7.3 解一元一次不等式（7大题型提分练）（题型专练）数学新教材华东师大版七年级下册

第七章 一元一次不等式 7.3 解一元一次不等式（7大题型提分练） 知识点一：一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 知识点二：解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 题型一 求一元一次不等式的解集 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：； 故选C． 2．（21-22八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若表示负数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是负数的含义，一元一次不等式的解法，根据题意建立不等式，再解不等式即可． 【详解】解：依题意， ∴， 故选：D 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若不等式的解的解是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据不等式的解集为，可知，解之即可． 【详解】解：∵不等式的解的解是， ∴， 则． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如，那么x的取值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，求不等式的解集，正确理解绝对值的概念是解答本题的关键，绝对值化简方法为．移项得，根据绝对值的化简方法，即可得到答案． 【详解】 ． 故答案为：． 5．（2024·浙江嘉兴·一模）以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】甲、乙两位同学的解法均错误；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵甲在去分母时，不等号右边的1没有乘最简公分母，去括号时没有变号，乙同学在裂项时，去括号没有变号， ∴甲、乙两位同学的解法均错误， 正确解答过程如下： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 的系数化为1得，． 题型二 求一元一次不等式的整数解 1．（24-25八年级下·全国·期末）不等式的非负整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，注意非负整数包括0和正整数．直接从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：不等式的非负整数解为:共4个， 故选：C． 2．（22-23七年级下·湖南湘西·期末）不等式的正整数解是（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查求不等式的整数解，正确理解题意是解题的关键．先解不等式，再求解小于3的正整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的正整数解是1，2， 故选：B． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）不等式的最大正整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，求不等式的整数解，解题的关键是熟练求出不等式的解集．先求出不等式的解集为，然后得出不等式的最大正整数解即可． 【详解】解：由不等式得：， ∴最大正整数解是：． 故答案为：． 4．（21-22八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）满足不等式的最小整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解不等式的整数解，解不等式即可找到最小整数解． 【详解】解：∵ 移项：， 整理得：， 解得： 所以不等式的最小整数解为． 故答案为： 5．（2024·陕西商洛·模拟预测）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 该不等式的正整数解：2，1． 题型三 在数轴上表示不等式的解集 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．根据数轴写出不等式解集即可． 【详解】解：根据题意得：不等式组的解集为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集．根据数轴上表示的不等式组的解集，可得答案． 【详解】解：观察数轴得：， ∴这个不等式组可以是． 故选：A 3．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴可得：关于x的不等式的解集是： 故答案为：． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，根据数轴上空心点表示不含等号，实心点表示含等号，向右表示大于，向左表示小于，即“大小小大中间找”的方法进行取值，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，不等式组的解析为， 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示解集见解析 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集等知识点，掌握在数轴上表示解集的方法是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴表示解集如图： 题型四 求一元一次不等式解的最值 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若，，则的最大值是（    ） A．21 B．2 C．12 D．126 【答案】D 【分析】要想使最大，则应该尽量使分子b最大，而分母a最小，代入b的最大值和a的最小值求值即可． 【详解】要想使最大，则应该尽量使分子b最大，而分母a最小， ∵， ∴的最大值是 故选：D． 【点睛】本题主要考查分数的最大值，掌握分子越大，分母越小，分数值越大是解题的关键． 2．（22-23七年级下·江苏·阶段练习）不等式的最大整数为，不等式中的最小整数解为，则的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求不等式的解集，再分别确定a、b的值，然后代入求解即可. 【详解】解：∵不等式的解集为x＜4，a是解集中的最大整数， ∴a=3， ∵不等式中的最小整数解为b， ∴b=－1， ∴a+3b=3+3×(－1)=0. 故选A. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集，属于基础题，解答的关键是认真审题，把握x的取值范围. 3．（2023八年级·全国·竞赛）若质数、满足：，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了质数的定义以及不等式的解法等知识，根据已知分别得出，的取值范围，进而结合质数的定义得出，的最值，进而得出答案，分别得出，的取值范围是解题关键． 【详解】由得， ∴，显然的值随着质数的增大而增大， 当且仅当取得最大值时取得最大值， ∵，即， ∴， ∵为质数， ∴的可能的取值为，，，，，，，，， 当时，，不是质数； 当时，，是质数， ∴的最大值为，的最大值为， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）代数式12-6m的值不小于2(1-2m)的最大正整数m是 ． 【答案】5 【分析】根据题意直接建立关于m的不等式求解即可． 【详解】由题意可得：， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，理解题意并准确建立不等式是解题关键． 5．（2023·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)的最小整数值为 【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案； （2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得到，， 故答案为：， （2）由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴的最小整数值为． 【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键． 题型五 列一元一次不等式 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）用不等式表示：“a的与b的和为正数”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元一次不等式，正数定义等．根据题意可知，即可得到本题答案． 【详解】解：∵a的与b的和为正数， ∴， 故选：A． 2．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）小丽今年的身高超过了，则用不等式表示小丽今年的身高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列不等式，解题的关键是理解题意，根据小丽今年的身高超过了，列出不等式即可． 【详解】解：小丽今年的身高超过了，用不等式表示小丽今年的身高是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）用不等式表示“x与2的差不足10”： ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 根据“x与2的差不足10”列不等式即可． 【详解】解：“x与2的差不足10”用不等式表示为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）根据数量关系“x的2倍与3的和小于4”，列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，根据题中描述的数量关系正确列出不等式是解题的关键． 根据题中描述的数量关系列出不等式即可． 【详解】解：∵x的2倍为， ∴x的2倍与3的和小于4可表示为：， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）用不等式表示下列各式： (1)0大于； (2)a的5倍超过1； (3)x减去y小于； (4)a的2倍与1的和是正数； (5)m与n的差不大于0； (6)x的6倍加上4是非负数． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了列不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． （1）直接列不等式即可； （2）根据超过就是大于列不等式即可； （3）直接列不等式即可； （4）根据正数大于零列不等式即可； （5）直接列不等式即可； （6）根据非负数为大于等于零的数列不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示：． （2）解：a的5倍超过1表示：． （3）解：x减去y小于表示：． （4）解：a的2倍与1的和是正数表示：． （5）解：m与n的差不大于0表示：． （6）解：x的6倍加上4是非负数表示． 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得，． 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式．设答对道题，答错或不答的题目为道，根据选手要得到70分以上（含70分），列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设答对道题，答错或不答的题目为道，根据题意，得： ， 解得， ∴至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）． 故选：A． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．利用销售利润=售价-进价，结合至少获利，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）为迎接六一儿童节，百货商场进行促销活动，某种商品进价800元，出售标价1200元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打 折． 【答案】七/7 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设该商品打折销售，利用利润售价进价，结合利润不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小值即可得出该商品最多可打七折． 【详解】解：设该商品打折销售， 依题意得：， 解得：， 该商品最多可打七折． 故答案为：七． 5．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元． (1)求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？ (2)若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？ 【答案】(1)甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元 (2)500千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和不等式． （1）设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，根据“购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元”即可列出方程组，求解即可； （2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，根据“采购费用不多于18000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元． （2）解：设超市采购甲种稻花香大米m千克， 依题意得：， 解得：． 答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克． 题型七 用一元一次不等式解决几何问题 1．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 2．（2022·江苏苏州·一模）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 3．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 5．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 1．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质解一元一次不等式的方法是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（21-22七年级下·广西百色·期末）不等式的正整数解有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键，先根据解不等式的一般步骤解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可． 【详解】解： 正整数解有共2个， 故选：B． 4．（23-24七年级下·云南昭通·期末）x减去2的差是一个非负数，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．先表示出x与2的差，然后根据题意即可得出不等式． 【详解】解：根据题意可得：． 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（   ） A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设小明答对的题数是x道，根据“总分不低于70分”列出不等式，解不等式求得x的取值范围，根据x为整数，结合题意即可求解. 【详解】解：设小明答对的题数是x道， ， ， ∵x为整数， ∴x的最小整数为16， 故选：B． 6．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）已知关于的不等式的解也满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解不等式组等知识点，根据不等式的性质结合题意得出不等式组是解题的关键． 根据不等式的性质结合题意可得，求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解也满足， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，数轴上表示的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集．从数轴上可以看出所表示的数在的右边、的左边，因为处是空心圆，所以不等于，点处是实心点，所以可以等于． 【详解】解：如下图所示， 不等式的解集是． 故答案为： ． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“与1的差大于b的2倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”，“至少”，“最多”等等，正确选择不等号． 根据“a与1的差大于b的2倍”，即可列出关于a的一元一次不等式． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·云南文山·期中）某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分．设他答对了道题，则根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等关系，认真审题，找到题目中隐藏的不等关系并正确建立不等关系式是解题关键； 根据答对题的得分：；答错题的得分：，得出不等关系：得分要超过分，即可求解． 【详解】解：根据题意，得； 故答案为：． 10．（22-23七年级下·北京·期末）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ． 【答案】-4 【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1． 则2x﹣1≥﹣3 ∵x△k＝2x﹣k≥2， ∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3， ∴k＝﹣4． 故答案填：﹣4． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解下列一元一次不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 12．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键；根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可解出不等式，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 如图所示： 14．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）关于“与7的和的2倍不大于2与的差”，先用不等式表示，再求出解集． 【答案】， 【分析】本题主要考查了列不等式、解不等式等知识点，正确列出不等式成为解题的关键． 先根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：∵与7的和的2倍不大于2与的差， ∴； 即， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【答案】(1)点A、B间的距离是； (2)； (3)表示数的点落在线段上． 【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． （1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （2）求出的范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴代表的数为， ∴点A、B间的距离是； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴表示数的点落在线段上． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 一元一次不等式 7.3 解一元一次不等式（7大题型提分练） 知识点一：一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 知识点二：解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 题型一 求一元一次不等式的解集 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若表示负数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若不等式的解的解是，则的取值范围是 ． 4．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如，那么x的取值是 ． 5．（2024·浙江嘉兴·一模）以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 题型二 求一元一次不等式的整数解 1．（24-25八年级下·全国·期末）不等式的非负整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 2．（22-23七年级下·湖南湘西·期末）不等式的正整数解是（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．2 D．1 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）不等式的最大正整数解是 ． 4．（21-22八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）满足不等式的最小整数是 ． 5．（2024·陕西商洛·模拟预测）求不等式的正整数解． 题型三 在数轴上表示不等式的解集 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 题型四 求一元一次不等式解的最值 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若，，则的最大值是（    ） A．21 B．2 C．12 D．126 2．（22-23七年级下·江苏·阶段练习）不等式的最大整数为，不等式中的最小整数解为，则的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 3．（2023八年级·全国·竞赛）若质数、满足：，，则的最大值为 ． 4．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）代数式12-6m的值不小于2(1-2m)的最大正整数m是 ． 5．（2023·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 题型五 列一元一次不等式 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）用不等式表示：“a的与b的和为正数”，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）小丽今年的身高超过了，则用不等式表示小丽今年的身高是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）用不等式表示“x与2的差不足10”： ． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）根据数量关系“x的2倍与3的和小于4”，列不等式为 ． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）用不等式表示下列各式： (1)0大于； (2)a的5倍超过1； (3)x减去y小于； (4)a的2倍与1的和是正数； (5)m与n的差不大于0； (6)x的6倍加上4是非负数． 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 ． 4．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）为迎接六一儿童节，百货商场进行促销活动，某种商品进价800元，出售标价1200元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打 折． 5．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元． (1)求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？ (2)若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？ 题型七 用一元一次不等式解决几何问题 1．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（2022·江苏苏州·一模）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 4．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    5．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 1．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·广西百色·期末）不等式的正整数解有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（23-24七年级下·云南昭通·期末）x减去2的差是一个非负数，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（   ） A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 6．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）已知关于的不等式的解也满足，则的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，数轴上表示的解集为 ． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“与1的差大于b的2倍”用不等式表示为： ． 9．（24-25七年级上·云南文山·期中）某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分．设他答对了道题，则根据题意可列不等式 ． 10．（22-23七年级下·北京·期末）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解下列一元一次不等式： (1)； (2)． 12．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 14．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）关于“与7的和的2倍不大于2与的差”，先用不等式表示，再求出解集． 15．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$