精品解析：黑龙江省绥化市望奎县第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末考试高二数学试题 一、单选题 1. 若函数可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】． 故选：C 2. 在数列中，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的周期，再借助周期性求值. 【详解】， 于是数列是以3为周期的周期数列，所以. 故选：C 3. 函数的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数，由切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题意，函数，可得， 所以，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：B 4. 在等比数列中，，，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设知和为方程的两个根，即可求得，或，，结合等比数列通项公式求目标式的值. 【详解】由，，得和为方程的两个根， 解得，或，，设等比数列的公比为q， 所以或. 故选：A 5. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】 女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故， 故选：B. 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前5项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出数列的递推关系，再利用累加法求出通项公式，最后用裂项相消法求出数列的前5项和. 【详解】由题意得，， 当时，， 以上各式累加得：， 经检验符合上式，所以， 所以 设数列的前项和为， 则，所以. 故选：A. 7. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得 ①， 所以时， ②， ①-②得，所以， 所以. 故选：C. 8. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式进行化简，可得，进而得解. 【详解】因为为等差数列，所以，， 则， 所以， 从而， 故， 故选：C. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 设函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可. 【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误； 对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确； 对于选项C: ,由， ，解得，故选项C正确； 对于选项D:结合题意可得：,， 解得，故选项D错误. 故选：BC. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，即可根据等差的求和公式判定啊ABC，根据，即可求解D. 【详解】由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 11. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则（ ） A. B. C. D. 曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导法则以及导数的几何意义可得答案. 【详解】由题意可得，曲线在处的切线方程为. 令，则，即，A正确. ，曲线在处的切线方程为， 即，所以 解得，，B错误，C正确. 曲线在处的切线方程为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知函数，则_________. 【答案】3 【解析】 【分析】将看成整体，令，则，然后求导代入即可得解. 【详解】令， 则，所以， 所以 ． 故答案为：3. 13. 已知是公比为2的等比数列，若，则_________. 【答案】200 【解析】 【分析】将两个等式左右分别相除，借助于公比，找到两式间的数量关系即得. 【详解】记等比数列的公比为q，则. 因， 故． 故答案为：200. 14. 记为数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由可求得结果. 【详解】因为为数列的前项和，且， 则. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知在等差数列中，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等差数列通项公式基本量运算求参得出通项公式； （2）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得 解得， 所以等差数列的通项公式可得； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 16. 设函数. （1）求导函数； （2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）利用求导公式求解即可； （2）首先将代入切线方程得到切点为，从而得到，再解方程组即可. 【详解】（1）由， 得 . （2）由题意得，切点既在曲线上，又在切线上， 将代入切线方程，得，切点为. 所以，解得. 17. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）求过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）求导，然后按照解一元二次不等式的方法进行计算即可 （2）先设出切点和方程，然后求导和构造方程，求出切点和斜率，即可得出方程 【小问1详解】 ， 由，得，解得， 则所求不等式的解集为． 【小问2详解】 因为，所以曲线在点处的切线方程为． 将点的坐标代入，并整理得， 解得或1或． 当时，切线方程为； 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即． 18. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求实数的值和数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，取求得，再利用，结合等比数列求出通项. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，，又，则，所以； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 19. 已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. （1）求和的通项公式； （2）若，求 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可； （2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为，依题意，， 由是递减数列，解得，因此； 数列，，当时，， 而满足上式，因此， 所以的通项公式为， 的通项公式为. 【小问2详解】 当n是奇数时，，则，， 两式相减得：， 因此； 当n是偶数时，， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项的和与奇数项的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末考试高二数学试题 一、单选题 1. 若函数可导，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 函数的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前5项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 设函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 11. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则（ ） A. B. C. D. 曲线在处的切线方程为 三、填空题 12. 已知函数，则_________. 13. 已知是公比为2的等比数列，若，则_________. 14. 记为数列的前项和，若，则______. 四、解答题 15. 已知在等差数列中，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 16. 设函数. （1）求导函数； （2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值. 17. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）求过点且与曲线相切的切线方程． 18. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求实数的值和数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 19. 已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. （1）求和的通项公式； （2）若，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $