重难点专题06 解三角形图形类问题-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

重难点06 解三角形图形类问题 【题型归纳目录】 题型一：妙用两次正弦定理 题型二：两角使用余弦定理 题型三：张角定理与等面积法 题型四：角平分线问题 题型五：中线问题 题型六：高问题 【方法技巧与总结】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：妙用两次正弦定理 【例1】如图，四边形中，已知，． (1)若的面积为，求的周长； (2)若，，，求的值． 【变式1-1】记的内角、、的对边分别为、、，已知，点在边上，且，，求. 【变式1-2】的内角的对边分别为为平分线，. (1)求； (2)上有点，求. 题型二：两角使用余弦定理 【例2】如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【变式2-1】在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求. 【变式2-2】平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 题型三：张角定理与等面积法 【例3】已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【变式3-1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积． 【变式3-2】在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 题型四：角平分线问题 【例4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 【变式4-1】在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【变式4-2】在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且 (1)求角A的值； (2)若，BC边上的中线长为1，为角A的角平分线，求的长． 题型五：中线问题 【例5】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)若，求边上的中线的长． 【变式5-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，求中BC边中线AD长． 【变式5-2】在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． (1)求的长度； (2)求的余弦值． 题型六：高问题 【例6】记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若，且的周长为，求边上的高. 【变式6-1】的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求及； (2)若，求边上的高. 【变式6-2】在中，已知，，，求； （2）在中，,,，求边AC上的高． 【强化训练】 1．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 2．如图，在四边形中，，，，，. (1)求； (2)求四边形的面积. 3．如图，的内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角B的大小； (2)若，. （i）求的值； （ii）求的角平分线的长. 4．如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P． (1)的余弦值． (2)求四边形的面积. 5．在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若 (1)求的面积; (2)若，求的长. 6．已知在中，. (1)求边的长； (2)求边上的中线的长. 7．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 8．已知中，为中线，，. (1)若，求边的长； (2)当面积最大时，求的值. 9．如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b． (1)求斜边上的高AD与中线AE的长； (2)用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系． 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，． (1)求； (2)若，边上的高线长，求． 11．在中，，，． (1)求和的值； (2)求BC边上的高． 12．在①，②，③的面积 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角、、的对边分别为、、，已知______. (1)求角； (2)若点在边上，且，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 13．已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 解三角形图形类问题 【题型归纳目录】 题型一：妙用两次正弦定理 题型二：两角使用余弦定理 题型三：张角定理与等面积法 题型四：角平分线问题 题型五：中线问题 题型六：高问题 【方法技巧与总结】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：妙用两次正弦定理 【例1】如图，四边形中，已知，． (1)若的面积为，求的周长； (2)若，，，求的值． 【解析】（1）在中，， 因为，所以， 由，得， ∴，即， ∴，即的周长为； （2）设，则， 又，所以，， 在中，由，得， 在中，由，得， ∴，即， 即，， 即，即， ∴， ∵，∴， ∴，解得，即的值为. 【变式1-1】记的内角、、的对边分别为、、，已知，点在边上，且，，求. 【解析】因为中，，则为锐角， 所以， 因为，，所以， 所以， 设，则， 在和中，由正弦定理得，， 因为，上面两个等式相除可得， 得，即， 所以. 【变式1-2】的内角的对边分别为为平分线，. (1)求； (2)上有点，求. 【解析】（1） 设， ， ，， ， （2）由（1）知：， 中，， ，故得：， 设中， ， ， 中，，， ， 两式相除得：， ， ，， ， 为锐角，故. 题型二：两角使用余弦定理 【例2】如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【解析】（1）如图， 由题意知，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 因为，所以． （2）因为，所以， 因为，所以，所以． 又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以． 设，则，解得． ． 在中，由正弦定理可得， 又因为，所以． 【变式2-1】在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求. 【解析】（1） 在三角形中，，， 所以由余弦定理得：， 所以，又，所以， 又，所以. （2）在三角形中，，所以， 所以， 所以在中，为的中点，所以，，， 所以由余弦定理得：， 所以， 在中，，，， 所以由余弦定理得： 所以， 所以在中，由余弦定理得：. 【变式2-2】平面四边形中，，，，． (1)求； (2)求四边形周长的取值范围； (3)若为边上一点，且满足，，求的面积． 【解析】（1）因为，，所以， 在中由余弦定理 ； （2）在中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； （3）因为，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. 题型三：张角定理与等面积法 【例3】已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，.. 由余弦定理得， 又，所以 （2） 是的角平分线，， 由可得 因为，，即有，， 故 【变式3-1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积． 【解析】（1）因为 所以根据正弦定理得： 即 由余弦定理得： 故 又 所以． （2）因为AD是△ABC的角平分线，由， 得：， 所以 故． 【变式3-2】在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【解析】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 题型四：角平分线问题 【例4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 【解析】（1）∵， ∴由正弦定理得：， ∴， 即， 又∵， ∴，则有， ∴， 即， 又∵，∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得； （2）由得，，所以， 由（1）知，， 由余弦定理得：， 因为，所以， ∴， 由得：， ∴． 【变式4-1】在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【解析】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 【变式4-2】在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且 (1)求角A的值； (2)若，BC边上的中线长为1，为角A的角平分线，求的长． 【解析】（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 因为，所以，故， 因为，所以； （2），由正弦定理得，即， 如图所示，为的中点，故， 由（1）可知，， 延长至点，使，故， 连接，延长，相交于点， 因为，所以≌， 故，，所以， 因为，所以，且， 故为等边三角形， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 故，则，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 故， 所以. 题型五：中线问题 【例5】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)若，求边上的中线的长． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由正弦定理可得， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴．∴. （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 【变式5-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，求中BC边中线AD长． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 即， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 即，所以， 因为为中BC边的中线， 所以， 则 ， 所以. 【变式5-2】在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． (1)求的长度； (2)求的余弦值． 【解析】（1）连接，则是的中位线， 故，且， 在中，，又， 故是等边三角形， 所以， 因为∽，所以， 所以； （2）在中，由余弦定理得， 解得，则， 因为，所以， 在中，由勾股定理得， 因为∽，所以，解得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以的余弦值为. 题型六：高问题 【例6】记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若，且的周长为，求边上的高. 【解析】（1）由，可得， 所以， 又由正弦定理和余弦定理，可得， 整理得，所以. （2）由，且的周长为，可得， 又由（1）可知，，即， 所以，联立方程组，解得， 所以， 则， 所以边上的高为. 【变式6-1】的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求及； (2)若，求边上的高. 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 所以，又， 所以，又，则. 因为，即，又，所以， 因为，所以. （2）由（1）及余弦定理，得. 将，代入，得， 解得或（舍去），则. 因为，所以， 设边上的高为，则. 【变式6-2】在中，已知，，，求； （2）在中，,,，求边AC上的高． 【解析】（1） 由三角形内角和定理，得， 由正弦定理，得 （2）由余弦定理得： ，边AC上的高 【强化训练】 1．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【解析】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 2．如图，在四边形中，，，，，. (1)求； (2)求四边形的面积. 【解析】（1）由，又，得到， 又， 又，，且， 所以，， 得到. （2）延长交于，设，， 在中，由正弦定理得到，由（1）知，， 所以①，由余弦定理得到②， 由①②解得或， 当时，，此时， 又，所以，不合题意，故，， 在中，由，，得到，， 所以，又， 故. 3．如图，的内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角B的大小； (2)若，. （i）求的值； （ii）求的角平分线的长. 【解析】（1） ， 所以，，可得， 又因为，故. （2）（i）因为，解得， 由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得，所以，； （ii）因为，即， 因此，. 4．如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P． (1)的余弦值． (2)求四边形的面积. 【解析】（1）在中，由余弦定理可知：,即 故 , ,是等腰三角形，故 在中，由余弦定理可知： 即, 在中，由正弦定理可知： 因为为锐角，所以 （2）由（1）知： 是的重心，所以 ,故 所以四边形的面积为 5．在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若 (1)求的面积; (2)若，求的长. 【解析】（1）在中，， 即，解得(负根舍)， 所以. （2）因为，平分，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理，得，① 在中，由正弦定理，得，② ①②，得，所以， 又，且，所以， 将代入②，得，所以. 6．已知在中，. (1)求边的长； (2)求边上的中线的长. 【解析】（1）由得：，正弦定理得：，即，解得：，由余弦定理得：，解得：或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，满足题意，综上： （2）因为D为BC中点，所以BD=2，在△BCD中，由余弦定理得：，所以. 7．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 【解析】（1）由，得. 所以由余弦定理得，因为，所以， 由，根据正弦定理得， 因为，所以，因为，所以； （2）由（1）得，所以. 设，在中，由余弦定理得， 解得，所以. 8．已知中，为中线，，. (1)若，求边的长； (2)当面积最大时，求的值. 【解析】（1）在中，，， 由正弦定理得：，则， ； 由余弦定理得：， ； （2）为中点，； 设，， 由余弦定理得：， 解得：（当且仅当时取等号）， 又，， ，此时，， 由正弦定理得：， . 9．如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b． (1)求斜边上的高AD与中线AE的长； (2)用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系． 【解析】（1）因为，， 所以，，， 可得，， 所以，； ； （2）因为，所以， 当且仅当时等号成立， 即， 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，． (1)求； (2)若，边上的高线长，求． 【解析】（1）由已知得 ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， . 11．在中，，，． (1)求和的值； (2)求BC边上的高． 【解析】（1）因为，，， 所以由余弦定理得，所以，解得， 所以，所以由正弦定理可得，； （2）BC边上的高为. 12．在①，②，③的面积 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角、、的对边分别为、、，已知______. (1)求角； (2)若点在边上，且，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解析】（1）若选择①：因为，结合余弦定理， 得，即， 由正弦定理可得，所以， 又，所以，所以，即， 又，所以； 若选择②：因为， 结合正弦定理可得， 即， ， 即， 又，，故，即， 所以，即， 因为，，所以，得； 若选择③：条件即， 又，， 所以， 即，所以， 又因为，则，所以， 又因为，所以. （2）设，则. 因为，，故， 所以， 在中，由正弦定理可得，即， 在中，同理可得，， 因为，所以，即， 整理得，即. 13．已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【解析】（1）如图所示， 在中，，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）如图所示， 当时，. 设，则. 在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即， 整理得，即，解得，即. 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得； ，，，则； （2） ，，； 在中，由正弦定理得：； 在中，由正弦定理得：； ， 即， . 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$