浙江省宁波市鄞州中学2024-2025学年高一下学期返校测试数学试题

鄞州中学2024学年第二学期返校测试 高一年级数学学科试题 考生注意： 1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。 2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 选择题部分 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分) 1.已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2.已知都是实数，则下列命题中真命题是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 3.已知，则（    ） A. B. C. D. 4.已知为奇函数，则（    ） A. B. C. D. 5.已知函数，若，，，则　　 A. B. C. D. 6.如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A. B. C. D. 7.已知，满足，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 8.设函数，对于给定的正数，定义函数若对于函数定义域内的任意，恒有，则（    ） A.的最小值为 B.的最大值为 C.的最小值为 D.的最大值为 二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分) 9.下列结论正确的是（    ） A.命题“若，则”为真命题 B.“”是“”的充分不必要条件 C.已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D.命题“若，则且”为真命题 10.已知函数()相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（    ） A.函数的图象关于点中心对称 B.函数的图象关于直线对称 C.函数在区间上的值域为[2，3] D.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得 11.已知定义在上的函数满足：，且，则下列说法中正确的是（    ） A.是奇函数 B. C. D.可以是 非选择题部分 3、 填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12.化简______. 13.已知函数若，则_______. 14.关于的方程有且仅有一个实数根，则的值为________. 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 16.已知. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实数根，求的取值范围. 17.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. (1)请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； (2)2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 18.已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值. 19.小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图1. 图1 例如，函数在上为下凸函数. 通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）： 若是区间上的下凸函数，则对任意的，不等式 恒成立（当且仅当时等号成 立）.结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知在上为下凸函数，若，求的最大值； (2)用定义严格证明：二次函数在上是下凸函数. (3)设，且，求的最小值. 命题老师 毛骏涛 审题老师 黄治元 鄞州中学2024学年第二学期返校测试 高一年级数学学科试题答案 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A B C B D ABD BC 题号 11 答案 BCD 12. 0 13. 14. 5 15．(1)；(2)或. 16. (1)；(2). 17.(1), ； (2)不开空调. 18．(1)； (2) 19．(1)； (2)证明见解析； (3). 详解 5．B 【分析】判断函数的单调性，比较，，大小关系，利用单调性求出． 【详解】易知单调递减 ; ; . 故，故， 故选B 8．D 【分析】因为函数定义域内的任意，恒有且可知，求出函数的最小值代入即可. 【详解】函数的定义域为，此时易知函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值又因为函数定义域内的任意，恒有且可知，所以，即的最大值为. 故选D. 11．BCD 【详解】因为，且的定义域为，关于原点对称， 对于选项A： 令，则，解得或， 若，令时，， 这与矛盾，故，故A错误； 对于选项B： 已证 令，则， 即，可知是偶函数， 当时，，故，故B正确； 对于选项C： 当时，， 即，则， 所以，故是以4为周期的周期函数， 设，则是周期为4的周期数列， 又因为， 且，所以的前2025项和为，故C正确； 对于选项D： 原关系式可类比两余弦和差化积公式 可设，经检验可知原条件均成立， 此时有，故D正确； 故选：BCD. 12. 0 13. 14. 5 【详解】 由题意，故 即 设则和均关于对称 又有且仅有一根，故（否则至少有关于对称的两根） 故，. 当时，，，如图，至少3个交点，故舍去. 当时，，， 故，当且仅当时取等号，此时有且仅有一个交点，符合. 综上，填5 15．(1)；(2)或. 【详解】(1)由题意，当时，则，， 所以； (2)因为，所以， ①当，即时，解得，此时满足题意； ②当，即时，解得， 因为，所以，则有， 综上：或. 16. (1)；(2). 【详解】 (1) ①当时，恒成立，符合题意. ②时，为二次函数，则 解得 综上， (2)设，则,故有两个不相等的正根， 即有两个不相等的正根 则，故. 17．(1), ； (2)不开空调. 【详解】(1) , ; (2) 所以不开空调. 18．(1)； (2) 【详解】(1)由图可得 又，所以，所以， 所以， 又因为过点，所以， 又，所以， 所以. 令， 所以递增区间为. （2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位得到， 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则， 当时， 函数的函数图像如下， 且， 由图像可知有三个不同的实数根， 则，故 所以 19．(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】(1)由在上为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号， 则，即，所以的最大值是. (2)函数的定义域为R， ， ，当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数是下凸函数. （3）令，设， 则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 因此 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 高一 数学学科试题 第5页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$