第1章 坐标平面上的直线重难点检测卷 -2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020选择性必修第一册）

第1章 坐标平面上的直线重难点检测卷 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：选择性必修第一册第1章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高二下·上海·期中）直线的一个法向量为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，由此求出与其垂直的直线的斜率，进而求得直线的一个法向量. 【详解】直线的斜率为， 故与其垂直的直线的斜率为， 故直线的一个法向量为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海奉贤·期中）过点且与原点的距离最大的直线l的方程为 . 【答案】 【分析】设点为A，确定所求直线为过点且与直线OA垂直的直线，求出斜率，即可得答案. 【详解】设点为A， 则过点且与原点的距离最大的直线l为过点且与直线OA垂直的直线， 而OA斜率为1，故所求直线斜率为-1， 则所求直线方程为，即， 故答案为： 3．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）已知直线与直线平行，则 . 【答案】1 【分析】根据平行关系列出等式求解的值并检验即可. 【详解】因为与平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，两直线平行. 当时，直线，直线，化简为， 此时两直线重合，不符合要求，舍去. 故答案为：1. 4．（23-24高二下·上海·课后作业）在下列各种情况下，直线（A，B不同时为零）的系数A、B、C需满足什么条件： （1）直线与x轴平行时： ； （2）直线与y轴平行时： ； （3）直线过原点时： ； （4）直线过点时： ． 【答案】 且 且 且A、B不同时为0 【分析】根据直线与x轴、y轴的位置关系可得答案. 【详解】（1）直线与x轴平行时：且； （2）直线与y轴平行时：且； （3）直线过原点时：且A、B不同时为0； （4）直线过点时：． 故答案为：①且；②且； ③且A、B不同时为0；④ 5．（23-24高二下·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之和等于，则点到原点距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知故直线与垂直，且均经过原点，设设点到直线与的距离分别为、，则，且，利用勾股定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】直线与的斜率分别为、，且， 故直线与垂直，且均经过原点， 设点到直线与的距离分别为、，则，且， 所以，， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，得到为锐角三角形，得出费马点在线段上，设，由为顶角是的等腰三角形，求得，结合费马点的性质，即可求解. 【详解】设为坐标原点，由， 可得，且为锐角三角形， 所以费马点在线段上，如图所示，设， 则为顶角是的等腰三角形，可得， 又由， 则， 所以的最小值为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 【答案】①③ 【分析】当可知直线倾斜角为，知①正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知②错误；根据和可整理得到③正确；当或时，两点式方程无法应用，知④错误. 【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设，则，； 综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误； 对于③，在直线上，， 则，，③正确； 对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误. 故答案为：①③. 9．（23-24高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【分析】求出关于直线对称的点，结合图形，即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，所以， 则，所以“将军饮马”的最短总路程为，    故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·阶段练习）新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 【答案】或 【分析】分析可知，点到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】设点到直线的距离为，因为圆关于直线的“秘钥数”是，且圆的半径为， 则根据题中定义可得，可得， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，点到直线的距离为，不合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 根据题意可得，解得或， 所以，直线的方程为或. 故答案为：或. 11．（23-24高二下·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    12．（2024高二下·上海宝山·专题练习）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是 . 【答案】 【分析】由题意求出直线的方程，设得到AB的中点的坐标，由A，P，B三点共线求出，得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】由题意可得， ， 所以直线， 设， 所以AB的中点C. 由点C在直线上，且A，P，B三点共线得 解得，所以, 又，所以＝， 所以 ， 即直线AB的方程为. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【详解】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 14．（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线过定点，故点到直线的距离的最大值为，计算得到答案. 【详解】直线，整理得， 由，解得，故直线过定点 故点到直线的距离的最大值为. 故选：C 15．（23-24高二下·上海长宁·阶段练习）若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 则由图知， 所以，即． 故选：D. 16．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示 则记为“▲”的四个点是， 线段的中点分别为， 易知四边形为平行四边形，设其对角线交于， 则. 由此求得与点重合， 根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点. 而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条； 过点和的直线有且仅有一条. 所以符合条件的点是，故3个. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高二下·上海·课后作业）求下列每组两条直线的夹角： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到和的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解； （2）先求得与的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解 【详解】（1）由得，则该直线的斜率， 又由得，则该直线的斜率， 设与的夹角为（）， 则，则，. 故与的夹角为. （2）直线的斜率， 直线的斜率， 设与的夹角为，（）， 则，则，， 故与的夹角为. 18．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知的顶点，，且重心G的坐标为. (1)求C点坐标： (2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.求的欧拉线的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出C点坐标，再根据重心的坐标公式可得； （2）设出外心坐标，根据外心在边AC中垂线上，及到顶点距离相等列方程可得，再根据斜率与点斜式求解即可. 【详解】（1）设，则由重心G的坐标为，有， 解得，即, 所以C点坐标为. （2）设的外心，则由外心性质可得P在的中垂线上，即， 由，，， 则，即，解得，即. 又，故欧拉线的斜率为， 故的欧拉线的方程为，即. 19．（23-24高二下·上海·课堂例题）如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值； （2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值. 【详解】（1）因为，则， 因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 所以，. （2）因为直线的一个方向向量为， 所以，直线的方程为，即. 点到直线的距离为，， ，可得或， 即或，因为，解得或. 20．（23-24高二下·上海虹口·期末）某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 【答案】(1) (2)公路长千米，示范带250平方千米 【分析】（1）设P，由点到直线的距离等于10得出点的坐标； （2）由得出，进而得出的方程，再由的坐标以及勾股定理得出的长度，最后由求面积. 【详解】（1）解：由可知：直线的斜率 直线的方程为： ∵点P到OB，OC的距离均为10 ∴设点P的坐标为 点到的距离，解得： 所以点的坐标为 （2）∵点P到OB，OC的距离相等． ∴点在的角平分线上． ∵ ∴点为的中点， ∴ 直线的方程为 令得 ∴， ， ∴公路的长度为千米，示范带总面积为250平方千米． 21．（23-24高二下·上海杨浦·期中）如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在， 【分析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线的方程，得到答案； （2）联立直线方程求出直线交点的坐标，进而求得的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，由，即可得到答案； （3）根据有解问题最值法，先分离变量，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解． 【详解】（1）依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． （2）由题意，因为， 可得直线OA方程为，直线AB方程为， 联立方程组，解得， 因为，所以或， 又由，解得，∵，∴ 所以 由弦长公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． （3）由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且， 所以，可得的最小值为， 所以实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 坐标平面上的直线重难点检测卷 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：选择性必修第一册第1章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高二下·上海·期中）直线的一个法向量为 ． 2．（23-24高二下·上海奉贤·期中）过点且与原点的距离最大的直线l的方程为 . 3．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）已知直线与直线平行，则 . 4．（23-24高二下·上海·课后作业）在下列各种情况下，直线（A，B不同时为零）的系数A、B、C需满足什么条件： （1）直线与x轴平行时： ； （2）直线与y轴平行时： ； （3）直线过原点时： ； （4）直线过点时： ． 5．（23-24高二下·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之和等于，则点到原点距离的取值范围为 . 6．（23-24高二下·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 7． （23-24高二下·上海·阶段练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 8．（23-24高二下·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 9．（23-24高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 10．（23-24高二下·上海·阶段练习）新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 11．（23-24高二下·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    12．（2024高二下·上海宝山·专题练习）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是 . 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·上海长宁·阶段练习）若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高二下·上海·课后作业）求下列每组两条直线的夹角： (1)与； (2)与. 18．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知的顶点，，且重心G的坐标为. (1)求C点坐标： (2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.求的欧拉线的一般式方程. 19．（23-24高二下·上海·课堂例题）如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 20．（23-24高二下·上海虹口·期末）某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 21．（23-24高二下·上海杨浦·期中）如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$