重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】 题型一：直接使用奔驰定理 题型二：三角形面积比问题 【方法技巧与总结】 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. 【典型例题】 题型一：直接使用奔驰定理 【典例1-1】已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 【典例1-2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为三角形内一点，且满足， ， ． ， 故选：D． 【变式1-1】已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，延长交于点，设， 易知，可得， 又，得，故， 可知， 同理，可得， 结合可得， 整理得成立， 而由题意得，故， 设即，，故，故C正确. 故选：C 【变式1-2】在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由D为上一点，则，则 ， 当且仅当且，即，时等号成立，取得最小值. 则，则根据平面向量基本定理知，为靠近的三等分点， 则，则. 故选：B 题型二：三角形面积比问题 【典例2-1】已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，即， 故，即， 故三点共线，且为靠近的四等分点， 设为中点，则，   ，故. 故选：A 【典例2-2】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式2-1】已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与的面积之比为，易得.故，即，整理得.因为，且均不共线，故，解得 故选：D 【变式2-2】已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 【答案】B 【解析】设的面积为， 由，得， 有， 又，令， 则三点共线，且， 即点在上，且， 所以以为底，的高为的， 故，同理可得，， 所以. 故选：B 【强化训练】 1．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点是所在平面上一点，过作，如下图所示： 由， 故， 所以与的面积之比为， 故选：D． 2．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以， 设为的中点，由为的中点.则, 所以，则三点共线，且，如图. 所以,则点到的距离是点到的距离的倍.所以. 故选：C. 3．设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点、、， 则，，， 由可得，解得，， 所以，，，因此，. 故选：D. 4．点P是内一点且满足，则的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示， 过点C作交的延长线于点D，与交于点E． ，不妨设， 又，∴，由平面向量基本定理得 ． ∵，∴，∴， 由得 设，则，，， ∴． 故选：A． 5．已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，化简得到，得出，得到点为中位线的靠近点的三等分点，再结合和，即可求解.根据平面向量的线性运算， 由， 所以， 设线段的中点为，线段的中点为（如图所示）， 所以，可得， 所以点为的中位线的靠近点的三等分点， 所以， ， 所以，即与的面积之比为. 故选：A. 6．已知为内一点，且有，则和的面积之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设是的中点，则， 又因为， 所以,，， 所以 故选： 7．已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分别取、的中点、，连接、，如图， 所以是的中位线， 因为，所以， 所以，所以、、三点共线， 所以， 所以即，所以即. 故选：A. 8．已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，故在△内部， 如图，取中点，连接并延长至，使得， 则四边形为平行四边形． 则，又因为， 所以、、三点共线且， 即为的重心． 所以， 故选：． 9．已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示, ,所以,即,所以, 设和的中点分别为,则由可得,即,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以, 故选:C 10．（多选题）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【答案】AB 【解析】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以， 又因为， 所以.正确； 对于B：记点到的距离分别为，， 因为， 则， 即， 又因为，所以，所以点是的内心，正确； 对于C：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于D：因为是的外心，，所以,， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知同时为负， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，错误. 故答案为：AB. 11．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（    ）    A．若，则 B．若，则为的重心 C．若为的内心，则 D．若为的外心，则 【答案】BCD 【解析】对于A项，由可得：， 而由可得：， 因两两互不共线，则必有， 则易得：，故A项错误； 对于B项，由可得①， 如图，不妨取的中点，连接，则有， 代入①式，化简得， 即三点共线，且点是的靠近点的三等分点， 同理可知点也是另两边上的中线的对应三等分点， 故点是的重心，故B项正确； 对于C项，不妨设的内切圆半径为， 则，代入， 可得， 整理得：，故C项正确； 对于D项，不妨设的外接圆半径为， 因为的外心， 则，，， 则. 故，故D项正确. 故选：BCD. 12．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的重心，则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对； 对于B选项，由 ，，可知， 又，所以， 由可得，，， 所以，B错； 对于C选项，若为的内心，，则， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，C对； 对于D选项，如下图所示， 因为为的重心，延长交于点，则为的中点， 所以，，，且，， 所以，，由“奔驰定理”可得，D对. 故选：ACD. 13．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 【答案】ACD 【解析】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对； 对B，，由得，故，B错； 对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对； 对D，若O为△ABC的垂心，则，， 又， 同理，∴， ∵，则， 且 如图，分别为垂足， 设，，则， 又，故， 由，解得， 由，故，D对故选：ACD 14．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【解析】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 15．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以， 又， 则，所以， 两式相加可得，化简可得， 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 16．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 【答案】3 【解析】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，且， 所以， 即. 故答案为： 17．已知是内部的一点，且和的面积分别是，若，则 ． 【答案】3 【解析】如图，分别在边上取点，使得． 由，可得，所以， 又因为，所以点在线段上（不包含端点）， 则． 因为三点共线，所以，即， 所以． 因为，所以，所以． 故答案为：3. 18．已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【解析】如图，过点P作，，则， 又， 由平面向量基本定理可得，． 作PG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H． 又因为，所以， 因为，同理． 因为的面积与的面积之比为， 所以， 解得． 故答案为：. 19．设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是 . 【答案】/ 【解析】根据奔驰定理得，，即， 平方得， 又因为点P是的外心，所以，且， 所以， ，解得， 当且仅当时取等号.所以. 故答案为：. 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】 题型一：直接使用奔驰定理 题型二：三角形面积比问题 【方法技巧与总结】 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. 【典型例题】 题型一：直接使用奔驰定理 【典例1-1】已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（    ） A． B． C． D． 题型二：三角形面积比问题 【典例2-1】已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【变式2-1】已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 【强化训练】 1．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 4．点P是内一点且满足，则的面积比为（    ） A． B． C． D． 5．已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．已知为内一点，且有，则和的面积之比为 A． B． C． D． 7．已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（    ） A． B． C． D． 8．已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 9．已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 11．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（    ）    A．若，则 B．若，则为的重心 C．若为的内心，则 D．若为的外心，则 12．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的重心，则 13．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 14．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 15．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 16．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 17．已知是内部的一点，且和的面积分别是，若，则 ． 18．已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为，则的值为 ． 19．设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是 . 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$