7.2.2复数的乘、除运算学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2　复数的乘、除运算 ［学习目标］　1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律.2.会在复数范围内解方程.3.了解in的周期性. 一、复数乘法的运算法则和运算律 问题1　类比多项式的乘法，我们该如何定义两个复数的乘法呢？ 问题2　类比实数乘法的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想. 知识梳理 1.复数的乘法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+ bci+adi+bdi2=___________. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=　　　  结合律 (z1z2)z3=　　　　  乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=　　　　  例1　计算下列各题. (1)(1-i)(1+i)+(2+i)2； (2)(2-i)(2+11i)(3-4i). 跟踪训练1　(1)计算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)等于(　　) A.2i-13 B.13+2i C.13-2i D.-13-2i (2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1) B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D.(-1，+∞) 二、复数代数形式的除法运算 问题3　类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 知识梳理 复数除法的法则是：(a+bi)÷(c+di)=　　　　　　(a，b，c，d∈R，且c+di≠0).  复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型，则分子、分母同乘a+bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数. 例2　(1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为(　　) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i (2)计算：=　　　　.  跟踪训练2　设复数z满足=i，则|z|等于(　　) A.1 B. C. D.2 三、在复数范围内解方程 例3　已知1+i是方程x2+bx+c=0(b，c为实数)的一个根. (1)求b，c的值； (2)试判断1-i是不是方程的一个根. 延伸探究　若将条件中的“1+i”改为“1+ai”，判断a与c之间的关系. 反思感悟　解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用. 跟踪训练3　已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，求这个实根及实数k的值. 四、in的周期性及其应用 例4　已知i是虚数单位，复数z=+i2 027在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 反思感悟　in的周期性中常用结论 i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*). 跟踪训练4　已知复数z满足z(1+i)=i2 025，则复数z的共轭复数等于(　　) A.-+i B.i C.-i D.-i 1.知识清单： (1)复数的乘法及运算律. (2)复数的除法运算. (3)在复数范围内解方程. (4)in的周期性. 2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法. 3.常见误区：分母实数化时忽视i2=-1造成运算错误. 1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i，则(　　) A.a=1，b=1 B.a=-1，b=1 C.a=-1，b=-1 D.a=1，b=-1 2.在复平面内，复数+(1+i)2对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.方程x2+3=0在复数范围内的解为x=　　　　.  4.计算：(1)+(1+2i)2=　　　　；  (2)+++=　　　　.  答案精析 问题1　复数的乘法法则如下： 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 问题2　猜想： 对于任意z1，z2，z3∈C，有： (1)交换律：z1z2=z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)； (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明： 设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， z3=a3+b3i. (1)∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i， 且a1a2-b1b2=a2a1-b2b1， b1a2+a1b2=b2a1+a2b1， ∴z1z2=z2z1. (2)∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i］·(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i， 同理可得：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i， ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］ =(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i， z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i， ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 知识梳理 1.(ac-bd)+(ad+bc)i 2.z2z1　z1(z2z3)　z1z2+z1z3 例1　解　(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2 =1-i2+4+4i+i2 =5+4i. (2)(2-i)(2+11i)(3-4i) =(4+22i-2i-11i2)(3-4i) =(15+20i)(3-4i)=5(3+4i)(3-4i) =5×(9+16)=125. 跟踪训练1　(1)D　(2)B 问题3　复数除法的法则： (a+bi)÷(c+di)=+i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 求解过程： (1)设复数a+bi(a，b∈R)除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi. ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i， ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等，可知 解这个方程组，得 于是有(a+bi)÷(c+di)=+i. 实际过程中一般采用下面的过程： (2)利用(c+di)(c-di)=c2+d2. 于是将的分母实数化得： 原式== = = =+i. ∴(a+bi)÷(c+di)=+i. 知识梳理 +i 例2　(1)A　［∵z(2-i)=11+7i， ∴z== ==3+5i.］ (2)-2+i 解析　方法一　====-2+i. 方法二　= = == ==-2+i. 跟踪训练2　A 例3　解　(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根， 且b，c为实数， ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0， 即b+c+(2+b)i=0， ∴解得 (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0， 把1-i代入方程， 左边=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边， 即方程成立.∴1-i是方程的一个根. 延伸探究　解　因为实系数复数方程的两根互为共轭复数， 所以另一根为1-ai， 所以(1+ai)(1-ai)=c，即1+a2=c. 故a与c之间的关系为1+a2=c. 跟踪训练3　解　设x=x0是方程的实根，代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0. 由复数相等的条件得 解得或 ∴方程的实根为x=或x=-， 相应的k的值为k=-2或k=2. 例4　C　［因为z=+i2 027=+(i4)506·i3=-2-i，所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为(-2，-1)，位于第三象限.］ 跟踪训练4　D 随堂演练 1.D　2.B　3.±i 4.(1)-2+4i　(2)0 学科网（北京）股份有限公司 $$