； 如图，当与相切于正方形外的点时，此时最大； 同理可得：， ∴的最大值为：； 故答案为：2，． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、立方根，再进行加减计算即可．熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 20．解方程组： 【答案】， 【分析】先将第2个方程变形为x+6y＝0，x﹣y＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可． 【详解】解：， 由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0， 原方程组可化为或， 故原方程组的解为，． 21．某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表： 种材料（） 种材料（） 所获利润（元） 每个甲种吉祥物 每个乙种吉祥物 该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元． (1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围： (2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)，且是整数 (2)生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元 【分析】（1）本题的等量关系是：总利润生产甲吉祥物的利润生产乙吉祥物的利润，可根据此得出函数关系式，然后根据生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，来列出不等式组求出自变量的取值范围； （2）根据（1）得出的函数关系式，以及自变量的取值范围，依据函数的性质判断出最大利润及生产方案． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 由题意， 解得：， 自变量的取值范围是且是整数； （2）由（1）， ， 随的增大而减小， 又且是整数， 当时，有最大值，最大值是（元）， 生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元． 22．综合与实践 【任务】测量小水池的最大宽度，如图1． 【工具】一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2． ①皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度） ②测角仪的功能是测量角的大小．即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小，如图3． 【操作实践】 步骤1：在小水池外选点C，如图4，测得，； 步骤2：分别在，上测得，；测得． 【实践探索】 (1)请根据上述测量数据，用你所学的数学知识计算出小水池的最大宽度； (2)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母a，b，表示，角度用，，表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得；用皮尺测得，由此求解即可， 【详解】（1）解：由测量知，，，，， ， 又， ， ， 又， ； （2）解：测量过程： 在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得； 用皮尺测量得， 求解过程：由测量知，在中，，，， 过点C作，垂足为， 在中，， 即， 所以， 同理，， 在中，， 即， 所以， 所以， 故小水池的最大宽度为． 23．如图，在中，点E在边上，连接，在线段上取一点P，连接，． (1)求证：是矩形； (2)过点P作于点H，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、矩形的判定和性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，再结合四边形是平行四边形即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质推出，由矩形的性质得到，易得，由平行线的性质推出，于是，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形 （2）证明；∵于点H，， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）由抛物线与轴交于两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当为矩形边时，当为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可． （3）作的垂直平分线，垂足为，交于点，作于点，作点关于点的对称点符合条件，根据题意分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，则， 当为矩形边时，可得或， 当时，则，即， 解得：， 则； 当时，则，即， 解得：， 则； 如图，当为矩形对角线时， ，四边形是矩形， ， 则，即， 解得：或， 则或； 综上：或或或． （3）解：设直线的解析式为，则，解得：， 故直线的解析式为， 设， 作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示． 根据题意可得， 当时，，，故符合条件． 此时，， 解得：， ∴点的坐标为． 作于点，作点关于点的对称点．如图所示． 此时，则，故点符合条件． 根据题意， ∴， ∵， ∴， 过点作于H， 则， ∴， ∵点关于点N对称， 即点为线段的中点， ∴点的坐标为． ∴点的坐标为或． 25．如图，已知中，，，，点D是射线上一动点（不与A、B重合），过点D作，交射线于点E，点Q为中点，连接并延长，交射线于点P． (1)如图，当点D在线段上时， ①若，求的长； ②当与相似时，求的长． (2)当是以为腰的等腰三角形时，试判断以点A为圆心、为半径的与以C为圆心、为半径的的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)① ，② (2)外离，理由见解析； 【分析】（1）① 过点作，交于，根据已知可得四边形为矩形，要求，可先求得的正切值，由，，，，可依次求得长，点Q为中点，可得，，由此在可求得，即可求得的长； ② 当与相似时，利用，要求，求出即可，利用，在中解直角三角形可求得，设，再通过解直角三角形求出，可求得的长，由此得解； （2）要判断两圆的位置关系，需求出两圆的半径，，，通过利用是以为腰的等腰三角形，解直角三角形求出和，然后半径之和与两圆心距离比较，即可得到解决． 【详解】（1）解：① 过点作，交于，如图所示， ，，， ，， 解得， ， ， ， ，， ， 在中， ，， ， 点Q为中点， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ． ② 当与相似时, 过点作，交于， ， ，， ， ，，， ， ， ，， ，， 设，则，， ， 点Q为中点， ， ，，， 在中，， ， ，即， 解得：， ， 在中，， ， ， ． （2）解：当是以为腰的等腰三角形时，过点作于，过点作，交于，如图所示， 则，， 点Q为中点， ， ， ， ，即为角平分线， ，， ，， 设， ，， ， ，，， ，，， 在中，设， ， ， ， ， 在中， ，即， 解得，即， ，， 以点A为圆心、为半径的，即半径为 与以C为圆心、为半径的，即半径为， ，两圆心距离， ， 两圆的位置关系为外离． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 B A A B A B 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8． 9．/ 10． 11． 12． 13．12 14．矩形 15． 16． 17． 18． 2 14 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解： ． （10分） 20．解：， 由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0， 原方程组可化为或， 故原方程组的解为，．（10分） 21．（1）解：根据题意得， ， 由题意， 解得：， 自变量的取值范围是且是整数； （2）由（1）， ， 随的增大而减小， 又且是整数， 当时，有最大值，最大值是（元）， 生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元． （10分） 22．（1）解：由测量知，，，，， ， 又， ， ， 又， ； （2）解：测量过程： 在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得； 用皮尺测量得， 求解过程：由测量知，在中，，，， 过点C作，垂足为， 在中，， 即， 所以， 同理，， 在中，， 即， 所以， 所以， 故小水池的最大宽度为． （10分） 23．（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形 （2）证明；∵于点H，， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（12分） 24．（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，则， 当为矩形边时，可得或， 当时，则，即， 解得：， 则； 当时，则，即， 解得：， 则； 如图，当为矩形对角线时， ，四边形是矩形， ， 则，即， 解得：或， 则或； 综上：或或或． （3）解：设直线的解析式为，则，解得：， 故直线的解析式为， 设， 作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示． 根据题意可得， 当时，，，故符合条件． 此时，， 解得：， ∴点的坐标为． 作于点，作点关于点的对称点．如图所示． 此时，则，故点符合条件． 根据题意， ∴， ∵， ∴， 过点作于H， 则， ∴， ∵点关于点N对称， 即点为线段的中点， ∴点的坐标为． ∴点的坐标为或．（12分） 25．（1）解：① 过点作，交于，如图所示， ，，， ，， 解得， ， ， ， ，， ， 在中， ，， ， 点Q为中点， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ． ② 当与相似时, 过点作，交于， ， ，， ， ，，， ， ， ，， ，， 设，则，， ， 点Q为中点， ， ，，， 在中，， ， ，即， 解得：， ， 在中，， ， ， ． （2）解：当是以为腰的等腰三角形时，过点作于，过点作，交于，如图所示， 则，， 点Q为中点， ， ， ， ，即为角平分线， ，， ，， 设， ，， ， ，，， ，，， 在中，设， ， ， ， ， 在中， ，即， 解得，即， ，， 以点A为圆心、为半径的，即半径为 与以C为圆心、为半径的，即半径为， ，两圆心距离， ， 两圆的位置关系为外离．（14分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$