三角函数与诱导公式分题型强化课课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

强化课　三角函数与诱导公式 强化课 强化课 强化课 解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角问题转化为同角问题来处理，再利用同角三角函数的基本关系进行化简或求值．　 强化课 强化课 强化课 强化课 强化课 在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值．　 强化课 √ 强化课 强化课 强化课 强化课 强化课 对于三角函数与同角关系及诱导公式的综合问题，一般先是借助三角函数的定义求出某个角的三角函数值，然后用诱导公式化简变形，达到角的统一，最后再进行切化弦或弦化切，从而使问题得以解决．　 强化课 强化课 强化课 题型一　三角函数式的化简与求值 　已知eq \f(sin（α＋2 024π）－6sin（α－\f(3π,2)）,2cos（α－π）－sin α)＝－taneq \f(3π,4).求：(1)tan α的值； 【解】　由题意得 eq \f(sin（α＋2 024π）－6sin（α－\f(3π,2)）,2cos（α－π）－sin α) ＝eq \f(sin α－6cos α,－2cos α－sin α)＝eq \f(tan α－6,－2－tan α)＝1. 得tan α－6＝－2－tan α，即tan α＝2. (2)sin α－cos α的值． 【解】 由tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝2，知sin α＝2cos α，则α为第一象限角或第三象限角， 代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝eq \f(1,5)， 当α为第一象限角时，cos α＝eq \f(\r(5),5)，sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(2\r(5),5)， 所以sin α－cos α＝eq \f(\r(5),5)； 当α为第三象限角时，cos α＝－eq \f(\r(5),5)，sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(2\r(5),5)， 所以sin α－cos α＝－eq \f(\r(5),5). 综上所述，sin α－cos α＝eq \f(\r(5),5)或－eq \f(\r(5),5). [跟踪训练1] 已知函数f(θ)＝ eq \f(cos（\f(9π,2)－θ）sin（θ＋\f(3π,2)）＋sin（π－θ）＋cos（\f(π,2)＋θ）,3sin（π＋θ）). (1)化简f(θ)； 解：f(θ)＝eq \f(1,3sin（π＋θ）)×[cos(eq \f(9π,2)－θ)sin(θ＋eq \f(3π,2))＋sin(π－θ)＋cos(eq \f(π,2)＋θ)] ＝eq \f(1,3sin（π＋θ）)×[cos(4π＋eq \f(π,2)－θ)sin(θ－eq \f(π,2)＋2π)＋sin(π－θ)＋cos(eq \f(π,2)＋θ)] ＝eq \f(cos（\f(π,2)－θ）sin（θ－\f(π,2)）＋sin θ－sin θ,－3sin θ) ＝eq \f(sin θ（－cos θ）,－3sin θ)＝eq \f(1,3)cos θ. [跟踪训练1] 已知函数f(θ)＝ eq \f(cos（\f(9π,2)－θ）sin（θ＋\f(3π,2)）＋sin（π－θ）＋cos（\f(π,2)＋θ）,3sin（π＋θ）). (2)若f(θ)＝sin θ，求tan θ＋sin θcos θ的值． 解：由(1)知f(θ)＝eq \f(1,3)cos θ＝sin θ， 则tan θ＝eq \f(sin θ,cos θ)＝eq \f(1,3)， sin θcos θ＝eq \f(sin θcos θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(3,10)， 故tan θ＋sin θcos θ＝eq \f(1,3)＋eq \f(3,10)＝eq \f(19,30). 题型二　诱导公式在三角形中的应用 　已知在△ABC中，sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，试判断△ABC的形状． 【解】　在△ABC中，A＋B＋C＝π， 所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)， 所以sin(eq \f(π,2)－C)＝sin(eq \f(π,2)－B)， 则cos C＝cos B. 又B，C为△ABC的内角，所以C＝B， 所以△ABC为等腰三角形． [跟踪训练2] 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形后得到的图形，如图所示，在黄金三角形ABC中，eq \f(AB,AC)＝eq \f(\r(5)－1,2)，根据这些信息，可得cos 144°＝(　　) A.eq \f(1－2\r(5),4) B．－eq \f(3＋\r(5),8) C．－eq \f(1＋\r(5),4) D．－eq \f(4＋\r(5),8) 解析：因为∠ABC＝108°，所以∠BAC＝eq \f(1,2)×(180°－108°)＝36°，因为cos 36°＝eq \f(\f(1,2)AC,AB)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,\r(5)－1)＝eq \f(1＋\r(5),4)，所以cos 144°＝－cos 36°＝－eq \f(1＋\r(5),4).故选C. 题型三　诱导公式与三角函数的综合应用 　在平面直角坐标系Oxy中，α，β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A，B两点．已知点A(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，将OA绕原点顺时针旋转eq \f(π,2)到OB.求： (1)点B的坐标； 【解】　已知点A(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))在单位圆上，则cos α＝eq \f(1,2)，sin α＝eq \f(\r(3),2)， β＝α－eq \f(π,2)，cos β＝cos(α－eq \f(π,2))＝sin α＝eq \f(\r(3),2)，sin β＝sin(α－eq \f(π,2))＝－cos α＝－eq \f(1,2)， 因为点B在单位圆上，所以B(eq \f(\r(3),2)，－eq \f(1,2))． (2)eq \f(sin（π＋β）＋sin（\f(π,2)－β）,4tan（π－β）)的值． 【解】　由(1)知cos β＝eq \f(\r(3),2)，sin β＝－eq \f(1,2)， 则tan β＝eq \f(sin β,cos β)＝－eq \f(\r(3),3)， 所以eq \f(sin（π＋β）＋sin（\f(π,2)－β）,4tan（π－β）) ＝eq \f(－sin β＋cos β,－4tan β) ＝eq \f(\f(1,2)＋\f(\r(3),2),－4×（－\f(\r(3),3)）)＝eq \f(\r(3)＋3,8). [跟踪训练3] 如图，在平面直角坐标系Oxy中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为eq \f(3,5).求： (1)tan α的值； 解：依题意得，sin α＝eq \f(3,5)，因为α是第二象限角，故cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，于是tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(3,4). (2)eq \f(2sin（π－α）＋sin（\f(π,2)－α）,cos（\f(3π,2)－α）＋cos（－α）)的值． 解：由eq \f(2sin（π－α）＋sin（\f(π,2)－α）,cos（\f(3π,2)－α）＋cos（－α）) ＝eq \f(2sin α＋cos α,－sin α＋cos α)＝eq \f(2tan α＋1,－tan α＋1)， 由(1)得，tan α＝－eq \f(3,4)， 故原式＝eq \f(2×（－\f(3,4)）＋1,\f(3,4)＋1)＝－eq \f(2,7). $$