精品解析：湖南省衡阳市船山实验中学2024-2025学年八年级上学期数学期中测试卷

2024年11月CS期中试卷 八年级数学 一．选择题（共30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，，，（相邻两个之间个数逐次加）这些数中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知关于x的多项式是某一个多项式的平方，则a的取值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如果，那么的值是（ ） A B. 1 C. 23 D. 7. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 若，则 D. 对顶角相等 9. 在中，、分别平分、，过点D作直线平行于，分别交，于点E、F，若，，则线段长是（ ） A. 4 B. 3 C. 7 D. 8 10. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（ ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题（共24分） 11. 已知，则______． 12. 已知，若的周长为20，，，则的长为________． 13. 计算：_________． 14. 计算：______． 15. 分解因式：________． 16. 如图，是等边三角形的中线，且，延长至E，使，连接，则的长是______． 17. 如图，所在直线是的对称轴，是上的两点．若，则图中阴影部分的面积是_______． 18. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点．下列结论：①；②；③当为中点时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的是______（填序号）． 三．解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，的两条高，交于点F，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 22. 已知多项式，A与B的乘积中不含有x项，常数项是， （1）求m，n的值． （2）求的值． 23. 如图，，，，，垂足为F． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 24. 数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题： （1）小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片 张，B纸片 张，C纸片 张（空格处填写数字） （2）①观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：_______________. ②根据①中的关系，若x满足，则的值为 ． （3）已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 25. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空： ①______； ②______； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 26. 如图，四边形的各内角均为直角，，点M、N分别是中点．动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作于点H，连结．设点P运动时间为t秒． （1）当点P运动到中点时，求证：． （2）若点P以每秒2个单位长度速度运动． ①如图①，当点P在边上时， ．（用含t的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合），易知，若，求t的值． （3）若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当时，恰好与全等，直接写出所有满足条件的x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年11月CS期中试卷 八年级数学 一．选择题（共30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：． 2. 在，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义；解题的关键是熟记常见无理数：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数；理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中， 无理数有：，（相邻两个之间的个数逐次加），共2个， 故选：B． 3. 已知关于x的多项式是某一个多项式的平方，则a的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，完全平方公式，同底数幂乘法计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此判断即可． 【详解】解：①符合平方差公式的特点； ②不符合平方差公式的特点； ③，符合平方差公式特点； ④，符合平方差公式的特点； ⑤不符合平方差公式的特点； ⑥，符合平方差公式的特点； ∴符合平方差公式特征的有个． 故选：C． 6. 如果，那么的值是（ ） A. B. 1 C. 23 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多形式与多形式的乘法，先根据多形式与多形式的乘法法则把左边化简，与右边比较求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：． ， ，， ． 故选：B． 7. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形性质得：是边a和c的夹角， ∴， 故选：D． 8. 下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 若，则 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】先写各个选项的逆命题，再判定真假． 【详解】解：A：逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； B：逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题； C：逆命题为：若，则，是假命题； D：逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 9. 在中，、分别平分、，过点D作直线平行于，分别交，于点E、F，若，，则线段的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定．由平行线的性质可求出，．根据角平分线的定义可得出，，从而得出，，进而得出，，最后即可求出的长． 【详解】解：， ，． 和分别平分和， ，， ，， ，， ． 故选：C． 10. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定之边边角问题，边边角在某些情况下得到的图形是唯一的，而有些情况却有两种情况，解题关键是确定所得的图形是否只有一种画法，据此分别判断①②③即可． 【详解】解：如图，Q点位置有两个，故①错误； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故②正确； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故③正确；   故选：C ． 二．填空题（共24分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，先由算术平方根的非负性求出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 12. 已知，若的周长为20，，，则的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，先求出，再由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵的周长为20，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，根据积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用进行求解即可，熟练掌握积的乘方的逆用和同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案：． 15. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式2，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 16. 如图，是等边三角形的中线，且，延长至E，使，连接，则的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定是解决问题的关键． 先求出，再求出，证出，得出． 【详解】解：是等边三角形， ∴． ∵是中线， （等腰三角形三线合一）． 又， ． 又， ， ， （等角对等边）． 故答案为4． 17. 如图，所在直线是的对称轴，是上的两点．若，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】关于直线对称， 关于直线对称， 关于直线对称，， ． ， ． 18. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点．下列结论：①；②；③当为中点时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①根据三角形外角和、角的和差以及等量代换即可得证； ②根据已知条件不能证明； ③根据等腰三角形的三线合一、三角形内角和以及外角和即可得证； ④分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形外角和即可得出结论． 【详解】解：①, ，故①正确； ②点为线段上一动点 不能证明，故②错误； ③为中点， ， 由①知， 即，故③正确； ④由①知， 当时， , ； 当时， 此时不成立； 当时， 综上所述，当为等腰三角形时，或，故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和及外角和，正确的识别图形是解题的关键． 三．解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根与立方根，化简绝对值以及有理数的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先算括号里，再算除法，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 21. 如图，的两条高，交于点F，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）先通过导角证明，再根据“边边角”证明； （2）根据全等三角形对应边相等，即可求解． 【小问1详解】 证明：的两条高，交于点F， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， ． 22. 已知多项式，A与B的乘积中不含有x项，常数项是， （1）求m，n的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为，列方程即可得到答案； （2）把代入利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是， ∴， ∴， 把，代入，解得：， 故，； 【小问2详解】 根据（1）可知，， ∴， ． 23. 如图，，，，，垂足为F． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据证明即可； （2）根据，，求出，根据全等三角形性质得出，根据，得出，即可求出； （3）延长到，使得，连接，由得，证明，得出，根据，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：；理由如下： 延长到G，使得，连接，如图所示： ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ． 24. 数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题： （1）小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片 张，B纸片 张，C纸片 张（空格处填写数字） （2）①观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：_______________. ②根据①中的关系，若x满足，则的值为 ． （3）已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）3，1，4 （2）①；②7 （3）12 【解析】 【分析】(1)由可知需A纸片3张，B纸片4张，C纸片1张. (2) ①根据面积法即可求出，，之间的等量关系. ②可设，，则可得，.由即可求出的值. (3)由图可知，且.设，，则，.由可求出的值，再根据即可求出阴影部分的面积. 【小问1详解】 解：由图知A纸片面积为，B纸片面积为，C纸片面积为， ∵ ∴需要A纸片3张，B纸片4张，C纸片1张 ； 故答案为：3，4，1 【小问2详解】 解：①根据面积法可得 故答案为： ②设，，则， ∵， ∴， 故答案为：7 【小问3详解】 解：由图知 ∵长方形的面积是8， ， 设 则， 由，得 ， 即， ∴阴影部分的面积为12 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，及完全平方公式的变形使用，熟练掌握完全平方公式及能够用换元法解题是解题的关键. 25. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空： ①______； ②______； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）①10；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式，读懂定义及其运算法则是解题的关键． （1）①按照定义及平方差公式计算即可； ②按照定义及完全平方公式计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，4个一组，剩下三项，单独计算这三项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案． 【小问1详解】 解：（1）①； ②； 故答案为：①10；②； 【小问2详解】 解：， 又是的共轭复数， ，， ； 【小问3详解】 解：， ，即， ，， ，， ， ∵， ， ． 26. 如图，四边形的各内角均为直角，，点M、N分别是中点．动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作于点H，连结．设点P运动时间为t秒． （1）当点P运动到中点时，求证：． （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时， ．（用含t的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合），易知，若，求t的值． （3）若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当时，恰好与全等，直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 （3）1，3，5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【小问1详解】 解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时，． 故答案为：； ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． 【小问3详解】 解：若点P以每秒x个单位长度的速度运动，时， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$