精品解析：湖北省随州市部分高中2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题

湖北省随州市部分高中2025年2月联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 考试范围：高中全部高考内容 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（　　） A. M<N B. M>N C. M≤N D. M≥N 【答案】B 【解析】 【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答. 【详解】， 所以. 故选：B. 2. 函数在上的最小值为　　 A. B. C. D. 2e 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的导数，由此得到函数在区间上的单调性，并求出极值和最值. 【详解】依题意，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得极小值也即是最小值，且最小值为.故选A. 【点睛】本小题考查函数最小值的求法，考查利用导数求函数的最值的方法.属于基础题.求函数的最值可以考虑以下几个方面：如果函数是二次函数，则可利用配方法求得函数的最值.如果函数是单调的函数，可利用单调性求得最值.如果函数符合基本不等式应用的条件，则可利用基本不等式来求得最值.还有一种方法就是利用函数的导数来求得函数的单调区间、极值进而求最值. 3. 已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值. 【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的； 由图可知，利用整体代换可得， 所以，若为已知，则可求得. 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标. 【详解】 与轴夹角为 与轴夹角为 又 故选： 【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量. 5. 已知等差数列，其前项和为，有最小值，若，则使成立的的最大值为（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，，再根据，即可得到，，且，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得； 【详解】解：因为等差数列的前项和为有最小值,所以，，所以，因为，所以，，且，所以，，所以当时，所以使成立的的最大值为； 故选：C 6. 已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. ，且 C. ，，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与直线的位置关系判断A；由直线与平面的位置关系判断B；平面与平面的位置关系判断C；平面与平面的平行的性质定理判断D. 【详解】选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线 与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确； 故选：D. 7. 如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由平均数和标准差的概念判断即可. 【详解】由图可知，，又样本波动程度大于样本，所以. 故选：B. 8. 每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ） A. 22种 B. 33种 C. 300种 D. 3 600种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理计算即得. 【详解】从甲地到乙地不同的方案数为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b满足等式，下列式子可以成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数图象分析判断. 【详解】设，分别作出的函数图象，如图所示： 当，则，A成立； 当，则，B成立，C不成立； 当时，则，D成立. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的值域是 C. 若方程有5个解，则的取值范围为 D. 若函数有3个不同的零点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB选项，画出的图象，数形结合得到函数的单调性和值域，得到A错误，B正确；C选项，方程有5个解，转化为与有5个交点，数形结合得到的取值范围；D选项，由零点个数得到，由对数函数的性质得到，从而求出的取值范围. 【详解】， 画出的图象，如下： A选项，函数在和上单调递减，不能说在上单调递减，A错误； B选项，函数在处取得最小值为，故值域是，B正确； C选项，若方程有5个解，则要满足与有5个交点， 故，所以的取值范围为，C正确； D选项，若函数有3个不同的零点，则， 令，解得：， 又，因为在上单调递增， 解得：，即， ， 故的取值范围为. 故选：BCD 【点睛】方法点睛： 函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 11. 已知直线，则下列说法正确的是 A. 若，则m=-1或m=3 B. 若，则m=3 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断． 【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为，即，两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确； ，则，，C错，D正确． 故选：BD． 【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，则，根据的范围即可求出的范围. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 由题意得，，因为为中点，所以， 设，则， ，，则， ，则， 故答案为：. 13. 在正方体中，为的中点，则平面与平面 的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，利用向量法求平面与平面 夹角的余弦值. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图, 设正方体的棱长为2， 则, 则， 设平面的法向量为, 则，即，令，得， 易知平面 的法向量， 所以， 所以平面与平面 的夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 由点到直线的距离公式建立不等式即可求解. 【详解】由题意得，点P到直线的距离为. 又，即，解得， 所以a的取值范围是[0，10]. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共75分 15. 设函数.讨论函数零点的个数. 【答案】见解析 【解析】 【分析】计算，采用等价转换的思想，等价于函数，图像交点个数，通过研究函数的性质，比较的最值与大小，可得结果. 【详解】由题可知： 则，定义域为 函数零点的个数等价于方程根的个数， 即根的个数等价于在中 函数，图像交点个数 则 当时，， 当时，， 所以在递增，在递减 所以，又 如图 可知①当时，函数g(x)无零点； ②当时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当时，函数g(x)有两个零点； ④当时，函数g(x)有且只有一个零点； 综上所述，： 当时，函数无零点； 当或时，函数有且只有一个零点； 当时，函数有两个零点. 【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于使用等价转换的思想，掌握零点个数问题等价于方程根的个数问题等价于两函数图像交点个数问题，考验对问题的分析能力，属中档题. 16. 在中，的角平分线交边于点. （1）证明：. （2）若，且的面积为，求的长. 【答案】（1）证明：如图所示： 设，，则，. 在和中分别运用正弦定理，得，， 所以，即， 又因为，故，即. （2） 【解析】 【分析】（1）首先设，，得到，，再利用正弦定理证明即可. （2）设，所以，设，根据的面积为，得到，，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，所以，设. 由，可得. 所以. 因为，所以，所以， 又，所以. 又，所以， 所以， 所以. 17. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 【答案】（1） （2）1809 【解析】 【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项； （2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和． 【小问1详解】 由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，， 所以时， ， 又时，，得，也满足上式. 故. 【小问2详解】 由.所以， 又，所以前40项中有34项来自. 故 . （2024·福州市质量检测） 18. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点． （1）求证：平面BDE； （2）若平面平面，平面平面，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 令，连，如图， 四边形ABCD是正方形，即O是AC中点，而M是矩形ACEF边EF的中点， 则有，且，于是得四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面. （2） ，证明如下： 由（1）知，平面，又平面，平面平面， 因此，，平面， 又平面，平面平面，因此，， 所以. 【解析】 【分析】（1）令，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答. （2），利用（1）的结论，结合线面平行的性质、平行公理推理作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆. （1）求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; （2）若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; （3）求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】（1）（）. （2）（）. （3）. 【解析】 【分析】（1）设弦的两端点为，线段的中点为，由点差法可得，代入可得方程，联立求轨迹范围，由此可得结论， （2）由（1），代入可得，联立求轨迹范围， （3）由（1），代入，可得，利用点斜式求直线方程. 【小问1详解】 设弦的两端点为，线段的中点为， 则有，. 两式作差，得. 因为，，， 代入后求得　①. 所以，所以. 联立可得，或 故所求的轨迹方程为（） 【小问2详解】 由①式，得. 又因为，所以-. 整理得， 联立可得或， 故所求的轨迹方程为（）. 【小问3详解】 由①式，得弦所在的直线的斜率， 又，所以 所以其方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省随州市部分高中2025年2月联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 考试范围：高中全部高考内容 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（　　） A. M<N B. M>N C. M≤N D. M≥N 2. 函数在上的最小值为　　 A. B. C. D. 2e 3. 已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列，其前项和为，有最小值，若，则使成立的的最大值为（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 6. 已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. ，且 C. ，，， D. ，， 7. 如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ） A. 22种 B. 33种 C. 300种 D. 3 600种 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b满足等式，下列式子可以成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的值域是 C. 若方程有5个解，则的取值范围为 D. 若函数有3个不同的零点，则的取值范围为 11. 已知直线，则下列说法正确的是 A. 若，则m=-1或m=3 B. 若，则m=3 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________． 13. 在正方体中，为的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为___________. 14. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共75分 15. 设函数.讨论函数零点的个数. 16. 在中，的角平分线交边于点. （1）证明：. （2）若，且的面积为，求的长. 17. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. （2024·福州市质量检测） 18. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点． （1）求证：平面BDE； （2）若平面平面，平面平面，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 19. 已知椭圆. （1）求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; （2）若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; （3）求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $