专题9.6 向量的应用（五个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题9.6 向量的应用 一、证明线段垂直 四、判断三角形形状 二、求夹角问题 五、向量在物理中的应用 三、求线段长度 知识点1向量方法在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 知识点2向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. （4）功是力与位移的数量积. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 重难点一、证明线段垂直 1．菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直． 2．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    3．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 4．在中，，对任意，有. （1）求角； （2）若，，且、相交于点.求证：. 5．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 重难点二、求夹角问题 6．已知的三个顶点分别为,求的大小． 7．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    8．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 9．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 重难点三、求线段长度 11．如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 12．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.    (1)用，表示，； (2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离. 13．中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 14．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则 ． 15．如图，在梯形中，已知，，，，且，则 ，梯形的周长为 ． 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解： 一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式求解； 二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则 重难点四、判断三角形形状 16．在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 17．在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 18．已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)求，的坐标. (2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答. 问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由. （注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 19．是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 20．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 重难点五、向量在物理中的应用 21．在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 22．如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么 . 23．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 24．一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J． 25．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：    (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值. 用向量解决物理问题的一般步骤： （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题:；（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型； （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值；（4）问题的答案:回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 一、单选题 1．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 2．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 3．已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的三角形 D．等腰非等边三角形 6．某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 8．已知正八边形的边长为1，是正八边形的中心，是正八边形边上任意一点，则（    ） A．与能构成一组基底 B． C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为 三、填空题 9．已知,,现有动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,设在时分别在,处,则当时所需的时间为 . 10．如图，设中的角所对的边是，已知，，点分别为边上的动点，线段交于点，且，若，则 . 11．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 四、解答题 12．如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 13．已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳． (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 参考数据：． 14．四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 15．如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.6 向量的应用 一、证明线段垂直 四、判断三角形形状 二、求夹角问题 五、向量在物理中的应用 三、求线段长度 知识点1向量方法在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 知识点2向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. （4）功是力与位移的数量积. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 重难点一、证明线段垂直 1．菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，   为菱形，设其对角线与交于点， 则为的中点，， 因为，， 所以， 所以，即， 即菱形的对角线互相垂直. 2．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 3．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【详解】（1）. （2）， ，. 4．在中，，对任意，有. （1）求角； （2）若，，且、相交于点.求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）等价于， 等价于，等价于. 所以， 因为，所以，又因为，所以； （2）先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，若，则. 因为、、为直线上三个不同的点，则， 可设，即，所以，， 所以，，结论成立. 本题中，由（1）知，是边长为的等边三角形，. 因为在上，设， 又因为在上，所以， 所以，，解得. 因为，， 所以 . 故，得证. 5．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 【答案】证明见解析 【详解】设=，=，=，=，=， 则=+，=+， 所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2， 由条件知：2=2﹣2+2， 所以·=·，即·(-)=0， 即， 所以AD⊥BC. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 重难点二、求夹角问题 6．已知的三个顶点分别为,求的大小． 【答案】120° 【详解】由条件可得：， 所以， 所以，所以. 7．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 8．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 【答案】 【详解】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示， 由题意知：， 故. 9．已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，， ∴，，则， 故选：D. 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查了学生的计算能力. 10．中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题. 重难点三、求线段长度 11．如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 12．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.    (1)用，表示，； (2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离. 【答案】(1)； (2)； 【详解】（1）依题意，得，点为中点，， 又，， 所以， . （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 而， 所以. 13．中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】如图，过作交于，作交于， 则，又， 所以，， 所以，即， 又是的平分线，所以，而，所以， ， ， 所以， 故选：C． 14．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则 ． 【答案】 【解析】根据题中条件，先得到，，利用向量数量积的运算法则，计算，即可求出结果. 【详解】由题可知，所以， 由可得， ， 又，， ， 所以，则． 故答案为：. 15．如图，在梯形中，已知，，，，且，则 ，梯形的周长为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以． 又因为，所以， 则，解得， 故梯形的周长为． 故答案为：； ；. 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解： 一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式求解； 二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则 重难点四、判断三角形形状 16．在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 【答案】A 【详解】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 17．在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以， 所以为等腰非等边三角形. 故选：D 18．已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)求，的坐标. (2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答. 问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由. （注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 【答案】(1)的坐标为，的坐标为 (2)答案见解析 【详解】（1）因为，故的坐标为， ，故， 所以，即的坐标为； （2）选①，为钝角三角形， 理由如下：由（1）可知，，， 因为，所以为锐角. 易得，因为，所以为锐角. 因为，所以为钝角. 故为钝角三角形. 选②，为锐角三角形. 理由如下：由（1）可知，，， 因为，所以为锐角. 易得，因为，所以为锐角. 因为，所以为锐角. 故为锐角三角形. 19．是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】因为， 由可得， 可得，整理可得，， 所以，为直角三角形. 故选：C. 20．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 【答案】(1)， (2)四边形为等腰梯形，周长为8 【详解】（1）在平面直角坐标系中，由，知， 又，， 设，则，， 点． 又， ， 点． （2）由（1）可得，，，． ，． 又，， 四边形为等腰梯形． ，，，， 四边形的周长为8． 重难点五、向量在物理中的应用 21．在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题图可知，， 则物体受到与的合力为， 所以其大小为； （2）因为，， 所以. 22．如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么 . 【答案】 【详解】作表示向西飞行，表示向东飞行， 则，， 所以，所以. 故答案为：    23．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，   ，则， 在Rt中，，从而，因此， 故游船的实际航程为. 24．一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J． 【答案】 【详解】由，得合力， 而位移，所以合力所做的功为（）. 故答案为： 25．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：    (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵河的宽度，， ∴，∴. 如图，设合速，，船在静水中的速度，则，    由题意可得，且， 又，∴在中，由余弦定理可得 （2）由（1）知，，， 由余弦定理可得. ∴. 用向量解决物理问题的一般步骤： （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题:；（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型； （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值；（4）问题的答案:回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 一、单选题 1．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【详解】如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，， 设， 则，，， ， 即当时，取得最小值5. 故选：D    2．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】解：由题意可知：， 故，则， 故，即△ABC为直角三角形. 故选：D 3．已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】因为， 所以 ； 因此. 故选：A 4．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 5．在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的三角形 D．等腰非等边三角形 【答案】D 【详解】在中，， 的角平分线与垂直， 为等腰三角形； 又， ， ， 为等腰非等边三角形. 故选：D 6．某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时， 他两只胳膊的夹角最大为 ， 设此时两只胳膊的拉力为 ,则N, 则，即有， 所以， 即， 故，故， 故选：B 二、多选题 7．在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ABD 【详解】因为中，， 对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则 所以，故A正确； 对于B，由，设，所以， 因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确； 对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故 由于，，所以，则， 所以，故C不正确； 对于D, ，故D正确； 故选：ABD 8．已知正八边形的边长为1，是正八边形的中心，是正八边形边上任意一点，则（    ） A．与能构成一组基底 B． C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】A选项，连接， ，， ， ， ， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    则， ， ， 与平行，不能构成一组基底，A错误； B选项，，，，， ，B正确； C选项，，，， 在向量上的投影向量的模长为，C正确； D选项，取的中点，则，， ，， 两式相减得：， 当点与点或重合时，最大， 最大值为， 的最大值为，D正确． 故选：BCD． 三、填空题 9．已知,,现有动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,设在时分别在,处,则当时所需的时间为 . 【答案】 【详解】由题意得,则,与其方向相同的单位向量为,,则,与其方向相同的单位向量为, 如图, 则,, 故,, 又,, ∴,, , ∴. ∵, ∴, 即,解得. 故当时所需的时间为. 故答案为:2 10．如图，设中的角所对的边是，已知，，点分别为边上的动点，线段交于点，且，若，则 . 【答案】 【详解】设， 三点共线，.① 又，.②, 由①②得或（舍去）,故， , （或者在中可以用余弦定理求出.） 故答案为： 11．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 四、解答题 12．如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 13．已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳． (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 参考数据：． 【答案】(1)方向为与水流方向成，速度为 (2)方向与水流方向成，速度为 【详解】（1）如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度．以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度． 在中，，，所以． 所以，所以． 故此人实际前进速度为，方向为与水流方向成． （2）如图②，用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度． 所以有， 所以，所以． 故此人实际前进速度为，方向与水流方向成．      图①               　　　  图② 14．四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【答案】证明见解析. 【详解】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，则， 由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令， 而，则，即，由四边形是矩形，得， 因此， 则，， 于是， 所以. 15．如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； （2）若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$