专题01：集合 不等式 复数15种考法 讲义-2025届高考数学二轮复习《考法全归纳》

2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专题 专题01 集合 不等式 复数15种考法 考法1：元素与集合关系 【例1】（2024•宝山区二模）已知集合，，，且，则实数的值为 　　． 【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解． 【解答】解：因为集合，，，且， 所以或， 所以或， 当时，，1，，符合题意， 当时，，1，，与集合元素的互异性矛盾． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系及集合元素的性质的应用，属于基础题． 【例2】（2023·控江中学高三练习）已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，且， 解得， 故选：B 【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由椭圆的性质得， 又, 所以集合 共有11个元素. 【例4】（2019·上海市金山中学高三期中）已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P，则具有性质P的集合M的个数为______________. 【答案】8 【分析】分的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合，从而得到答案. 【详解】当时，为. 当时，为 当时，为 当时，为. 所以满足条件的集合有8个. 故答案为：8 【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 考法2：集合与集合的关系 【例5】（2023•上海高考）已知集合，，，，且，则　　． 【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解． 【解答】解：集合，，，，且， 则． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题． 【例6】（2020•上海高考）集合，，，2，，若，则　　． 【分析】利用集合的包含关系即可求出的值． 【解答】解：，且，，， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 【例7】（2022·上海·高三专题练习）集合或，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围． 【详解】解：， ①当时，即无解，此时，满足题意． ②当时，即有解，当时，可得， 要使，则需要，解得． 当时，可得， 要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为. 【例8】（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言. 考法3：集合的交并补运算 【例9】（2024·上海闵行·二模）集合，，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】， 所以. 故答案为：. 【例10】（2024·上海徐汇·二模）已知集合，集合，那么 . 【答案】 【分析】先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解． 【详解】因为集合,，集合或， 那么,． 故答案为：,． 【例11】（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 【例12】（2024·上海黄浦·二模）若集合，，则 . 【答案】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，，则. 故答案为：. 【例13】（2020·上海松江·模拟预测）已知，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据并集的结果，可得集合B，进而得到参数的取值范围； 【解析】解：∵，， ∴ ∴． 故选：D． 【例14】（上海市格致中学2023届高三三模）若全集为，集合，，则 ． （答案） （详解）因为，由，得到，即， 又，易知，所以， 所以， 故答案为： 【例15】（上海市金山区2023届高三上学期一模）若集合，，且，则实数的取值范围是 . （答案） （详解）因为， 所以集合是被两条平行直线夹在其中的区域，如图所示， ， 其中由，解得或， 当时，B表示点或， 当时，表示以为圆心，为半径的圆及其内部的点， 其圆心在直线上， 依题意，即表示圆应与阴影部分相切或者相交， 当时，显然满足题意，当时，不满足题意， 当时，因为， 所以，即， 所以， 所以； 当时，因为， 所以，即， 所以，无解； 综上，头数的取值范围足. 故答案为： 【例16】（上海市静安区2023届高三上学期一模）已知全集为实数集R，集合，N=，则= ． （答案） （详解）不等式可整理为，所以，解得，所以，或， 不等式可整理为，所以，即，解得或，所以或，. 故答案为：. 【例17】（2023七宝中学高三模拟）已知集合， ，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以函数值域为， 所以， 不等式的解集为或， 所以或， ∴或， 则． 故选：B． 【例18】（2024上行知中学高三期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为或， 则，又， 所以. 故选：B 【例19】（2023上海中学高三模拟）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意； 选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意； 选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意； 选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意， 故选：B 考法4：集合的新定义 【例20】（2019·上海市市北中学高三期中）设集合是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足: 对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是 A． B． C． D． 【答案】D 试题分析：对于集合A,存在；对于集合B,存在；对于集合C,存在 因此选D. 考点：函数单调性，新定义 【例21】（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【答案】B 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论. 【例22】（2020·上海·高三专题练习）向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“类集”; ②若,都是“类集”,则集合也是“类集”; ③若都是“类集”,则也是“类集”; ④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号) 【答案】①②④ 【解析】因为集合,对于任意,且任意,都有,可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案. 【详解】集合,对于任意, 且任意,都有 可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线 对于①,,向量整体倍,还是表示的是直线,故①正确; 对于②,因为,都是“类集”,故还是表示的是直线,故②正确; 对于③,因为都是“类集”,可得是表示两条直线,故③错误; 对于④,都是“类集”,且交集非空,可得表示一个点或者两直线共线时还是一条直线. 综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 考法6：命题的真假判断与应用 【例23】（2016·上海师大附中模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【分析】命题“”是假命题,等价于“”是真命题， 利用绝对值三角不等式求得的最小值，进而可得结果. 【解析】命题“”是假命题, 等价于“”是真命题， 因为， 所以，或， 则实数的取值范围是， 故答案为. 【点睛】本题主要考查特称命题与全称命题的判断，考查的绝对值三角不等式的应用，属于中档题. 【例24】（2020·上海市七宝中学模拟预测）已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解 【解析】根据题意，要说明其为假命题，可以令，，，此时满足，但不成立，故原命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题. 【例25】若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为命题“，”是真命题， 当，即时，不等式为，显然不满足题意，； 当，即时，所以，解得． 故答案为：． 【例26】（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【详解】对于命题，令函数， 则，此时，当函数不是奇函数， 所以命题为假命题， 对于命题，当时，都有，即，不可能， 即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题. 故选：C. 考法7：充分条件与必要条件 【例27】（2024·上海闵行·二模）设，则“”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，或，不能推出有成立； 当时，则，必有成立， 故“”是“”的必要非充分条件， 故选：B 【例28】（2021·上海市崇明中学模拟预测）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数的基本关系式和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】因为，根据三角函数的基本关系式，可得， 反之：若，根据三角函数的基本关系式，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 【例29】已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得，， 若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【例30】（2022·上海·高三专题练习）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】计算不等式，然后得出且等号不能同时取得，计算即可. 【详解】由得， 因为是不等式成立的充分不必要条件， ∴满足且等号不能同时取得，即，解得． 故答案为： 考法8：不等式与不等式的性质 【例31】（2024•崇明区二模）若，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误． 【解答】解：，， ，与大小关系不确定，，与的大小关系不确定． 则下列不等式成立的是． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【例32】（2023秋•浦东新区校级期末）若，，，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出． 【解答】解：．，不成立， ．，根据不等式的基本性质，，，故正确 ．，，不成立， ．时，，不成立． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题． 【例33】（上海市2023届高三上学期二模暨秋考模拟1）已知，且，则 A． B． C． D． （答案）C （详解）试题分析：A：由，得，即，A不正确； B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立； C：由，，得，故，C正确； D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C. 考法9：解不等式 【例34】（上海市金山区2023届高三二模）若实数满足不等式，则的取值范围是 . （答案） （详解）不等式，即，解得，则的取值范围是. 故答案为：. 【例35】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原不等式可以转化为：， 当时，可知，对应的方程的两根为1，， 根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：. 故选：A. 【例36】（上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三冲刺模拟4）设关于的不等式的解集为，则 . （答案） （详解）因为关于的不等式的解集为， 所以一元二次方程的两个根为， 所以根据韦达定理可得，解得， 所以， 故答案为: . 【例37】（2023·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______ 【答案】： 【解析】则或 【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法 【例38】（2020•上海高考）不等式的解集为　　． 【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集． 【解答】解：由得， 则，即，解得， 所以不等式的解集是， 故答案为：． 【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 【例39】（2021•上海高考）不等式的解集为 　　． 【分析】由已知进行转化，进行可求． 【解答】解：， 解得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 【例40】（2023•上海高考）不等式的解集为 　　． 【分析】原不等式可化为，从而求出的范围． 【解答】解：由可得，， 解得， 即不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题． 【例41】（2023·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 【例42】（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . （答案） （分析）先求出集合，再根据交集的定义即可得解. （详解）， ， 所以. 故答案为：. 【例43】（上海交通大学附属中学2023届高三三模）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （答案）B （详解）因为为偶函数，所以，即 解之得，经检验符合题意.则 由，可得 故的解集为， 故选：B. 考法10：基本不等式 【例44】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 【例45】下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 【例46】（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【例47】（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 【例48】（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . （答案）/ （分析）根据基本不等式求解． （详解）由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 【例49】（上海市崇明区2023届高三4月二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ． （答案）4 （详解），当，即，时等号成立， 则的最小值为4． 故答案为：4． 【例50】（上海市金山区2023届高三二模）已知正实数满足,则的最小值为 . （答案） （详解）因为正实数满足, 所以, 当且仅当即时等号成立, 所以的最小值为. 故答案为:. 【例51】（上海市复兴高级中学2023届高三适应性练习）已知，则的最小值为 ． （答案）4 （详解）由， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为4， 故答案为：4． 【例52】（上海市西外外国语学校2023届高三预测）已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为 ． （答案） （详解）因为是定义在上的偶函数， 所以，即， 所以， 因为若正实数a、b满足， 所以，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：． 【例53】（上海市南洋模范中学2023届高三三模）已知，则的最小值是 ． （答案） （详解）， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值是. 故答案为：. 【例54】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． （答案） （分析）根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. （详解）因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. （点睛）关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 考法12：复数的概念 【例55】（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【答案】/2.5 【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 【例56】（闵行2023二模）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_________． 答案： 【例57】（2023·上海杨浦·统考二模）复数的虚部是______ 【答案】 【分析】根据复数除法法则化简即得结果. 【详解】因为，所以虚部为. 故答案为： 【例58】（宝山2023二模）已知复数（其中为虚数单位）,则实数 答案： -1 【例59】（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【详解】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 考法13：复数的运算 【例60】（2023浦东新区）若复数z满足（是虚数单位），则复数 ． 答案： 【例61】（2020•山东）　　 A．1 B． C． D． (解析)， 故选：． 【例62】（2024·上海嘉定·二模）已知是虚数单位．则 ． 【答案】1 【分析】根据复数的乘、除法以及乘法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】, 所以. 故答案为：1 【例63】(上海市青浦区2023届高三二模)已知复数满足（为虚数单位），则 . (答案)/ (详解)， ， 故答案为：． 考法14：共轭复数与复数的几何意义 【例64】（青浦2023二模）已知复数满足，则___________． 答案：； 【例65】（静安2023二模）若复数(为虚数单位)，则___________. 答案： 【例66】（虹口2023二模）复数，在复平面上对应的点分别为，，则________. 答案： 【例67】（虹口2023二模）已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D.2 答案：A 【例68】（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【详解】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例69】（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 . 【答案】2 【分析】由题设结合复数的乘法求出，再借助复数的几何意义求出结果. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为：2 【例70】(上海市奉贤中学2023届高三三模)复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 ． (答案) (详解)因为复数在复平面的第二象限内，所以，解得. 故答案为： 【例71】(上海市七宝中学2023届高三上学期元月模拟)若，则的最大值与最小值的和为 . (答案) (详解)由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆， 则. 故答案为： 【例72】(上海市静安区2023届高三上学期一模)已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是 ． (答案) (详解)， ∴复数在复平面内对应的点为， 由已知，在第二象限， ∴，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 考法15：实系数一元二次方程 【例73】(上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟练习)若复数是的一个根，则 . (答案) (详解)由题意得，设，， 则，即， 所以， 因为，所以，故， 故. 故答案为： 【例74】(上海市嘉定区第二中学2023届高三三模)若复数是的一个根，则 . (答案) (详解)由题意得，设，， 则，即， 所以， 因为，所以，故， 故. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专题 专题01 集合 不等式 复数15种考法 考法1：元素与集合关系 【例1】（2024•宝山区二模）已知集合，，，且，则实数的值为 　　． 【例2】（2023·控江中学高三练习）已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【例4】（2019·上海市金山中学高三期中）已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P，则具有性质P的集合M的个数为______________. 考法2：集合与集合的关系 【例5】（2023•上海高考）已知集合，，，，且，则　　． 【例6】（2020•上海高考）集合，，，2，，若，则　　． 【例7】（2022·上海·高三专题练习）集合或，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例8】（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 考法3：集合的交并补运算 【例9】（2024·上海闵行·二模）集合，，则 . 【例10】（2024·上海徐汇·二模）已知集合，集合，那么 . 【例11】（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【例12】（2024·上海黄浦·二模）若集合，，则 . 【例13】（2020·上海松江·模拟预测）已知，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】（上海市格致中学2023届高三三模）若全集为，集合，，则 ． 【例15】（上海市金山区2023届高三上学期一模）若集合，，且，则实数的取值范围是 . 【例16】（上海市静安区2023届高三上学期一模）已知全集为实数集R，集合，N=，则= ． 【例17】（2023七宝中学高三模拟）已知集合， ，，则=（    ） A． B． C． D． 【例18】（2024上行知中学高三期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例19】（2023上海中学高三模拟）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ） A． B． C． D． 考法4：集合的新定义 【例20】（2019·上海市市北中学高三期中）设集合是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足: 对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是 A． B． C． D． 【例21】（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【例22】（2020·上海·高三专题练习）向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“类集”; ②若,都是“类集”,则集合也是“类集”; ③若都是“类集”,则也是“类集”; ④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号) 考法6：命题的真假判断与应用 【例23】（2016·上海师大附中模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是________________． 【例24】（2020·上海市七宝中学模拟预测）已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________ 【例25】若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为 ． 【例26】（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 考法7：充分条件与必要条件 【例27】（2024·上海闵行·二模）设，则“”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例28】（2021·上海市崇明中学模拟预测）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件 【例29】已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【例30】（2022·上海·高三专题练习）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________． 考法8：不等式与不等式的性质 【例31】（2024•崇明区二模）若，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【例32】（2023秋•浦东新区校级期末）若，，，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【例33】（上海市2023届高三上学期二模暨秋考模拟1）已知，且，则 A． B． C． D． 考法9：解不等式 【例34】（上海市金山区2023届高三二模）若实数满足不等式，则的取值范围是 . 【例35】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例36】（上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三冲刺模拟4）设关于的不等式的解集为，则 . 【例37】（2023·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______ 【例38】（2020•上海高考）不等式的解集为　　． 【例39】（2021•上海高考）不等式的解集为 　　． 【例40】（2023•上海高考）不等式的解集为 　　． 【例41】（2023·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________． 【例42】（2024·上海虹口·二模）已知集合，则 . 【例43】（上海交通大学附属中学2023届高三三模）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考法10：基本不等式 【例44】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【例45】下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【例46】（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 【例47】（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【例48】（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【例49】（上海市崇明区2023届高三4月二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ． 【例50】（上海市金山区2023届高三二模）已知正实数满足,则的最小值为 . 【例51】（上海市复兴高级中学2023届高三适应性练习）已知，则的最小值为 ． 【例52】（上海市西外外国语学校2023届高三预测）已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为 ． 【例53】（上海市南洋模范中学2023届高三三模）已知，则的最小值是 ． 【例54】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 考法12：复数的概念 【例55】（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【例56】（闵行2023二模）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_________． 【例57】（2023·上海杨浦·统考二模）复数的虚部是______ 【例58】（宝山2023二模）已知复数（其中为虚数单位）,则实数 【例59】（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考法13：复数的运算 【例60】（2023浦东新区）若复数z满足（是虚数单位），则复数 ． 【例61】（2020•山东）　　 A．1 B． C． D． 【例62】（2024·上海嘉定·二模）已知是虚数单位．则 ． 【例63】(上海市青浦区2023届高三二模)已知复数满足（为虚数单位），则 . 考法14：共轭复数与复数的几何意义 【例64】（青浦2023二模）已知复数满足，则___________． 【例65】（静安2023二模）若复数(为虚数单位)，则___________. 【例66】（虹口2023二模）复数，在复平面上对应的点分别为，，则________. 【例67】（虹口2023二模）已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D.2 【例68】（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例69】（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 . 【例70】(上海市奉贤中学2023届高三三模)复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 ． 【例71】(上海市七宝中学2023届高三上学期元月模拟)若，则的最大值与最小值的和为 . 【例72】(上海市静安区2023届高三上学期一模)已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是 ． 考法15：实系数一元二次方程 【例73】(上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟练习)若复数是的一个根，则 . 【例74】(上海市嘉定区第二中学2023届高三三模)若复数是的一个根，则 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$