专题01：集合、不等式、复数15种考法专项训练-2025届上海市高三数学二轮复习

2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专项训练 专题01 集合 不等式 复数15种考法 考法1：元素与集合关系 1．（2022进才中学高三期中）已知集合，若，则实数的值为___________. 2．已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 4．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．7 6．（2023交大附中高三练习）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 7（2023•徐汇区三模）对任意数集，，，满足表达式为且值域为的函数个数为．记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 　　． 考法2：集合与集合的关系 8．已知集合，，若，则______. 9．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（    ） A． B． C．1 D．3 10．（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 12．（2022·上海·高三专题练习）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（       ） A．12 B．14 C．15 D．16 13．（2023秋•闵行区校级期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②，； ③，，；④，，． 与集合相等的集合序号是 　　． 考法3：集合的运算 14．（2023年北京高考数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·上海金山·二模）已知集合，，则 ． 16．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合，，，则　　． 17．若，，则=（    ） A． B． C． D． 19．（上海市七宝中学2023届高三5月第二次模拟）已知集合，集合，则 ． 20．（上海市黄浦区2023届高三上学期一模）已知集合，，则 . 21．（上海市徐汇区2023届高三二模）已知集合，，则 . 22．（2022秋•上海期末）已知全集，集合，．求，． 23．（2023秋•静安区校级月考）设非空集合，，定义集合．且，则集合是　　 A． B． C． D． 24．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________. 25．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 26．（2023秋•宝山区校级月考）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是　　 A． B． C． D． 考法4：集合的新定义 27．（2020·上海青浦·一模）设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法： （1）一定有； （2）若，则； （3）一定有； （4）若，则. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（2022·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(       ) A．、中至少有一个关于乘法是封闭的 B．、中至多有一个关于乘法是封闭的 C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．、中每一个关于乘法都是封闭的 29．（2022·上海·模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________． 30．用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．9 考法6：命题的真假及否命题 31．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ． 32．（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 33．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 考法7：充分条件与必要条件 34。．（2024·上海闵行·二模）设，则“”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 35．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 36．（2021·上海虹口·二模）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ）条件 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 37．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 38．（2024•嘉定区校级模拟）“”是“”的　　条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要 39．（2024•宝山区三模）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件 40．（2023·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________． 41．已知命题，若是的充要条件，则 ． 42．已知，，若是的必要条件，则范围是_______. 考法8：不等式与不等式的性质 43．（2022·上海春考12）已知 ，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 44．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（2023秋•静安区校级期末）已知，以下不等关系不一定成立的是　　 A． B． C． D． 46．（上海市金山区2023届高三二模）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 47．（上海市2023届高三上学期统一模拟）已知，那么在下列不等式中，不成立的是 A． B． C． D． 考法9：解不等式 48．一元二次不等式的解集为 . 49．（上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三冲刺模拟4）设关于的不等式的解集为，则 . 50．（上海市2023届高三模拟）不等式的解集是 . 51．（2024·上海徐汇·二模）已知集合，集合，那么 . 52．（上海市曹杨第二中学2023届高三模拟）不等式的解集是 ． 53．（2023·上海崇明·统考二模）若不等式，则x的取值范围是____________． 54．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________． 55．（2024•浦东新区校级模拟）设集合，则　　． 56．（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 考法10：基本不等式 57．（2020年上海卷13）下列等式恒成立的是（　　） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2 D．a2+b2≤﹣2ab 58．下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 59．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 60．若实数满足，则的最小值为 ． 61．（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ． 62．（2024·高三·天津河北·期末）已知，则的最小值为 . 63．（2024·高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 64．设为正实数，且，则的最小值为 . 65．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 66．（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 考法12：复数的概念 67．(2024闵行区二模)复数（其中为虚数单位）的虚部是 . 68．(上海市闵行区2023届高三二模)已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为 ． 69．(上海市七宝中学2023届高三三模)已知复数满足，则复数的虚部为 . 70．(上海市黄浦区2023届高三上学期一模)已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于 . 71．(上海交通大学附属中学2023届高三三模)复数的模为 ． 考法13：复数的运算 72．(上海市杨浦区2023届高三二模)复数的虚部是 73．（2023·上海崇明·统考二模）设复数z满足（i为虚数单位），则____________． 74．（2024·上海杨浦·二模）计算 （其中为虚数单位）. 考法14：共轭复数与复数的几何意义 75．（2023嘉定）已知复数，其中是虚数单位，则 . 76．（2024·上海金山·二模）已知复数满足，则的模为 ． 77．(上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模)在复平面内，复数z所对应的点为，则 ． 78．(上海市浦东新区2023届高三三模)已知复数满足，则 ． 79．(上海市长宁区2023届高三上学期一模)复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为 80．(上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺（3）)已知复数，其中.则的最小值为 . 考法15：实系数一元二次方程 81．(上海市嘉定区第一中学2023届高三三模)已知复数x满足方程，那么 . 82．(上海市普陀区2023届高三二模)设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专项训练 专题01 集合 不等式 复数15种考法 考法1：元素与集合关系 1．（2022进才中学高三期中）已知集合，若，则实数的值为___________. 【答案】## 【分析】依题意可得或，求出的值，再代入检验即可. 【解析】解：因为且， 所以或， 解得或， 当时，此时不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意； 故答案为： 2．已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得且，解得． 故选：A 3．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【解析】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或， 故选：C. 4．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，则，则中元素的个数为 故选：C 5．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】C 【解析】根据题意，因为，， 所以. 故选：C. 6．（2023交大附中高三练习）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【答案】C 【解析】根据条件分别令，解得， 又，所以，， 所以集合B中所有元素之和是， 故选：C． 7（2023•徐汇区三模）对任意数集，，，满足表达式为且值域为的函数个数为．记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 　　． 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合，进而求得答案作答． 【解答】解：，， 当或时，，当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值0， 当时，该函数取得极小值，图象如图， 观察图象知，当，2，与图象有一个公共点时，相应的有1种取法， 当，2，与图象有两个公共点时，相应的有种取法， 当，2，与图象有三个公共点时，相应的有种取法， 直线，，与函数图象的交点个数可能的取值为： ，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，3，，，2，，，3，，，3，， 对应的函数个数为1，3，7，，，，，，， 集合中元素之和为： ． 故答案为：643． 【点评】本题考查元素与集合的关系、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 考法2：集合与集合的关系 8．已知集合，，若，则______. 【答案】或0 【分析】由题可得或，解出即可. 【解析】因为，所以或，解得或. 又由集合中元素的互异性，排除，所以或0. 故答案为：或0. 9．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【解析】由已知得,若,解得， 此时，符合题意; 若,解得, 此时,不符合题意; 若,解得,此时,不符合题意, 综上所述,. 故选:C. 10．（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，. 要使，只需，解得：. 故选：A 11．已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 【答案】1或 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【解析】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 12．（2022·上海·高三专题练习）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（       ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】结合非空真子集个数()的算法即可. 【详解】，所以集合的非空真子集的个数为， 故选：B. 13．（2023秋•闵行区校级期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②，； ③，，；④，，． 与集合相等的集合序号是 　　． 【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合一致即可． 【解答】解：对于①．，设，，，则，不妨取，，可知，而，，显然，故①的集合与不相等； 对于②．令，，，则，显然，但，，故②的集合与不相等： 对于③．当，，，时，，故③的集合与不相等； 对于④．令，，，，，，， 其中，，，故④的集合与相等． 故答案为：④． 【点评】本题考查了集合的新定义，关键在于学生对概念的理解，属中档题． 考法3：集合的运算 14．（2023年北京高考数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 15．（2024·上海金山·二模）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】计算出集合后，利用交集定义即可得. 【详解】由，故. 故答案为：. 16．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合，，，则　　． 【分析】根据指数、对数函数的性质可解集合、，再利用集合的交集运算可解． 【解答】解：因为集合，，， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题． 17．若，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合、，再根据集合的交集运算可得答案. 【解析】若，， 则. 故选：B. 19．（上海市七宝中学2023届高三5月第二次模拟）已知集合，集合，则 ． （答案） （详解）因为，， 所以， 故答案为： 20．（上海市黄浦区2023届高三上学期一模）已知集合，，则 . （答案） （详解） 如图所示，则. 故答案为：. 21．（上海市徐汇区2023届高三二模）已知集合，，则 . （答案）/ （详解），， 所以. 故答案为： 22．（2022秋•上海期末）已知全集，集合，．求，． 【分析】根据补集，交集，并集的定义进行计算即可． 【解答】解：，． ，则或， 或， 则或． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，交、并、补的定义是解决本题的关键，是基础题． 23．（2023秋•静安区校级月考）设非空集合，，定义集合．且，则集合是　　 A． B． C． D． 【分析】准确理解新定义，根据定义先求，再结合定义求． 【解答】解：因为，，所以，， 所以． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题． 24．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________. 【答案】 【分析】通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合，，用列举法表示集合，再结合补集的定义，即得解 【解析】由题意，，又 又 由于，又 故 故答案为： 25．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图表示的集合运算作答． 【解析】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为， 故选：C． 26．（2023秋•宝山区校级月考）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是　　 A． B． C． D． 【分析】由图可得，集合表示，的交集与的补集的交集，从而得到答案． 【解答】解：由图可得， 集合表示，的交集与的补集的交集，即． 故选：． 【点评】本题考查交集、补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 考法4：集合的新定义 27．（2020·上海青浦·一模）设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法： （1）一定有； （2）若，则； （3）一定有； （4）若，则. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可. 【解析】函数是分段函数，故一定成立，因此说法（3）正确； 对于（1）：当时，根据已知的规定，有， 显然，因此说法（1）不正确； 对于（4）：当时，显然满足成立， 根据已知的规定，有， 显然，因此说法（4）不正确； 对于（2）来说，当时，不一定成立，故当 时，显然一定成立，因此说法（2）正确， 所以只有（2）（3）说法正确. 故选：B 28．（2022·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(       ) A．、中至少有一个关于乘法是封闭的 B．、中至多有一个关于乘法是封闭的 C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．、中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集、的并集，如为奇数集，为偶数集，或为负整数集，为非负整数集进行分析排除即可． 【详解】若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C； 若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D； 从而可得、中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确. 故选：A． 29．（2022·上海·模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________． 【答案】 【分析】由题意可得，，结合题意分类讨论确定集合． 【详解】∵，则，即，则 若，则取，则 若，则取，则， 经检验满足题意 ∴ 故答案为：． 30．用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论． 【解析】由已知，又，所以或， 又中显然是一个解，即，因此，所以， 所以有两个相等的实根且不为0， ，，经检验符合题意，， 所以． 故选：C． 考法6：命题的真假及否命题 31．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】对于，， 当时，对于，，则可取任意负数，如； 故答案为：. 32．（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若命题“，”是真命题，可得即可； 易知在上单调递增， 所以，可得； 又因为该命题是假命题，所以可得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 33．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 考法7：充分条件与必要条件 34。．（2024·上海闵行·二模）设，则“”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，或，不能推出有成立； 当时，则，必有成立， 故“”是“”的必要非充分条件， 故选：B 35．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 36．（2021·上海虹口·二模）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ）条件 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】当时，，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当为偶函数时，，，从而可得结果. 【解析】当时，， ∵，∴为偶函数. 当为偶函数时，，， 综上所述是为偶函数的充分不必要条件， 故选：A. 37．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：，，解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，， 当时，，不满足；当时，，不满足； 当时，，若，则需； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 38．（2024•嘉定区校级模拟）“”是“”的　　条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可． 【解答】解：时，，，所以，充分性成立； 时，或，解得或，此时都满足题意，所以必要性不成立； 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：． 【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，也考查了组合数公式应用问题，是基础题． 39．（2024•宝山区三模）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件 【分析】根据已知条件，推得，，，再对分类讨论，即可判断充分性；结合等比数列的前项和公式，即可判断必要性． 【解答】解：若，且， 则，，，故， 当或时，，，则， 当时，“，总有”， 当时，，，即， 综上所述，恒成立，故充分性成立， “，总有”， 则，且，故必要性成立， 综上所述，“，且”是“，总有”的充分必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 40．（2023·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】“”是“”的充分条件，，， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 41．已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【解析】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 42．已知，，若是的必要条件，则范围是_______________________. 【答案】 【分析】先求得集合，把是的必要条件，转化为，结合集合的包含关系，即可求解. 【解析】由题意，集合，， 因为是的必要条件，即，可得，可得， 所以实数范围是. 故答案为：. 考法8：不等式与不等式的性质 43．（2022·上海春考12）已知 ，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小 【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d<b+c，故A错误； 对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确； 对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad<bc，故C错误； 对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac<bd，故D错误. 故答案为：B 【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解. 44．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 45．（2023秋•静安区校级期末）已知，以下不等关系不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】对于，利用不等式的性质判断； 对于，当时，由指数函数的单调性知不能判断与的大小关系，当时显然不成立； 对于，利用的单调性判断； 对于，可将与1比大小． 【解答】解：由，得，故正确； 当时，根据指数函数的单调性知，当时，，当时，，当时，，故错误； 因为为增函数，， 则，故正确； 因为， 所以，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查等式与不等式的性质，属于基础题． 46．（上海市金山区2023届高三二模）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． （答案）D （详解）由题意，，所以，故D正确； 当，时，，但，，，故A，B，C错误. 故选：D. 47．（上海市2023届高三上学期统一模拟）已知，那么在下列不等式中，不成立的是 A． B． C． D． （答案）D （详解），则，， 又、，，. 可得：ABC成立，D不成立. 故选：D. 考法9：解不等式 48．一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由可得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 49．（上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三冲刺模拟4）设关于的不等式的解集为，则 . （答案） （详解）因为关于的不等式的解集为， 所以一元二次方程的两个根为， 所以根据韦达定理可得，解得， 所以， 故答案为: . 50．（上海市2023届高三模拟）不等式的解集是 . （答案）或 （详解）因为， 所以当时，， 解得，所以， 当时，， 解得，所以， 当时，， 解得，满足条件的不存在， 所以不等式的解集是或， 故答案为：或. 51．（2024·上海徐汇·二模）已知集合，集合，那么 . 【答案】 【分析】先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解． 【详解】因为集合,，集合或， 那么,． 故答案为：,． 52．（上海市曹杨第二中学2023届高三模拟）不等式的解集是 ． （答案） （详解）因为，所以，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 53．（2023·上海崇明·统考二模）若不等式，则x的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义解不等式. 【详解】∵，则，解得， ∴x的取值范围是. 故答案为：. 54．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________． 【答案】 【解析】， . 故. 故答案为： 55．（2024•浦东新区校级模拟）设集合，则　　． 【分析】先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合， ， 故，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 56．（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . （答案） （分析）先求出集合，再根据交集的定义即可得解. （详解）， ， 所以. 故答案为：. 考法10：基本不等式 57．（2020年上海卷13）下列等式恒成立的是（　　） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2 D．a2+b2≤﹣2ab （答案）解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误； B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确； C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误； D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误． 故选：B． 58．下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【答案】D 【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误； ∵可能为负数，如时，，∴B错误； ∵，如时，，∴C错误； ∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确． 故选：D． 59．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A；根据基本不等式即可判断BD；根据绝对值的三角不等式即可判断C. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时，取等号， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以，故D正确. 故选：B. 60．若实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】,当且仅当， 即时取到等号. 故答案：. 61．（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ． 【答案】4 【解析】，当，即，时等号成立， 则的最小值为4． 故答案为：4． 62．（2024·高三·天津河北·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 63．（2024·高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【解析】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 64．设为正实数，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】∵ ,令， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 故答案为： 65．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故答案为：. 66．（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 考法12：复数的概念 67．(2024闵行区二模)复数（其中为虚数单位）的虚部是 . (答案)-4 (详解) ， 故的虚部为-4. 故答案为：-4. 68．(上海市闵行区2023届高三二模)已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为 ． (答案)/ (详解)由得：，的虚部为. 故答案为：. 69．(上海市七宝中学2023届高三三模)已知复数满足，则复数的虚部为 . (答案) (详解)因为， 所以，故， 故复数的虚部为. 故答案为：. 70．(上海市黄浦区2023届高三上学期一模)已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于 . (答案) (详解)因为，则，. 故答案为：. 71．(上海交通大学附属中学2023届高三三模)复数的模为 ． (答案)/ (详解)． 故答案为： 考法13：复数的运算 72．(上海市杨浦区2023届高三二模)复数的虚部是 (答案)/0.96 (详解)因为，所以虚部为. 故答案为： 73．（2023·上海崇明·统考二模）设复数z满足（i为虚数单位），则____________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算求解. 【详解】∵，则. 故答案为：. 74．（2024·上海杨浦·二模）计算 （其中为虚数单位）. 【答案】 【分析】根据复数除法运算进行运算即可. 【详解】由题. 故答案为：. 考法14：共轭复数与复数的几何意义 75．（2023嘉定）已知复数，其中是虚数单位，则 . 答案：5 76．（2024·上海金山·二模）已知复数满足，则的模为 ． 【答案】 【分析】设，则，由题意建立方程解出a，b，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 则，解得，所以， 所以. 故答案为： 77．(上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模)在复平面内，复数z所对应的点为，则 ． (答案)2 (详解)由题意可知 ，所以， 故答案为：2 78．(上海市浦东新区2023届高三三模)已知复数满足，则 ． (答案) (详解)设，则， 所以，解得， 当时，，故， ； 当时，，故， 故答案为：-8 79．(上海市长宁区2023届高三上学期一模)复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为 (答案)/ (详解)由已知，， 所以，所以复数z在复平面上所对应的点Z为， 所以复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离为：. 故答案为：. 80．(上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺（3）)已知复数，其中.则的最小值为 . (答案) (详解)在图中作出复数，和的位置，分别为点, 令复数所在复平面上的点为， 易得，所以四边形为平行四边形， 因为，所以四边形为菱形， ，，所以复数所表示的点在线段上（包括端点）， 因为四边形为菱形， 所以垂直平分，所以有. 于是由三角不等式，， 当且仅当，即时等号成立， 此时. 故答案为：4. 考法15：实系数一元二次方程 81．(上海市嘉定区第一中学2023届高三三模)已知复数x满足方程，那么 . (答案) (详解)因为，则. 故答案为：. 82．(上海市普陀区2023届高三二模)设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则 ． (答案) (详解)由题设，即， 所以. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$