精品解析：贵州省铜仁市碧江区第十一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年度秋季学期（半期）质量监测 九年级数学（湘教版） （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2.答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3.所有题目必须在答题卡上作答、在试题卷上答题无效； 4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在反比例函数中，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 全体实数 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线m，n与直线a，b，B，C，点D，E，F，其中，若，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象第一、三象限内 C. 随的增大而增大 D. 若，则 5. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（ ） A. B. C. 点A，O，三点在同一条直线上 D. 6. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 函数y=kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图像可能是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 12. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 若函数的图象经过点和，则m的值为______． 14. 已知 ，则点H是的黄金分割点（），________． 15. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根．则的值为______． 16. 如图，菱形的对角线与分别为8，6，过点O作交于点E、连接，交于点F，过点作交于点G，则________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解下列方程 （1） （2）． 18. 如图，，若，，求的长． 19. 已知反比例函数常数，． （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 20. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 21. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 22. 2024巴黎奥运会吉祥物“”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个． （1）若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为________个； （2）若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？ 23. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数解析式和的值； （2）求的面积． （3）双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标． 25. 阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形中，E边上一点，F为延长线上一点，且． （1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度秋季学期（半期）质量监测 九年级数学（湘教版） （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2.答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3.所有题目必须在答题卡上作答、在试题卷上答题无效； 4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在反比例函数中，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数中自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故选：C． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义，必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是二元二次方程，不合题意． 故选：B． 3. 如图，直线m，n与直线a，b，B，C，点D，E，F，其中，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线， ∴， 故选：B． 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 随的增大而增大 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 反比例函数，，图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而求解即可． 【详解】解：反比例函数，， A：当时，，图象必经过点，故此选项符合题意； B：图象位于第二、四象限，故此选项不合题意； C：在每个象限内，随的增大而增大，故此选项不合题意； D：当时，，故此选项不合题意．   故选：A ． 5. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（ ） A. B. C. 点A，O，三点在同一条直线上 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质、相似三角形的性质，利用位似图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴,，，点A，O，三点在同一条直线上， ∴， 故选项A错误，符合题意，选项B、C、D正确，不符合题意， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的一元二次方程有实数根，则，然后求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征．分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数，求出的值，再根据比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 8. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、再方程两边同时加上即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 9. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：C． 10. 函数y=kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y=kx-3和y=（k≠0）经过的象限，二者和选项一致的即为正确答案． 【详解】解：∵当k＞0时，y=kx-3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、三象限， 当k＜0时，y=kx-3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限， ∴B正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 11. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 12. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数系数得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵函数图象经过点和， ∴， ∴． 故答案为：3 14. 已知 ，则点H是的黄金分割点（），________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 设，由，得，根据点H是的黄金分割点，得代入计算即得． 【详解】设， ∵， ∴， ∵点H是黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是原方程的根， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义及根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，即得，进而可得，据此即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，菱形的对角线与分别为8，6，过点O作交于点E、连接，交于点F，过点作交于点G，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形性质以及勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得答案； （2）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， 则， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：，，， ， 则， 即， 18. 如图，，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得出比例式代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， 答：的长为． 19. 已知反比例函数常数，． （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点不在这个函数的图象上，理由见解析． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时，的值，再比较即可得出答案； 本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时， ∴这个解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 20. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析， 【解析】 【分析】此题考查的是作关于x轴对称的图形和作位似图形，掌握位似图形的性质是解决此题的关键． （1）分别找出A、B、C关于轴对称点，然后连接，如图所示， 就是所求三角形； （2）连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接，如图所示， 就是所求三角形，再结合的位置，可得其坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； ∵， 与位似，且位似比为2， ∴． 21. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【小问1详解】 解：设，由题意知 ，即； 【小问2详解】 当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 22. 2024巴黎奥运会吉祥物“”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个． （1）若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为________个； （2）若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？ 【答案】（1）39 （2）每个玩偶应售价30元 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用．熟练掌握有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据每件玩偶降价3元，则当天的销售量为，计算求解即可； （2）设每件玩偶应降价元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：（元）； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价元， 依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵为扩大销售，该商店准备适当降价出售， ∴不符合题意； ∴当平均每天的利润为元，则每个玩偶售价为30元． 23. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】（1）； （2）1 （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； （2）求的面积． （3）双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，； （2）； （3）存在点或，使得． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法可求出反比例函数解析式，进而把代入计算即可求出的值； （）利用待定系数法可求出一次函数的解析式，进而求出点坐标，可得的长，再根据计算即可求解； （）由，可得，当点在的平分线上时，，可证，得到，延长交抛物线于点，可得，又由可得平分，可得点在直线上，最后联立函数解析式解方程组即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 把、代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：双曲线上存在点或，使得，理由如下： ∵点坐标为，点坐标为， ∴， 当点在的平分线上时，， ∵， ∴， ∴， 延长交直线于点， ∵，平分， ∴， 把代入得，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴点在直线上， 由，解得或， ∴点的坐标为或， 即双曲线上存在点或，使得． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 25. 阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且． （1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，证明，得出，在利用三角形内角和定理证明出，即可解答； （2）延长交于点H，由折叠得，点D与点关于对称，得出，再证明，得出； （3）连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M，证明出，得到，，再证明，利用相似比求出，再求出，利用对角线互相垂直的四边形面积公式即可解答此问． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1， 延长交于点H， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ，即； （2），理由如图下： 如图2， 延长交于H， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，点D与点关于对称， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）如图3，连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M， ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合．矩形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转对称性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线，是本题的解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$