精品解析：山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

吕梁市2024-2025学年高三第一学期期末调研测试 数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签宇）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由虚部的概念即可求解； 【详解】的虚部为， 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合， 所以， 故选：B． 3. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求，再求即得. 【详解】. 故选:C． 4. 已知向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，解得，即可判断出结论. 【详解】解：由，可得：，解得， “”是“”成立的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定知识，属于基础题型. 5. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定准线，再应用几何法求圆截直线所得弦长即可. 【详解】由可变形为，其准线方程，圆心到的距离为1， 所以直线截所得的弦长为． 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两角和与差的三角函数，将，然后两边同除以，再利用求解. 【详解】由， 得， 两边同除以， 得 所以， 故选：A． 7. 已知函数，当时恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题化为在上恒成立，利用导数求右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】由，得在上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，故，即. 故选：D 8. 已知函数，若存在常数，使为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到，再由为奇函数得到，再由正弦型函数的奇偶性求参数. 【详解】解：因为， 所以， 因为存在常数，使为奇函数，则， 所以， 此时为偶函数， 所以， 因为，所以的最小值为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的通项公式为为其前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 是首项为，公差为2的等差数列 B. 是首项为，公差为1的等差数列 C. 或8时，取得最小值 D. 若，则正整数的最小值为15 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的定义判断A，利用等差数列求和公式得到，再利用等差数列的定义判断是等差数列，利用二次函数的性质判断C，求解一元二次不等式得到的取值范围判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则， 则，， 则是首项为，公差为2的等差数列，故A正确， 对于B，由等差数列求和公式得， 则，而， 故，， 则是首项为，公差为1的等差数列，故B正确， 对于C，由已证得， 由二次函数性质得当时，取最小值，故C错误， 对于D，令，即，解得， 则最小正整数为15，故D正确． 故选：ABD． 10. 如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ） A. 与一定是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线与所成角的范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】证明出平面，可知点的轨迹为线段，当点与点重合时，推导出，可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；推导出平面平面，利用面面平行的性质可判断C选项；利用异面直线所成角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、、， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，同理可证， 因为，、平面，所以，平面， 因为为四边形内（含边界）的一个动点， 故当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形， 此时，，A错； 对于B选项，连接、、、， 在正方体中，平面平面， 因为平面，所以，点到平面的距离为定值， 又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，B对； 对于C选项，连接， 因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，所以，平面，C对； 对于D选项，因为，所以，异面直线与所成角等于直线与所成的角， 易知为等边三角形，如下图所示： 当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值， 当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值， 因此，异面直线与所成角的范围为，D错. 故选：BC. 11. 定义：在平面直角坐标系中，到两定点的距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线．下图的四叶花瓣曲线可看作由双纽线绕原点旋转后所得曲线与双纽线共同组成．下列说法正确的是（ ） A. 双纽线的方程为 B. 若为双纽线上任意一点，则的最大值为 C. 直线截四叶花瓣曲线所得弦长的最大值为 D. 阴影区域的面积不小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项直接设点坐标代入求轨迹方程化简可得；B项由向量数量积定义式及三角函数有界性可得；C项由极化恒等式转化求最大值即可；D项，借助特殊点，由对称性与面积不等关系求解可得. 【详解】设为曲线C上任一点，， A选项，， 因为，所以， 展开可得， . ， 展开， 整理得，故A正确； B选项，因为点为双纽线上任意一点， 所以，即， 故，故B错误； C选项， ，即， 当点与端点或重合时，等号成立. 即，由直线过原点，与双纽线均为中心对称图形， 所以直线截四叶花瓣曲线所得弦长的最大值为，故C正确； D选项，由双纽线定义可知， ， 则，所以， 因为，所以， 双纽线方程， 令得，所以曲线C与x轴交于除原点之外的两点， 令，解得， 如图，不妨取双纽线上第一象限的点， 所以阴影区域的面积，故D正确， 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于极化恒等式的应用，在求向量的数量积时，极化恒等式可以将数量积转化为模长的运算. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和为，若，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由，的关系即可求解； 【详解】由， 故答案为：4． 13. 若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设为圆台的母线长，根据，结合勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体表面积公式求解即可. 【详解】如图，为圆台的母线长，分别为上，下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点． 则由题意可得：， ． 因此可得：内切球半径，即得内切球的表面积为． 故答案为：． 14. 已知．分别是双曲线的左，右焦点，以（为坐标原点）为直径的圆与双曲线的渐近线交于点与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由是的中点，得到为的中点，再由，得到点到渐近线的距离为b，从而，然后连接，利用双曲线的定义，在中，利用余弦定理求解. 【详解】解：如图所示： 因为是的中点，所以为的中点， 由题意，得，所以点到渐近线的距离，又，所以， 连接，易知， 则由双曲线的定义可知， 在中，由余弦定理，得， 整理，得，所以双曲线的离心率． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三棱锥中，平面，且平面平面为棱的中点，过点作交于点，连接． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的大小为，求的值． 【答案】（1）因为为PC的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 平面，因此． 由平面平面，得． 又平面，所以平面， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）由条件先确定平面，再结合，即可求证； （2）建系，由确定平面法向量，代入夹角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，射线分别为轴的正半轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系． 设，则， 由于平面，所以是平面的一个法向量， 由（1）知，，又平面，所以，平面，所以是平面的一个法向量． 若面与面夹角的大小为， 则， 解得，所以． 故当平面与平面的夹角的大小为时，． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）若为函数的极值点，则称为函数的“靓点”．证明：上任意一点都有可能成为的“靓点”． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）当时，无极值；当时，，无极大值． （3）由（2）知， 故的“靓点”为， 令，则，所以的“靓点”为，在曲线上， 因为，故上任意一点都有可能成为的“靓点”． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，分别谈论和，然后由得到函数的增减区间； （2）由（1）中的单调性分别求出对应情况的极值； （3）由（2）得到函数的“靓点”，分析函数的“靓点”的坐标满足解析式即可证明. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 【小问2详解】 由（1）知当时，恒成立，此时无极值． 当时，由（1）知， ，无极大值． 综上，当时，无极值； 当时，，无极大值． 【小问3详解】 略 17. 记的内角的对边分别为，已知为锐角． （1）求证：； （2）求； （3）若，四边形内接于圆，求面积的最大值． 【答案】（1）因为，由正弦定理， 得， 所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角即可求证； （2）由（1）结合内角和可得，进而可求解； （3）法一：由余弦定理结合基本不等式求得最大值即可求解；法二：在四边形的外接圆内考虑， 是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大，进而可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 即 所以， 由得， 所以，所以或， 因为为锐角，所以． 【小问3详解】 法一：在中， 所以， 由， 得， 所以，（等号当时取得）． 所以面积为， 即所求最大值为． 法二：在四边形的外接圆内考虑，因为 则的外接圆直径为， 是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大， 此时最大距离为圆心到距离加半径2， 在直角三角形中可知，圆心到距离为， 所以高的最大值为， 所以面积的最大值为． 18. 已知椭圆经过两点． （1）求椭圆的方程； （2）已知点是椭圆上关于原点对称的两点，连接交椭圆于点（异于点），若直线过点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）法一：设，根据T，P，N三点共线，求出的关系，联立，利用韦达定理求出，，进而可求出，即可得解. 法二：设，联立，利用韦达定理求出，，证明，则直线关于轴对称，进而可得出答案. 【小问1详解】 由题意，得，又因为，所以， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 法一：由题意，得直线斜率不为0， 故设，则， 由T，P，N三点共线，得， 即， 所以① 由，得， 所以②，③， 联立①②③可得， 由对称性可知两种情况面积相同，故只考虑， 此时， ． 法二：由题意，得直线斜率不为0， 故设，则， 由，得， 所以， 所以 ， 即，所以直线关于轴对称， 即M关于轴的对称点在直线上， 又关于原点对称，为轴上一点，所以分别为上，下顶点， 由于对称性，只需研究N为下顶点即可， 此时，联立椭圆即得， ． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；一直继续下去，得到数列． （1）求证：； （2）若函数，记． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：函数在点处的切线斜率为， 所以函数在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 解得. （2）（i）；（ii）不存在，理由：由（ⅰ）知， 所以， 所以． 假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列， 则互不相等， 所以，即， 又因为成等差数列，所以，所以． 化简得，所以，又， 所以与已知矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 【解析】 【分析】（1）根据函数在点处的切线斜率为，写出函数在点处的切线方程，再由切线过点求解； （2）（ⅰ）根据，利用结论求解；（ⅱ）由（ⅰ）得到，从而，然后假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列，即互不相等求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以， ， ， 则， 又，则是以2为首项，2为公比的等比数列，； （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：先利用为首项，为末项求得，然后利用反证法，假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列，利用等比中项论证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吕梁市2024-2025学年高三第一学期期末调研测试 数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签宇）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知函数，当时恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在常数，使为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的通项公式为为其前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 是首项为，公差为2的等差数列 B. 是首项为，公差为1的等差数列 C. 或8时，取得最小值 D. 若，则正整数的最小值为15 10. 如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ） A. 与一定是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线与所成角的范围为 11. 定义：在平面直角坐标系中，到两定点的距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线．下图的四叶花瓣曲线可看作由双纽线绕原点旋转后所得曲线与双纽线共同组成．下列说法正确的是（ ） A. 双纽线的方程为 B. 若为双纽线上任意一点，则的最大值为 C. 直线截四叶花瓣曲线所得弦长的最大值为 D. 阴影区域的面积不小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和为，若，则_______． 13. 若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为_______． 14. 已知．分别是双曲线的左，右焦点，以（为坐标原点）为直径的圆与双曲线的渐近线交于点与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三棱锥中，平面，且平面平面为棱的中点，过点作交于点，连接． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的大小为，求的值． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）若为函数的极值点，则称为函数的“靓点”．证明：上任意一点都有可能成为的“靓点”． 17. 记的内角的对边分别为，已知为锐角． （1）求证：； （2）求； （3）若，四边形内接于圆，求面积的最大值． 18. 已知椭圆经过两点． （1）求椭圆的方程； （2）已知点是椭圆上关于原点对称的两点，连接交椭圆于点（异于点），若直线过点，求的面积． 19. 如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；一直继续下去，得到数列． （1）求证：； （2）若函数，记． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $